甘肃省兰州市第五十七高级中学2022-2023学年高三下学期开学模拟考试数学（理科）试卷（含解析）

兰州市五十七中2022-2023学年度第二学期开学模拟考试数学试卷（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α
2．若复数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝(　　)
A．3 B． C． D．29
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4． 圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在等差数列{an}中，a1＋a8＋a6＝15，则此等差数列的前9项之和为(　　)
A．5 B．27 C．45 D．90
6．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
7．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
8．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为(　　)
A．120 B．180 C．240 D．360
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为2，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
11．已知函数f(x)＝x2e1－x－a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
12．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000 0
震 001 1
坎 010 2
兑 011 3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是(　　)
A．18 B．17 C．16 D．15
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为 ________．
14．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是________．
对于函数f(x)，若在定义域内存在x满足f(－x)＝－f(x)，称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝x2－2mx＋m2－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1．
(1)求证：数列是常数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．
(1)求证：PB∥平面AEC．
(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M AC E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．
19．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
20．(12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
21．(12分)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0．
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲
已知函数f (x)＝|2x＋3|－|x－1|.
(1)求不等式f (x)≤3的解集；
(2)若不等式f (x)＞2a－|3x－3|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
答案及解析
1．定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α
B　解析：因为x∈A，所以x的可能取值为－1,0,1．同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0．
2．若复数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝(　　)
A．3 B． C． D．29
C　解析：由题意可知，(1－2i)2－a(1－2i)＋b＝0，所以b－a－3＋(2a－4)i＝0，故a＝2，b＝5．则|a＋bi|＝|2＋5i|＝．
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A　解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6．当m＝－6时，a＋b＝(2，－4)＝－2(－1,2)，可得a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C　解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3．
5．在等差数列{an}中，a1＋a8＋a6＝15，则此等差数列的前9项之和为(　　)
A．5 B．27 C．45 D．90
C　解析：依题意a1＋a8＋a6＝15，即3a1＋12d＝15，即3a5＝15，所以a5＝5．
所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝45．故选C．
6．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
A　解析：因为sin α－cos α＝，α∈(0，π)，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1，故2α＝，所以α＝，tan α＝－1．
7．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n．
其中真命题的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
C　解析：①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③中 l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．
8．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为(　　)
A．120 B．180 C．240 D．360
C　解析：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为4组，有C＝10种分组方法；
②将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有A＝24种安排方法．
则共有10×24＝240种安排方法．故选C．
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
B　解析：由题意知，焦点F为(1,0)，当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D(图略)，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值即|MA|＋|MD|的最小值．根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值为xA－(－1)＝5＋1＝6．又|FA|＝＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11．
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为2，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
C　解析：因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为2，
所以A＝2，＝，即T＝π，则＝π，得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．
将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，
则g(x)＝2sin＝2sin．
若g(x)为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，
则φ＝kπ＋，k∈Z．
因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝．
11．已知函数f(x)＝x2e1－x－a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
B　解析：由f(x)＝x2e1－x－a＝0有三个零点得a＝x2e1－x有三个零点．
设g(x)＝x2e1－x，则g′(x)＝e1－xx(2－x)，
当x＜0时，g′(x)＜0，函数单调递减；当0＜x＜2时，g′(x)＞0，函数单调递增；当x＞2时，g′(x)＜0，函数单调递减．
因为g(0)＝0，g(2)＝，所以0＜a＜．
12．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000 0
震 001 1
坎 010 2
兑 011 3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是(　　)
A．18 B．17 C．16 D．15
B　 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，
13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为________．
8
[执行程序框图，可知：
第一次循环：n＝1＋3＝4，S＝2×1＋4＝6；
第二次循环：n＝4＋3＝7，S＝2×6＋7＝19；
第三次循环：n＝7＋3＝10，S＝2×19＋10＝48，
要使得输出的结果为48，根据选项可知k＝8，
14．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
3　 由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3．
15． 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是________．
或2　 设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，所以k＝±，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y＝x．
故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：
①当双曲线的焦点在x轴上时，有＝，即a＝b，
所以e＝＝＝；
②当双曲线的焦点在y轴上时，有＝，即a＝b，
所以e＝＝＝2．
所以双曲线C的离心率为或2．
16对于函数f(x)，若在定义域内存在x满足f(－x)＝－f(x)，称f(x)为“局部奇函数”．若f(x)＝x2－2mx＋m2－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________．
[－，]　 根据题意，f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＝－f(x)有解．
即x2＋2mx＋m2－3＝－(x2－2mx＋m2－3)，整理得：x2＋m2－3＝0，
必有m2－3≤0，解得－≤m≤，即m的取值范围为[－，]．
17．已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1．
(1)求证：数列是常数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
(1)证明：由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(n＋1)·an＋1，即＝＋．
所以＝＋－，即有＝，
所以数列是常数列．
(2)解：由(1)知：＝a1＋1＝3，所以an＝3n－1，所以bn＝(－1)n(3n－1)，
即bn＝
所以当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[－(3n－4)＋(3n－1)]＝，显然Sn≤－99无解；
当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝－[3(n＋1)－1]＝－，令Sn≤－99，解得n≥66．
结合n为奇数得n的最小值为67．
所以n的最小值为67．
18．如图所示，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．
(1)求证：PB∥平面AEC．
(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角M AC E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF．
在△PBD中，由已知得EF∥PB．
又EF 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC．
(2)解：由题意知，AC，AB，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz．
则C(2,0,0)，D(2，－3,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，E．
设M(x0，y0，z0)，＝λ (0<λ<1)，则(x0，y0，z0－3)＝λ(0,3，－3)，得M(0,3λ，3－3λ)．
设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0，＝，＝(2,0,0)，得取y1＝1，得n1＝(0,1,1)．
设平面MAC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由n2·＝0，n2·＝0，＝(0,3λ，3－3λ)，＝(2,0,0)，
得取z2＝1，得n2＝．
设二面角M AC E的大小为θ．
因为二面角M AC E的余弦值为，所以θ为锐角，则cos θ＝＝＝，
化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝或λ＝．
易知当λ＝时，θ为钝角，所以λ＝，所以＝．
故存在点M，当＝时，二面角M AC E的余弦值为．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
(1)解：由题意可得解得
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，
kOPkOQ＝＝＝＝k，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
解：(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6．
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝2)＝×＋××2＝，
P(X＝3)＝××2＋××2＝，
P(X＝4)＝×＋××2＝，
P(X＝5)＝××2＝，
P(X＝6)＝×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为
Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000
P
E(Y1)＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)．
选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为
Y2 10 000 11 000 12 000
P
E(Y2)＝×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)．
因为E(Y1)＞E(Y2)，所以该医院选择延保方案二较合算．
21．设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0．
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b，由题设知f′(1)＝0，解得b＝1．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，
则f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1②若1，故当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f <．
而f ＝aln ＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，此时存在f(1)＝－1＝<．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
23．已知函数f (x)＝|2x＋3|－|x－1|.
(1)求不等式f (x)≤3的解集；
(2)若不等式f (x)＞2a－|3x－3|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由f (x)≤3，得|2x＋3|－|x－1|≤3，
不等式可化为或或，
解得无解或－＜x≤或－7≤x≤－，
∴不等式f (x)≤3的解集为.
(2)若不等式f (x)＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，
即不等式|2x＋3|－|x－1|＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，
即不等式|2x＋3|＋|2x－2|＞2a对任意的x∈R恒成立，
∵|2x＋3|＋|2x－2|≥|(2x＋3)－(2x－2)|＝5，
∴2a＜5，即a＜，故实数a的取值范围是.