数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3 向量的数乘运算课件（共19张ppt)

(共19张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
情境引入
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应向量为 ，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量有怎样表示？是 吗？你能用图形表示吗？
a
O
A
a
a
a
=3a
-a
-a
-a
P
B
=-3a
3a的方向与a的方向相同， 3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|．
－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|
新知探究
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。
定义
长度：
方向：当时，的方向与的方向相同；
当时， 的方向与的方向相反；
当时，
规定
新知探究
问题1
你对零向量、相反向量有什么新的认识？
1.零乘以任何向量的结果是零向量
2.-1乘任何向量得到这个向量的相反向量
问题2
如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？
问题3
想一想，向量数乘的几何意义是什么？
把向量 沿着 的方向或反方向长度放大或缩小．
新知探究
请通过作图判断下列等式是否成立：
（2）
（3）2
新知探究
向量数乘的运算律：
设，是实数，那么有
(1)结合律：
(2)分配律：①
②
特别地，我们有
向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
向量线性运算的结果仍是向量。
对于任意的向量, ,以及任意实数，
恒有
巩固新知
证明(1) (2)(3)的证明略.
证：当或或时，上式显然成立.
当或或时，由向量数乘运算的定义，得：
，
所以.
当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同；
当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反.
巩固新知
例1.计算：
巩固练习：P16 2题
M
D C
a
b
M
A B
D C
b
M
D C
b
巩固练习：P15 第 2、3题
巩固新知
巩固新知
（１）向量得数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（２）向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
总结
问题4
引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系？
探究新知
事实上，对于向量（ ≠ ）， ，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线．
反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即 ，那么当同方向时，有；当反方向时，有
易得，实数与向量的积与原向量共线
向量共线定理：
向量（）与共线的充要条件：存在唯一一个实数，使
探究新知
①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线;
②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线
③当，若，则对一切的实数入，都有，与“唯一一个实数”矛盾。
向量共线定理中为什么规定 ？
应用举例距离
例3.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量， 是否共线，即是否存在，使成立．
应用举例
C
例3.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。
应用举例距离
例4 .如图,已知，是两个不共线的向量，共线，求实数的值。
由，不共线，易知为非零向量。
由向量，共线可知，
存在实数，使得,即.
由，不共线，必有,
否则，不妨设 ，则
由两个向量共线的充要条件可知， ，会共线，与已知矛盾。
由，解得
因此，当向量，共线时，
练习巩固
　设a，b是不共线的两个向量.
∴A，B，C三点共线.
练习巩固
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
梳理总结
再 见