2023年2月份第1周 数学好题推荐（含解析）

2023年2月份第1周 数学好题推荐
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若集合，则的值为( )
A.0 B. C.1 D.
2、已知，则( )
A. B. C. D.
3、若函数在上是单调函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、已知函数（，e为自然对数的底数）的图象与的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、已知是第四象限角，且，则( )
A. B. C. D.
6、已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为( )
A. B. C. D.
7、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积为，则( )
A. B. C. D.
8、已知向量.若，则实数( )
A.2 B.-2 C. D.
9、等差数列的前n项和为，若且，则( )
A. B. C. D.
10、在复平面内，复数对应的点在直线上，则( )
A.1 B.i C.-i D.
11、为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
12、已知双曲线的左、右焦点为，，过作x轴的垂线与C交于A，B两点，与y轴交于点D，直线BD的斜率为-2.则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
13、如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
14、已知是公差为正数的等差数列，，，则的值为( )
A.105 B.120 C.90 D.75
15、已知函数是定义在R上的函数，.若对任意的，且，有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
16、若a,,且,则下列不等式中,恒成立的是( )
A. B. C. D.
17、如图，正方体的棱长为1，则以下说法正确的是( )
A.直线BC与平面所成的角等于 B.点C到面的距离为
C.两条异面直线和所成的角为 D.三棱柱的外接球的半径为
18、圆与圆的公共弦长为，则实数a的值可能为( )
A. B. C. D.
19、已知函数满足,当且时,都有,且对任意的,不等式恒成立,则实数a的取值可以是( ).
A.-1 B.1 C.0 D.2
20、先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则关于函数，下列说法正确的是( )
A.在上单调递增
B.图像关于直线对称
C.在上单调递减
D.最小正周期为π，图像关于点对称
三、填空题
21、焦点在x轴上的椭圆焦距为8，两个焦点为，，弦AB过点，则的周长为___________.
22、某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________.
23、二项式的展开式中含的系数为___________.
24、已知等比数列的前n项和，则实数____________.
25、已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为___________.
四、解答题
26、第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名学生担任集体户户主进行人口普查登记.
（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？
（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训.
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.
27、已知抛物线上有一点.
(I)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)已知直线与抛物线交于两点,F是抛物线的焦点,且,求的面积.
28、已知，.
（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.
29、如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
30、某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择.
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为,,.
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
（2）若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据，）
参考答案
1、答案：C
解析：由元素的互异性可知，由有意义得，故，所以必有，解得，
所以，所以，所以.
所以.
2、答案：A
解析：由得，所以，故选A.
3、答案：B
解析：当时，，则，所以函数在上单调递增.因为函数在上是单调函数，所以函数在上是单调递增函数.当时，是单调递增函数，所以，得.，解得.所以，故选B.
4、答案：B
解析：由条件知，方程，即在上有解.设，则.因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，所以方程在上有解等价于，所以a的取值范围为，故选B.
5、答案：A
解析：，，整理可得，
解得或（舍去）.
又是第四象限角，
，
.
6、答案：C
解析：，，，即，解得，为最小正值，故选C.
7、答案：C
解析：已知的面积为，又，所以，整理可得.根据余弦定理可知，所以.因为，所以.故选C.
8、答案：A
解析：根据题意，向量，则，
则.
若，则有，
两边平方得到，再平方得到，
解得.故选A.
9、答案：A
解析：设的公差为d，
，
，
即为等差数列，公差为，
由知，
故.
故选A.
10、答案：B
解析：复平面内，复数对应的点为，
又在直线上，所以，解得，
所以，
则.
故选：B.
11、答案：B
解析：本题考查排列组合及古典概型概率的计算.甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程中任选2门的选法共有种，其中甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有种，所以甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率.故选B.
12、答案：C
解析：设，则.因为轴，所以，.因为，所以点D为的中点，所以点D的坐标为.
因为，所以，，即，解得或 (舍)，故选C.
13、答案：A
解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设，
则.
则，
设平面的法向量为,则，
可求得，
则.
∴，
∴直线与平面所成的角为.
故选A.
14、答案：A
解析：因为是等差数列，所以，则，则，.又，所以，，公差，则.
