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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第7 周 第3节
课题 19.2.3 一次函数与方程、不等式
教学目标 知识与技能：认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系。会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.过程与方法：情感态度与价值观：
重点 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系
难点 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
观察与思考今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”. 二元一次方程说：“请到我这里来”，一次函数说“请到我这里来”。这是怎么回事？ x+y=5到底应该坐在哪里呢？一次函数与一元一次方程问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．其实，用函数的观点看：解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数（y=ax +b）值为k 时对应的自变量的值．练一练1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.归纳总结 一次函数与一元一次方程的关系例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 一次函数与一元一次不等式问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2； （2）3x+2＜0； （3）3x+2＜-1．不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;（2）当x取何值时，y<3 做一做如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ）A.x>-4 B. x>0 C. x<-4 D. x<0归纳总结 一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与二元一次方程组问题3 ：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)与气球上升时间 x(min)的函数关系．思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.从数的角度看：解方程组 就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．归纳总结 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．求方程组的解求对应两条直线交点的坐标. 观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？例2：如图，求直线l1与l2 的交点坐标练一练如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？当堂练习 一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .若方程组 的解为 则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为______.3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( ) 4.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25
课后小结
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19.2.3一次函数与方程、不等式
人教版八年级下册
情境引入
学习目标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（重点、难点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
观察与思考
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二元一次方程
一次函数
x+y=5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？
一次函数与一元一次方程
一
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax +b =k 就是求当函
数（y=ax +b）值为k
时对应的自变量的值．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
合作探究
1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为
（____,_____），这说明方程
2x＋20＝0的解是x=_____.
-10
0
-10
练一练
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.
5
0
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y= kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
典例精析
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由2x+5=17 得 2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
一次函数与一元一次不等式
二
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；
（2）3x+2＜0；
（3）3x+2＜-1．
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
（1）3x+2＞2（2）3x+2＜0（3）3x+2＜-1．
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ）
A.x>-4
B. x>0
C. x<-4
D. x<0
做一做
C
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
一次函数与二元一次方程组
三
问题3 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系．
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5；
气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数 y =0.5x+15
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
从式子（数）角度看：
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y =0.5x+15
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15
h1
h2
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
归纳总结
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？
（2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
气球1 海拔高度：
y =x+5
气球2 海拔高度：
y =0.5x+15
（1）x>20min，1 号气球比2 号气球高.
（2）0A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x/min
y/m
O
y
x
例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
解方程组
y =2x+2，
y =-x+3，
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
得
x=
y=
即直线l1与l2 的交点坐标为
O
y
x
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
练一练
P
y=ax+b
y=cx+d
当堂练习
1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .
3
y=kx+3
O
y
x
3
x=-3
2．若方程组 的解为 则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为______.
(2,5)
3.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )
D
点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合．
4.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
1
2
B
课堂小结
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
谢谢
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