新洲一中 2024 届高二下开学收心考试
数学试卷
一．选择题（共 8 小题）
1．已知 m，n是实数，若 ＝（2，2m﹣3，2）， ＝（4，2，3n﹣2），且 ，则 m+n＝
（ ）
A．﹣4 B．0 C．2 D．4
2．已知圆 C：x2+y2﹣4y+3＝0，则圆 C的圆心和半径为（ ）
A．圆心（0，2），半径 r＝1 B．圆心（2，0），半径 r＝1
C．圆心（0，2），半径 r＝2 D．圆心（2，0），半径 r＝2
3．椭圆 与曲线 C： 的（ ）
A．焦距相等 B．离心率相等
C．焦点相同 D．曲线 C是双曲线
4．等比数列{an}的公比为﹣2，且 a1+2，a3+2，a5﹣7成等差数列，则{an}的前 10项和为（ ）
A．﹣341 B． C．171 D．
5．在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的中心在原点，焦点 F1，F2在 y轴上，离心率为 ，
过 F1的直线 l交椭圆于 A，B两点，且△ABF2的周长为 24，则椭圆 C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l．斜率为 的直线经过焦点 F，交
抛物线 C于点 A，交准线 l于点 B（A，B在 x轴的两侧）．若|AB|＝6，则抛物线的方程为
（ ）
A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝6x
7．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 P在线段 B1C上运动，则下列结论正确的是（ ）
①直线 BD1⊥平面 A1C1D
第 1页（共 5页）
②三棱锥 P﹣A1C1D的体积为定值
③异面直线 AP与 A1D所成角的取值范围是[ ， ]
④直线 C1P与平面 A1C1D所成角的正弦值的最大值为
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．设数列{an}满足 ，则（ ）
A．存在 n∈N，n≥1，an Q
B．存在 p＞0，使得{an+1﹣pan}是等差数列
C．存在
D．存在 p＞0，使得{an+1﹣pan}是等比数列
二．多选题（共 4 小题）
（多选）9．过点 P（﹣2，0）的直线 l与直线 l1：x+y﹣2＝0平行，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 l的倾斜角为 45°
B．直线 l的方程为：x+y+2＝0
C．直线 l与直线 l1间的距离为 2
D．过点 P且与直线 l垂直的直线为：x﹣y+2＝0
（多选）10．如图，P是椭圆 C1： ＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2： ＝1（m
＞0，n＞0）在第一象限的交点，且 C1，C2共焦点 F1，F2，∠F1PF2＝θ，C1，C2的离心
率分别为 e1，e2，则下列结论不正确的是（ ）
第 2页（共 5页）
A．|PF1|＝m+a，|PF2|＝m﹣a
B．若θ＝60°，则
C．若θ＝90°，则 的最小值为 2
D．
（多选）11．已知数列{an}的前 n项和为 Sn且满足 an+3SnSn﹣1＝0（n＞2），a1＝ ，下列命
题中正确的是（ ）
A．{ }是等差数列 B．Sn＝
C．an＝﹣ D．{S } 是等比数列
（多选）12．已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的棱长均为 2，点 D是棱 BB1上（不含端点）的
一个动点．则下列结论正确的是（ ）
A．棱 A1C1上总存在点 E，使得直线 B1E∥平面 ADC1
B．△ADC1的周长有最小值，但无最大值
C．三棱锥 A﹣DC1C外接球的表面积的取值范围是[ ， ）
D．当点 D是棱 BB1的中点时，二面角 A﹣DC1﹣C的正切值为
三．填空题（共 4 小题）
13．圆 C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1关于直线 y＝x+1对称的圆 C'的标准方程为 ．
14．若双曲线 的一个焦点为 F（5，0），两条渐近线互相垂直，
则 a2＝ ．
15．已知数列{an}满足 a1＝18，an+1﹣an＝2n，则 的最小值为 ．
第 3页（共 5页）
16．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面 ABC
