北师大版数学七年级下册 1.5　平方差公式 课时练习（含答案）

1.5　平方差公式
一、选择题
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(　　)
A．(－a＋b)(a－b) B．(x＋2)(2＋x) C. D．(x－2)(x＋1)
2．若(2a＋3b)(　　)＝9b2－4a2，则括号内应填的代数式是(　　)
A．－2a－3b B．2a＋3b C．2a－3b D．3b－2a
3．【2022·广元】下列运算正确的是(　　)
A．x2＋x＝x3 B．(－3x)2＝6x2 C．3y·2x2y＝6x2y2 D．(x－2y)(x＋2y)＝x2－2y2
4．如果(x＋y－3)2＋|x－y＋6|＝0，则x2－y2的值为(　　)
A．9 B．－9 C．18 D．－18
5．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6．三个连续的整数，若设中间的一个数是n，则这三个整数的积是(　　)
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
7．计算的结果是(　　)
A. B．500 C．1 000 D．5 000
8．【2022·赤峰】已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　　)
A．13 B．8 C．－3 D．5
9．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积(　　)
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
10．如果用平方差公式计算(x－y＋5)(x＋y＋5)，那么可将原式变形为(　　)
A．[(x－y)＋5][(x＋y)＋5] B．[(x－y)＋5][(x－y)－5]
C．[(x＋5)－y][(x＋5)＋y] D．[x－(y＋5)][x＋(y＋5)]
11．计算的结果是(　　)
A. B. C. D.
12．若A＝－1＋…1＋＋1，则A的值是(　　)
A．0　　B．1　　C．1＋　　D.
二、填空题
13．计算：(1)2019×1981＝ ；
(2)50×49＝ .
14．【2022·苏州】已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________．
15．如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝ .
16．如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，那么a＋b的值为________.
17．已知x2－y2＝4，则(x＋y)3(x－y)3＝________.
18．观察下列各式，探索发现规律：
22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；
62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；
102－1＝99＝9×11；…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ．
三、解答题
19．利用平方差公式计算：
(1)104×96; (2)14×15；(3).
20．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定＝ad－bc，求的值．
21．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2 m，将宽增加2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的 2倍，求改造后正方形绿地的面积．
22．(1)【2021·吉林】先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝.
(2)【2022·衡阳】先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋b(2a＋b)，其中a＝1，b＝－2.
23．有时逆向运用一些公式或法则可以使计算简便，如：1253×83＝(125×8)3＝10003＝(103)3＝109，这是因为逆用了公式(ab)m＝ambm，那么逆用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否也能运算简便呢？试求：(1－)(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)．
24．观察下列等式：
第1个：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
第2个：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
第3个：(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
(1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用你发现的规律猜想并填空：若n为大于1的整数，则(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋a2bn－3＋abn－2＋bn－1)＝________；
(2)利用(1)的猜想计算：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋21＋1(n为大于1的整数)；
(3)计算：3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋31＋1(n为大于1的整数)．
参考答案
一、选择题
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(　C　)
A．(－a＋b)(a－b) B．(x＋2)(2＋x) C. D．(x－2)(x＋1)
2．若(2a＋3b)(　　)＝9b2－4a2，则括号内应填的代数式是(　D　)
A．－2a－3b B．2a＋3b C．2a－3b D．3b－2a
3．【2022·广元】下列运算正确的是(　C　)
A．x2＋x＝x3 B．(－3x)2＝6x2 C．3y·2x2y＝6x2y2 D．(x－2y)(x＋2y)＝x2－2y2
4．如果(x＋y－3)2＋|x－y＋6|＝0，则x2－y2的值为(　D　)
A．9 B．－9 C．18 D．－18
5．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　B　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6．三个连续的整数，若设中间的一个数是n，则这三个整数的积是(　D　)
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
7．计算的结果是(　B　)
A. B．500 C．1 000 D．5 000
8．【2022·赤峰】已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　A　)
A．13 B．8 C．－3 D．5
9．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积(　C　)
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【解析】长方形的面积为(a＋6)(a－6)＝a2－36(平方米)，
正方形的面积为a2平方米，
所以长方形的面积比正方形的面积小了36平方米．
10．如果用平方差公式计算(x－y＋5)(x＋y＋5)，那么可将原式变形为(　C　)
A．[(x－y)＋5][(x＋y)＋5] B．[(x－y)＋5][(x－y)－5]
C．[(x＋5)－y][(x＋5)＋y] D．[x－(y＋5)][x＋(y＋5)]
11．计算的结果是(　A　)
A. B. C. D.
12．若A＝－1＋…1＋＋1，则A的值是(　D　)
A．0　　B．1　　C．1＋　　D.
二、填空题
13．计算：(1)2019×1981＝ ；
(2)50×49＝ .
【答案】3999639 2499
14．【2022·苏州】已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝________．
【答案】24
15．如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝ .
【答案】－4
16．如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，那么a＋b的值为________.
【答案】±4
17．已知x2－y2＝4，则(x＋y)3(x－y)3＝________.
【答案】64
18．观察下列各式，探索发现规律：
22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；
62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；
102－1＝99＝9×11；…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ．
【答案】(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)
三、解答题
19．利用平方差公式计算：
(1)104×96; (2)14×15；(3).
解：(1)原式＝9984；　(2)原式＝224； (3)原式＝2019.
20．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定＝ad－bc，求的值．
解：由题意得：原式＝(x－y)(x＋y)－(2x＋y)(2x－y)＝x2－y2－4x2＋y2＝－3x2.
21．原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2 m，将宽增加2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的 2倍，求改造后正方形绿地的面积．
解：设改造后正方形绿地的边长为x m，则改造前长方形绿地的长是(x＋2) m，宽是(x－2) m．根据题意有2(x＋2)(x－2)＝x2，
即2(x2－4)＝x2，可得x2＝8.
答：改造后正方形绿地的面积为8 m2.
22．(1)【2021·吉林】先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝.
解：(x＋2)(x－2)－x(x－1)＝x2－4－x2＋x＝x－4.
当x＝时，原式＝－4＝－3.
(2)【2022·衡阳】先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋b(2a＋b)，其中a＝1，b＝－2.
解：(a＋b)(a－b)＋b(2a＋b)＝a2－b2＋2ab＋b2＝a2＋2ab.
当a＝1，b＝－2时，原式＝12＋2×1×(－2)＝1－4＝－3.
23．有时逆向运用一些公式或法则可以使计算简便，如：1253×83＝(125×8)3＝10003＝(103)3＝109，这是因为逆用了公式(ab)m＝ambm，那么逆用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否也能运算简便呢？试求：(1－)(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)．
解：原式＝(1＋)(1－)(1＋)(1－)…(1＋)(1－)＝×××××…×＝×＝.
24．观察下列等式：
第1个：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
第2个：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
第3个：(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
(1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用你发现的规律猜想并填空：若n为大于1的整数，则(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋a2bn－3＋abn－2＋bn－1)＝________；
【答案】an－bn
(2)利用(1)的猜想计算：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋21＋1(n为大于1的整数)；
解：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋21＋1
＝(2－1)×(2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋2＋1)
＝2n－1n＝2n－1.
(3)计算：3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋31＋1(n为大于1的整数)．
解：3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋31＋1
＝×(3－1)×(3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋3＋1)
＝(3n－1n)＝.
【提示】(2)(3)分别补项(2－1)和×(3－1)计算．