15、答案：C
解析：由知，故不等式可化为，即，设，则函数是R上的增函数，
又，所以不等式可化为，所以，
即，
解得，故选C.
16、答案：BC
解析：对于A,D，取，，，
故A,D不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C,，,,，故C正确.故选BC.
17、答案：ABD
解析：正方体的棱长为1，对于A，直线BC与平面所成的角为，故A正确；对于B，点C到面的距离为长度的一半，即距离为，故B正确；对于C，连接AC，因为，所以异面直线和所成的角即直线和所成的角，又是等边三角形，所以异面直线和所成的角为，故C错误；对于D，三棱柱的外接球就是正方体的外接球，正方体的外接球半径，故D正确.故选ABD.
18、答案：CD
解析：将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.圆的标准方程为，设圆心到公共弦所在直线的距离为d，由公共弦长为，得，解得.又，则，解得或.故选CD.
19、答案：AC
解析：由题意得函数为偶函数,且在上单调递增,由对任意的,不等式恒成立,得不等式,恒成立,
则,恒成立,得,即,恒成立,又当时,有,,所以且,恒成立,即当时,且,可得.故选AC.
20、答案：ABD
解析：本题考查三角函数的图像与性质，三角函数图像的平移、伸缩变换.先将函数的图像向右平移个单位长度后，可得的图像，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则当时，，故单调递增，故A正确；当时，，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；当时，，此时不单调，故C不正确；由题意可得的最小正周期为π，当时，，故的图像关于点对称，故D正确，故选ABD.
21、答案：
解析：因为焦距为8，所以，又焦点在x轴的椭圆方程为，所以，则，根据椭圆定义得，所以的周长为.
故答案为：.
22、答案：
解析：设该芯片智能自动监测合格为事件A，人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，
，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率.
故答案为：
23、答案：-21
解析：展开式中的第项为，
展开式中含，必须有，从而有，展开式中含的项为，
所以展开式中含的系数为-21.
故答案为：-21.
24、答案：-1
解析：由题意，易知等比数列的公比为，根据等比数列前n项和公式，得，又，，解得.
25、答案：
解析：因为，
所以，所以，得或（舍去），所以，故.
因为，
所以.
故答案为：
26、答案：（1）男生、女生就分别抽取4人，3人
（2）①；②
解析：（1）由已知，住校生中男生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人.
（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则，且B与C互斥，
，，
故，
所以事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望.
27、答案：(I)
(Ⅱ)
解析：(I)∵点在抛物线上,
,
,
∴抛物线的标准方程为.
(Ⅱ)设点.
联立消去x并整理得.
由得,
,
,
.
又,
,
,
即,
解得或(舍),
.
点到直线的距离,
.
28、答案：（1）的极大值为，无极小值
（2）
解析：（1）的定义域为，，
，由已知可得，即.
由，可得，可得到下表：
x
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
的极大值为，无极小值.
（2）当时，，即，
化简可得，.
令，只需.
，令，
则，在上单调递增，
，，
存在唯一的，使得，
易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
由得，
两边取对数得，，
，即实数a的取值范围是.
29、答案：（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）解法一：如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM，
因为N为AC的中点，所以PN为的中位线，所以.
又M为的中点，所以.
因为，，平面，平面MPN，所以平面平面MPN.
又平面MPN，所以平面.
解法二：如图，取BC的中点D，连接，DN.
在三棱柱中，，.
因为M，N，D分别为，AC，BC的中点，
所以，，，，
则且，
所以四边形为平行四边形，因此.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为侧面为正方形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，而平面，所以.
选条件①：由（Ⅰ）得，因为，所以，
又，所以平面，
在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，
故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
所以，，.
设平面BMN的法向量为，
由得得令，得.
设直线AB与平面BMN所成角为，
则，
所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
选条件②：由（Ⅰ）知，，而，故.
又因为，所以.
在和中，，，，则，
因此，即，故.
在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，
故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面BMN的法向量为，
由得令，得.
设直线AB与平面BMN所成角为，
则，
所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
30、答案：（1）若投资项目一，设获利为万元，
则的分布列为
300 -150
P
.
若投资项目二，设获利为万元，
则的分布列为
500 0 -300
P
.
.
,
,
,
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意，,即,
两边取对数，得,
,
大约在2023年年底总资产可以翻一番.
解析：