的射影为 BC的中点 N，则直线 A1B1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 ．
四．解答题（共 6 小题）
17．已知等差数列{an}中，a3＝2，a4+a6＝20．
（1）求首项 a1和公差 d；
（2）求该数列的前 10项的和 S10的值．
18．如图，在四棱椎 P﹣ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AB∥CD，且 AB＝1，CD＝2， ，
PA＝1，AB⊥BC，N为 PD的中点．
（1）求证：AN∥平面 PBC；
（2）求平面 PDC与平面 PBC夹角的余弦值．
19．已知等差数列{an}的公差为 d，且关于 x的不等式 a1x2﹣dx﹣3＜0的解集为（﹣1，3）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 ，求数列{bn}前 n项和 Sn．
20．如图，已知椭圆 E： （a＞b＞0）的一个焦点为 F1（0，1），离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）过点 F1作斜率为 k的直线交椭圆 E于两点 A，B，AB的中点为 M．设 O为原点，
射线 OM交椭圆 E于点 C．当△ABC与△ABO的面积相等时，求 k的值．
第 4页（共 5页）
21．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 恒成立．求实数λ的最大值．
22．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（﹣1，0），B（1，0），设△ABC的内切圆与 AC
相切于点 D，且|CD|＝1，记动点 C的轨迹为曲线 T．
（1）求 T的方程；
（2）设过点 的直线 l与 T交于 M，N两点，已知动点 P满足 ，
且 ，若λ1+λ2＝0，且动点 Q在 T上，求|PQ|的最小值．
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数学解析
一．选择题（共 8 小题）
1．【解答】解：根据题意，若 ＝（2，2m﹣3，2）， ＝（4，2，3n﹣2），且 ，
设 ＝k ，则有 ，解可得 m＝2、n＝2，
则 m+n＝4；
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，圆 C：x2+y2﹣4y+3＝0，即 x2+（y﹣2）2＝1，即圆心为（0，2），
半径 r＝1；
故选：A．
3．【解答】解：k＜9时，曲线 C： 方程为： + ＝1，
即 25﹣k＞0，9﹣k＞0，且 25﹣k＞9﹣k，所以曲线 C为椭圆，
可得椭圆 的焦距 2c＝2 ＝8，焦点在 x轴上，
椭圆 C的焦距 2c'＝2 ＝8，焦点在 y轴上，
所以两个椭圆的焦点不同，焦距相同，
曲线 C的离心率由参数 k，所以离心率不同，
故选：A．
4．【解答】解：∵等比数列{an}的公比为﹣2，且 a1+2，a3+2，a5﹣7成等差数列，
∴2（a3+2）＝（a1+2）+（a5﹣7），即 2（4a1+2）＝（a1+2）+（16a1﹣7），解得 a1＝1，
∴等比数列{an}的前 10项和为 ＝﹣341，
故选：A．
5．【解答】解：由于椭圆的焦点在 y轴上，故设椭圆 C的方程为 ，
又离心率为 ，则 ，
又过 F1的直线 l交椭圆于 A，B两点，且△ABF2的周长为 24，则|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|
第 1页（共 14页）
＝4a＝24，解得 a＝6，
所以 c＝3，则 b2＝a2﹣c2＝36﹣9＝27，
所以椭圆 C的方程为 ．
故选：A．
6．【解答】解：如图，设抛物线的准线 l与 x轴交于点 K，抛物线与 AB直线的另一个交点
为 D，
分别过 A，D作准线 l的垂线，垂足点分别为 M，N，
设|AF|＝m，|DF|＝n，则|AM|＝m，|DN|＝n，
又 AB直线的斜率为 ，∴∠AFx＝60°，
∴∠MAB＝∠NDB＝∠AFx＝60°，
∴|BD|＝2|DN|＝2n，|AB|＝2|AM|，
又|AB|＝|BD|+|DF|+|AF|＝3n+m＝6，
∴3n+m＝2m，∴2m＝6，
∴m＝3，n＝1，∴|DN|＝n＝1，
又易知△BDN∽△BFK，
∴ ＝ ，
∴p＝|FK|＝ |DN|＝ ，
∴抛物线的方程为 y2＝3x．
故选：B．
7．【解答】解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
