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6.2.3 向量的数乘运算
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
注意点：
(1) λa中间没有任何符号，λ·a与λ×a均没有意义；
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
(3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量.
知识点二 向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点三 向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
注意点：
(1)规定0向量与任意向量共线.
(2)向量共线定理中规定a≠0的原因：若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 向量的线性运算
例1 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
反思感悟：向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1 (1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于( )
A.－a B.－b C.－c D.以上都不对
答案：C
解析：原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案：4b－3a
解析：由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
题型二 用已知向量表示其他向量
例2 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b
答案：D
解析：因为E是BC的中点，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
反思感悟：用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练2 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于( )
A.＋ B.－ C.－ D.＋
答案：D
解析：示意图如图所示，
由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
题型三 向量共线的判定及应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.
反思感悟：(1)证明或判断三点共线的方法：一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3 (1)已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
答案：A，B，D
解析：∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．
解：分别作向量、、，过点A、C作直线AC(如图)．
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
因为＝－＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，
＝－＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，
故有＝2.
因为∥，且有公共点A，所以A、B、C三点共线．
题型四 向量数乘运算的综合应用
例4 如图所示，已知 ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
解：方法一 设＝x，则＝x，
＝e1－x，＝e1－x，
又＝x，由＋＝得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1，
由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2.
方法二 设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝得
用－2乘以②与①相加得x－2x＝e1－2e2，
解得x＝(2e2－e1)，即＝(2e2－e1)，
同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.
反思感悟：(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
(2)当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
跟踪训练4 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－＝(＋)．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
答案：C
解析：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
2.已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
答案：C
解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A、B、D三点共线．
3. (多选)下列各式计算正确的有( )
A.(－7)6a＝－42a B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a D.4(2a＋b)＝8a＋4b
答案：ACD
解析：ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
4.下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案：D
解析：显然b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.正确的为( )
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
答案：B
解析：①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
6.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
答案：D
解析：＋＋＝－，∴＝－2，∴P在AC边上．
7.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－
答案：A
解析：∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.
8.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
答案：D
解析：∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.
9.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)＝×2＝.
10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：连接AO(图略)，∵O是BC的中点，∴＝(＋).又∵＝m，＝n，∴＝＋.又∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.
反思感悟：(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1.(2)应用时一定注意O是共同的起点.
二、填空题
11.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
答案：
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
12.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
答案：3
解析：∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.
13.在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝________.
答案：
解析：∵＝＋＝4，∴＝3.∴＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－，∴r＝，s＝－，r－s＝.
14.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．
答案：2∶3
解析：如图所示，设＝，＝，则＝＋.
由平行四边形法则知，MQ∥AB，∴＝＝.
同理＝.∴＝.
15.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
答案：3
解析：∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心.∴＋＝3，∴m＝3.
三、解答题
16.若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，试求实数k的值．
解：∵ka＋2b与3a＋kb共线，∴存在实数λ使ka＋2b＝λ(3a＋kb)，
∴(k－3λ)a＋(2－λk)b＝0，∴(k－3λ)a＝(λk－2)b.
∵a与b不共线，∴，∴k＝±.
17.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
解：方法一 如图所示，在 ABCD中，连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綊BO，∴＝＝＝(b－a)．
方法二 ＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
18.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
证明：设＝a，＝b，
则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．
19.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论.
解：b与a＋c共线.证明如下：
∵a＋b与c共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.2.3 向量的数乘运算 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.3 向量的数乘运算
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
注意点：
(1) λa中间没有任何符号，λ·a与λ×a均没有意义；
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
(3)当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量.
知识点二 向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点三 向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
注意点：
(1)规定0向量与任意向量共线.
(2)向量共线定理中规定a≠0的原因：若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa；若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 向量的线性运算
例1 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
反思感悟：向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1 (1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于( )
A.－a B.－b C.－c D.以上都不对
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
题型二 用已知向量表示其他向量
例2 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b
反思感悟：用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练2 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于( )
A.＋ B.－ C.－ D.＋
题型三 向量共线的判定及应用
例3 已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
反思感悟：(1)证明或判断三点共线的方法：一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法：已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3 (1)已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
(2)如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由．
题型四 向量数乘运算的综合应用
例4 如图所示，已知 ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
反思感悟：(1)由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
(2)当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
跟踪训练4 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝(＋)．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y)
2.已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D
3. (多选)下列各式计算正确的有( )
A.(－7)6a＝－42a B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a D.4(2a＋b)＝8a＋4b
4.下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.正确的为( )
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
6.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
7.设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－
8.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
9.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )
A. B. C. D.
10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
反思感悟：(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1.(2)应用时一定注意O是共同的起点.
二、填空题
11.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
12.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
13.在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝________.
14.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．
15.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
三、解答题
16.若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，试求实数k的值．
17.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
18.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线.
19.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论.
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