人教版数学 九下 《27.2相似三角形》同步测试卷A卷
选择题（共30分）
1.如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
2.下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
B．
C． D．
3.如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C．D．
4，如图，在 中，D、E两点分别在 、 边上， ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B分别在y轴、x轴上，，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点D，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6.如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．
A． B．13 C． D．
7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
8.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
填空题（共24分）
11.如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ，使△ACD∽△ABC．
12．两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 ；较小三角形的周长是 ．
13．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
14.如图，在中，，，，，那么的值是 ．
15.如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
16.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交于点R测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝ m．
三。解答题（共66分）
17.（6分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1.
（1）在图中画一个格点△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为1：2；
（2）仅用无刻度的直尺作出（1）中△DEF的外接圆的圆心.
18.（8分）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
19.（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
20.（10分）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
21.（10分）如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）联结BD与AE交于点G，联结GF，如果BE2＝EC BC，求证：GF∥BC．
．
22.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上的点，AE：ED＝1：2．连结BE，交AO于点G．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG．
23.（12分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30 cm，在其正上方有一个灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B，D'C的长度和为6 cm，那么灯泡离地面的高度为 .
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按图2摆放，灯泡仍处于两个正方形的正上方.请计算此时横向影子A'B，D'C的长度和为多少
(3)有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B，D'C的长度和为b，灯泡处于n个正方形的正上方.求灯泡离地面的距离.(写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示)人教版数学 九下 《27.2相似三角形》同步测试卷A卷
答案解析
选择题（共30分）
1.如图，点P在△ABC的边AB上，要判断△ACP∽△ABC，添加一个条件错误的是（ ）
A．∠APC＝∠ACB B．∠ACP＝∠B C． D．
【解析】解：A、∵∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、∵，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，故此选项不符合题意；
D、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
2.下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）
B．
C． D．
【解析】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，
A．三角形的三边的长度分别为：＝2，2，4，
∵＝，＝，＝，
∴＝＝，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B．三角形的三边的长度分别为：2，＝，＝3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C．三角形的三边的长度分别为：＝，＝，3，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D．三角形的三边的长度分别为：＝，＝3，＝2，
∵＝1，＝，＝，
∴≠≠，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A．
3.如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵ ，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵ ，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故答案为：C.
4，如图，在 中，D、E两点分别在 、 边上， ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D
5.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B分别在y轴、x轴上，，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点D，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：作轴于E，
轴， ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
点 是 的中点，
， ．
反比例函数 的图象经过点D，
．
故答案为：B．
6.如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．
A． B．13 C． D．
【答案】C
【解析】解：过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=3米，
根据题意可得△AHG∽△FDE，
∴，
，
∴AH=4.5，
∴AB=AH+BH=4.5+3=米，
故选：C．
7.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
【答案】C
【解析】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，
∴AE=11.5米，
∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，
∴树的高度是11.8米，
故选C.
8.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ＝（ ）
A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F是BC的三等分点，
∴AD＝BC＝3BE＝3EF＝3CF，
∵AD∥BC，
∴△AQD∽△CQE，△APD∽△FPE，
∴＝，，
设DQ＝3x，EQ＝2x，则DE＝5x，
∴DP＝，EP＝，
∴PQ＝EQ﹣EP＝2x﹣，
∴EP：PQ：DQ＝5：3：12，
故选：C．
9.如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【解析】解：∵EF⊥FG，
∴∠EFB+∠GFC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠GFC+∠FGC＝90°，
∴∠EFB＝∠FGC，
∴△EFB∽△FGC，
∴，
∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，
∴，
∴CG＝4，
同理可得△DAE∽△EBF，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴BA＝AE+BE＝+3＝，
∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
【解析】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴BD＝EF＝b，
∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∴＝＝（）2＝，
∵S1＝ah，
∴S2＝，
∴S1S2＝，
∴bh＝2，
∵S3＝bh，
∴S3＝2．
故选：B．
填空题（共24分）
11.如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件： ，使△ACD∽△ABC．
【解析】解：添加：∠ACD＝∠ABC．
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD．
添加：∠ACB＝∠D．
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△ACD．
添加：．
∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为：∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或．
12．两个相似三角形的相似比为，较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，则较大三角形的面积是 ；较小三角形的周长是 ．
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴周长的比等于，面积的比等于3：2，
∵较大三角形的周长是8；较小三角形的面积是6，
∴则较大三角形的面积是9；较小三角形的周长是8，
故答案为：9，8．
13．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
【解析】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则＝，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴＝，
解得：DC＝6.4，
故答案为：6.4．
14.如图，在中，，，，，那么的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠ADE=∠B，∠BDF=∠BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴，
∴．
故答案为：．
15.如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
【答案】或2或6
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
16.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交于点R测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝ m．
【答案】90
【解析】【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
故答案为：90．
三。解答题（共66分）
17.（6分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1.
（1）在图中画一个格点△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比为1：2；
（2）仅用无刻度的直尺作出（1）中△DEF的外接圆的圆心.
【答案】（1）解：如图，格点△DEF即为所作；
（2）解：如图，点P即为△DEF的外接圆的圆心.
18.（8分）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴CD＝BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴AD＝，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝AC＝．
19.（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若＝，求的值．
【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，
∴△BAC∽△DAE，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE；
（2）解：∵△ABD∽△ACE，
∴，
∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，
∴＝，
∴＝ ＝＝3，
∵△ADF∽△ECF，
∴＝＝3．
20.（10分）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
【解析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，
∵AT为∠BAC的平分线，
∴TD＝TE，
∵S△ABTAB TD，S△ACTAC TE，AB＝3，AC＝4，
∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABTBT h，S△ACTTC h，
∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，
由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，
∴．
21.（10分）如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAE＝∠DAF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）联结BD与AE交于点G，联结GF，如果BE2＝EC BC，求证：GF∥BC．
．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF；
（2）如图，
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴EC＝CF，
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△EGB，
∴，
∵BE2＝EC BC，
∴，
∴，
∴，
∴GF∥BC．
22.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD上的点，AE：ED＝1：2．连结BE，交AO于点G．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而可得△AEG∽△CBG，由AE：ED＝1：2可得BC＝3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；
（2）得出CG＝2OA﹣AG，则，得出AG，则可得出结论．
【解析】（1）∵AE：ED＝1：2．
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴，
∴EG：BG＝1：3；
（2）证明：由（1）知：△AEG∽△CBG，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴CG＝2OA﹣AG，
∴，
即AG，
∴AG＝OG．
23.（12分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30 cm，在其正上方有一个灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B，D'C的长度和为6 cm，那么灯泡离地面的高度为 .
(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按图2摆放，灯泡仍处于两个正方形的正上方.请计算此时横向影子A'B，D'C的长度和为多少
(3)有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B，D'C的长度和为b，灯泡处于n个正方形的正上方.求灯泡离地面的距离.(写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示)
解：(1)180 cm
(2)设横向影子A'B，D'C的长度和为y cm，灯泡的位置为点P. ∵AD∥A'D'，∴∠PAD＝∠PA'D'，∠PDA＝∠PD'A'，∴△PAD∽△PA'D'. 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得＝，∴＝，解得y＝12. ∴此时横向影子A'B，D'C的长度和为12 cm.
(3)设灯泡离地面的距离为x，记灯泡为点P. 由题意得PM＝x，PN＝x－a，AD＝na，A'D'＝na＋b，同理可得＝＝1－，＝1－，解得x＝，
∴灯泡离地面的距离为.