且 B1D1，BB1 平面 BB1D1，
第 2页（共 14页）
∴A1C1⊥平面 BB1D1，BD1 平面 BB1D1，
∴A1C1⊥BD1，
同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，且 A1C1，DC1 平面 A1C1D，
∴直线 BD1⊥平面 A1C1D，正确；
在②中，
∵A1D∥B1C，A1D 平面 A1C1D，B1C 平面 A1C1D，
∴B1C∥平面 A1C1D，
∵点 P在线段 B1C上运动，
∴P到平面 A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，
∴三棱锥 P﹣A1C1D的体积为定值，正确；
在③中，
∵A1D∥B1C，
∴异面直线 AP与 A1D所成角为直线 AP与直线 B1C的夹角．
易知△AB1C为等边三角形，
当 P为 B1C的中点时，AP⊥B1C；
当 P与点 B1或 C重合时，直线 AP与直线 B1C的夹角为 ．
故异面直线 AP与 A1D所成角的取值范围是 ，错误；
在④中，
以 D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，
则 P（a，1，a），C1（0，1，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），
第 3页（共 14页）
所以 ， ．
由①正确：可知 是平面 A1C1D的一个法向量，
∴ 直 线 C1P 与 平 面 A1C1D 所 成 角 的 正 弦 值 为 ：
，
∴当 时，直线 C1P与平面 A1C1D所成角的正弦值的最大值为 ，正确．
故选：D．
8．【解答】解：∵an+2＝ （n∈N*），∴ ①，
则 ②，
由①﹣②得 an+2an﹣an+1an 2 2﹣1＝an+1 ﹣an ，
∴an（an+2+an）＝an+1（an+1+an﹣1），
则 ，
由此可得 ， ，
∴ ，
则 an+2＝3an+1﹣an且 a1＝3∈Z，a2＝6∈Z，
故 an∈Z，故 A，C错误；
由 an+3＝3an+2﹣an+1，则 an+3﹣an+2＝5an+1﹣2an不是常数，
故不存在 p＞0，使得{an+1﹣pan}是等差数列，故 B错误；
假设存在 p＞0，使得{an+1﹣pan}是等比数列，设公比为 q，
则 an+1﹣pan＝q（an﹣pan﹣1），
∴an+1＝（p+q）an﹣pqan﹣1，
由 an+2＝3an+1﹣an，
则 ，解得 ，
第 4页（共 14页）
故存在 ，使得{an+1﹣pan}是等比数列，故 D正确．
故选：D．
二．多选题（共 4 小题）
9．【解答】解：直线 l与直线 l1：x+y﹣2＝0平行，
则直线 l的斜率为﹣1，即直线 l的倾斜角为 135°，故 A错误，
设直线 l的方程为 x+y+m＝0（m≠﹣2），
直线 l过点 P（﹣2，0），
则﹣2+0+m＝0，解得 m＝2，
故直线 l的方程为 x+y+2＝0，故 B正确，
直线 l与直线 l1间的距离为 d＝ ，故 C正确，
过点 P且与直线 l垂直的直线可设为 x﹣y+n＝0，
P（﹣2，0）代入可得，﹣2﹣0+n＝0，解得 n＝2，
故过点 P且与直线 l垂直的直线为：x﹣y+2＝0，故 D正确．
故选：BCD．
10．【解答】解：依题意， ，解得|PF1|＝a+m，|PF2|＝a﹣m，A不正
确；
令|F1F2|＝2c，由余弦定理得：
，
当θ＝60°时，a2+3m2＝4c2，即 ，因此 ，B正确；
当θ＝90°时，a2+m2＝2c2，即 ，有 ，
而 ， 则 有 ， 解 得
不正确；
第 5页（共 14页）
，
， 于 是 得
，
解得 ，而 ，因此 ，D不正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：∵an+3SnSn﹣1＝0（n＞2），
∴Sn﹣Sn﹣1+3SnSn﹣1＝0（n＞2），
∴ （n＞2），又 ，
∴{ }是以首项为 3，公差为 3的等差数列，∴A选项正确；
∴ ，∴ ，∴B选项正确；
当 n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝ ＝ ，又 a1＝ ，
∴ ，∴C选项错误；
∴ ，
∴{S } 是以首项为 ，公比为 的等比数列，∴D选项正确．
故选：ABD．
12．【解答】解：对 A，在 AC1上取一点 F使得 EF∥AA1，则 EF∥BB1，
当 EF＝B1D时，四边形 EFDB1为平行四边形，故 EB1∥DF，
又 B1E 平面 ADC1，DF 平面 ADC1，
所以直线 B1E∥平面 ADC1，故 A正确；
对 B，如图展开侧面 ABCC1D，易得当 D在 AC1与 BB1的交点时 AD+DC1取得最小值，
第 6页（共 14页）
因为 D是棱 BB1上（不含端点）的一个动点，故 AD+DC1无最大值，
故△ADC1的周长有最小值，但无最大值，故 B正确；
对 C，由题意，三棱锥 A﹣DC1C外接球即四棱锥 D﹣A1C1CA的外接球，
取 A1C1中点 N，AC中点 M，连接 MN并延长，交正方形 A1C1CA的外接圆于 PQ，
则 ．易得平面 DPQ⊥平面 A1C1CA，
根据外接球的性质有外接球的球心在平面 DPQ中，且为△DPQ的外接圆圆心，
由对称性，可得当 D在 BB1中点时，∠PDQ最大，此时外接球直径最小，
此 时 ， 故 外 接 球 直 径
，
此时外接球表面积 ，
当 D在 B或者 B1点时，三棱锥 A﹣DC1C外接球即正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的外接球，
此时外接球的一条直径与 AA1和△ABC的外接圆直径构成直角三角形：
此时外接球直径 ，
此时外接球表面积 ，
因为点 D是棱 BB1上（不含端点）的一个动点，
故三棱锥 A﹣DC1C外接球的表面积的取值范围是 ，故 C正确；
第 7页（共 14页）
对 D，设 A到平面 DCC1的距离为 h，
则由 ，即 ，故 ，
设 A到线段 DC1的距离 d，
则 ，解得 ，
故二面角 A﹣DC1﹣C的正切值为 ，故 D错误；
故选：ABC．
第 8页（共 14页）
三．填空题（共 4 小题）
13．【解答】解：设圆 C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1关于直线 y＝x+1对称的圆 C'的圆心为（m，
n），
由题意可得， ，解得 m＝0，n＝3，
故对称点的坐标是（0，3），
故圆的方程为 x2+（y﹣3）2＝1．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝1．
14．【解答】解：由题意可得：c＝5＝ ，a＝b，
解得 a2＝ ，
故答案为： ．
15．【解答】解：∵an+1﹣an＝2n，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…an﹣an﹣1＝2（n﹣1），
由累加得 ，
所以 ，
∴ ，
∵ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在（0，4]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，且 n∈N*，
第 9页（共 14页）
∴n＝4或 5时最小，n＝4时， ；n＝5时， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
16．【解答】解：如图所示：
取 B1C1的中点 M，连接 AN，A1M，MN，
因为 A1N⊥BC，AN⊥BC，又 AN∥A1M，
所以 A1M⊥BC，又 A1M∩A1N＝A1，
所以 BC⊥平面 A1MN，又 BC 平面 B1BCC1，
所以平面 A1MN⊥平面 B1BCC1，
又平面 A1MN∩平面 B1BCC1＝MN，
作 A1P⊥MN，则 A1P⊥平面 B1BCC1，
因为 ，
所以直线 A1B1与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 ．
故答案为： ．
四．解答题（共 6 小题）
17．【解答】解：（1）因为在等差数列{an}中，a3＝2，a4+a6＝20，
所以有 ；
（2）因为在等差数列{an}中，a1＝﹣6，d＝4，
所以 ．
第 10页（共 14页）
18．【解答】证明：（1）取 PC中点为 M，连接 NM，MB，如图所示，
因为 M，N分别是 PC，PD的中点，所以 NM∥ 且 ，
又因为 AB∥ 且 ，
所以 NM∥AB，NM＝AB，所以四边形 NMBA为平行四边形，
所以 AN∥BM，又因为 AN 平面 PBC，BM 平面 PBC，
所以 AN∥平面 PBC．
解：（2）取 DC中点为 E，以 A为空间直角坐标系原点，AE为 x轴，AB为 y轴，AP为
z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0）， ， ，
设平面 PBC的法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 y＝1，解得 ，即 ，
设 平 面 PDC 的 法 向 量 为 ， 因 为 ，
，
所以 ，令 ，解得 ，即 ，
第 11页（共 14页）
所以 ，
所以平面 PDC与平面 PBC夹角的余弦值为 ．
19．【解答】解：（1）关于 x的不等式 a1x2﹣dx﹣3＜0的解集为（﹣1，3），
可得﹣1，3是方程 a1x2﹣dx﹣3＝0的两根，
则﹣1+3＝ ，﹣1×3＝﹣ ，
解得 a1＝1，d＝2，
则 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2） ＝（2n﹣1） 2n，
数列{bn} ﹣前 n项和 Sn＝1 2+3 22+5 23+...+（2n﹣3） 2n 1+（2n﹣1） 2n，
2Sn＝1 22+3 23+5 24+...+（2n﹣3） 2n+（2n﹣1） 2n+1，
﹣
上面两式相减可得﹣Sn＝2+2（22+23+...+2n 1+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1
＝2+2 ﹣（2n﹣1） 2n+1，
化简可得 Sn＝6+（2n﹣3） 2n+1．
20．【解答】解：（Ⅰ）由题意得 c＝1，又 e＝ ＝ ，则 a＝ ，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆 E的方程为 +x2＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆 E的方程为 +x2＝1，由题意得直线 AB的方程为 y﹣1＝kx，即
y＝kx+1，
联立直线 AB与椭圆 E可得 ，整理得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得 x1+x2＝﹣ ，y2+y1＝k（x1+x2）+2＝ ，
∵△ABC与△ABO的面积相等，∴点 C和点 O到直线 AB的距离相等，
又 AB的中点为 M，则 M为线段 OC的中点，即四边形 OACB是平行四边形，
第 12页（共 14页）
设 C（xC，yC），则 ＝ + ，即（xC，yC）＝（x1，y1）+（x2，y2），
∴xC＝x1+x2＝﹣ ，yC＝y2+y1＝ ，
又 ＝1，即 ，解得 k＝± ．
21．【解答】解：（1）依题意，Sn＝2an﹣n，当 n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得 a1＝1，
当 n≥2时，Sn＝2an﹣n，Sn﹣1＝2an﹣1﹣n+1，两式相减得 an＝2an﹣2an﹣1﹣1，
因此 an＝2an﹣1+1，则 an+1＝2（an﹣1+1），
则{an+1}是以 a1+1为首项，2为公比的等比数列，有 ，显然 a1＝1满足上式，
所以数列{an}的通项公式为 ．
（2）由（1）可知， ，因 ，整理得： ，
令 ，则 ，
显然 b2﹣b1＜0，当 n≥2时，bn+1﹣bn＞0，即 bn+1＞bn，因此当 n≥2 时，数列{bn}是递
增的，
于是得 ，依题意， 恒成立，即有 ，
所以实数λ的最大值为 ．
22．【解答】解：（1）设△ABC的内切圆与 BC，BA分别相切于点 E，F，
由切线长性质可知，|CD|＝|CE|＝1，|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
所以|AD|+|BE|＝|AF|+|BF|＝2，
所以|CA|+|CB|＝|CD|+|AD|+|CE|+|BE|＝4＞|AB|，
所以动点 C的轨迹为以点 A，B为焦点，长轴长为 4的椭圆（且 C不在 AB上），
设动点 C的轨迹方程为 ，
则 a＝2，a2﹣b2＝1，解得 b2＝3，
所以曲线 T的方程为 ；
第 13页（共 14页）
（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y），
因为 ，
所以 ，
若λ1＝﹣1，则λ2＝1，则 ，即 P与 R重合，与 矛盾，则λ1≠﹣1；
所以 ，即 ，
将 点 M 的 坐 标 代 入 ， 整 理 可 得
，
同理可得， ，
则λ1，λ2是方程 的两个根，
则 ，即 x0+2y0﹣12＝0，
所以动点 P在定直线 l1：x+2y﹣12＝0上，
显然直线 l1与 T没有交点，令直线 l2：x+2y﹣m＝0（m＞0），
当直线 l2与 T相切时，即 l1，l2的距离为 d，则|PQ|≥d，
联立 ，消去 y可得，4x2﹣2mx+m2﹣12＝0，
则Δ＝4m2﹣16（m2﹣12）＝0，解得 m＝4（负值舍去），
此时，可解得 ，即切点坐标为 ，
且直线 l1，l2的距离为 ，则 ，
所以|PQ|的最小值为 ．
第 14页（共 14页）
