课件27张PPT。选修2－21．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题
1．通过实例了解平均变化率的概念．
2．会求一些简单函数的平均变化率．本节重点：函数的平均变化率的概念．
本节难点：函数平均变化率的求法．
1．Δx是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.2．求函数平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率：
(1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
[例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
[分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
[点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形式．已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率．
(1)a＝1，b＝2；
[解析] (1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3，
f(2)＝22＋2×2＝8，
∴f(x)从1到2的平均变化率为
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先求出表达式，再直接代入数据可以求得相应的平均变化率的值．[点评] 此类题易错之处容易将平均变化率与平均数相混淆，关键是理解平均变化率的概念．[分析] 先将正弦函数在每个自变量的附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较．[点评] 本题的关系是将平均变化率的式子进行变形，以便于判断k1与k2的大小．一、选择题
1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为 ( )
[答案] A2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则平均变化率为 ( )
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02
[答案] C3．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数 ( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
[答案] A
[解析] 符合平均变化率的概念，故应选A.课件41张PPT。 1．1.2 导数的概念
1．知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念．
2．能利用导数的定义求函数的导数．
本节重点：导数的定义．
本节难点：用导数的定义求函数的导数．对导数的定义要注意：
第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；
第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不是变量；
[例1] 已知自由落体的运动方程为s＝ gt2，求：
(1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)落体在t0时的瞬时速度；
(3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度；
(4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．[点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
[例2] 求函数y＝x2在点x＝3处的导数．
[分析] 利用导数定义求导．
[解析] (1)求y在点x＝3处的增量．
取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2.
(2)算比值．[点评] 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法．
由导数的意义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法是：[分析] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，要求所给的极限值，必须将已给极限式转化为导数的意义．[点评] 概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，解决这类问题的关键是等价变形，使问题转化．[答案] －2A
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①物体的运动方程已知；
②求物体在某一时间段的平均速度和物体在某一时刻的瞬时速度．
解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为(3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为[点评]
如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数y＝s(t)＝t3＋3.
求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)；
(2)t＝2到t＝4的平均速度；
(3)t＝4时，物体的速度v(4)．[答案] C2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于 ( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] A[答案] A二、填空题
4．自由落体运动在t＝4s的瞬时速度是________．
[答案] 39.2m/s5．对于函数y＝x2，其导数等于原来的函数值的点是______________．
[答案] (0,0)和(2,4)课件38张PPT。1．1.3 导数的几何意义
理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．
本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程．
本节难点：求曲线在某点处的切线方程．
1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．2．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但它不可导．1．导数的几何意义
①割线斜率与切线斜率2．函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′
＝ .
[例1] 求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值，上一节已经学过第一种方法．现在我们用第二种方法求解．
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
[分析] 求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．
[点评] 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上与P邻近的点，有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，
Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，
[例3] 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.
[分析] 解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．[点评] 此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标．
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求a的值；
(2)求切点的坐标．[例4] 已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，
(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点？
[分析] (1)关键是求出切线斜率k＝f′(1)及切点坐标；(2)将(1)中的切线方程与曲线C联立，根据方程组的解的情况判断．＝12x3－6x2－18x.
∴切线的斜率为k＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，
即y＝－12x＋8.
[点评] 此例说明：曲线与直线相切并不只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．一、选择题
1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0 C．4 D．不存在
[答案] B2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为
( )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
[答案] B[答案] B二、填空题
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有___________是它的切线，而__________不是它的切线．
[答案] y轴 x轴
[解析] 如图所示，可知y轴是它的切线，而x轴不是它的切线．
[答案] k
[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在x0处的切线斜率即为函数y＝f(x)在x＝x0时的导数．课件24张PPT。1．2 导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数
本节重点：几个常见函数的导数．
本节难点：函数导数的求法及常见函数导数的应用．012x几个常用函数的导数
[例1] 求函数f(x)＝π＋2的导数．
[解析] ∵π＋2为常数，∴f′(x)＝0.
[点评] π是常数，不是变量．[分析] 先利用导数公式求得斜率，再求切线方程．[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．[点评] x轴上两点间的距离公式d＝|x2－x1|.
曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．一、选择题
1．函数f(x)＝3x2在x＝1处的导数为 ( )
A．2 B．3
C．6 D．12
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝6x，∴f′(1)＝6×1＝6.2．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是
( )
A．7米/秒 B．6米/秒
C．5米/秒 D．8米/秒
[答案] C
[解析] v(t)＝s′(t)＝－1＋2t，
∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.[答案] D二、填空题
4．y′＝0表示函数y＝c图象上每一点处的切线斜率都为________．
[答案] 0
[解析] 由y′＝(c)′＝0及导数的几何意义可知切线斜率都为0.即当b＝2时，切点为(1,1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．课件30张PPT。1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1．熟记基本初等函数的导数公式，理解导数的四则运算法则．
2．能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函数的导数．
本节重点：导数公式和导数的运算法则及其应用．
本节难点：导数公式和运算法则的应用．1．基本初等函数的导数公式0nxn－1cosx－sinxaxlnaex2.导数的四则运算法则
设函数f(x)、g(x)是可导的，则
(1)(f(x)±g(x))′＝
(2)(f(x)·g(x))′＝ f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)[点评] 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准．
[分析] 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则进行求导．[点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
(1)求下列函数的导数．
①y＝x2sinx ②y＝x2(x2－1)[例3] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
[分析] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．
[解析] 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
y′＝2ax＋b，曲线过点P(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.[点评] 本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力．[答案] C2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.[答案] D5．设f(x)＝(2x＋a)2，则f′(2)＝20，则a＝________.
[答案] 1
[解析] ∵f(x)＝(2x＋a)2＝4x2＋4ax＋a2
∴f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a，又f′(2)＝20，
∴16＋4a＝20，∴a＝1.课件23张PPT。
1．了解复合函数的定义，并能写出简单函数的复合过程；
2．掌握复合函数的求导方法，并运用求导方法求简单的复合函数的导数．
本节重点：
①导数公式和导数运算法则的应用．
②复合函数的导数．
本节难点：复合函数的求导方法．复合函数及其求导法则x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积[分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x
[点评] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．[答案] A[答案] C[答案] A[答案] －6课件23张PPT。
1．了解复合函数的定义，并能写出简单函数的复合过程；
2．掌握复合函数的求导方法，并运用求导方法求简单的复合函数的导数．
本节重点：
①导数公式和导数运算法则的应用．
②复合函数的导数．
本节难点：复合函数的求导方法．复合函数及其求导法则x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积[分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．[解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x
[点评] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．[答案] A[答案] C[答案] A[答案] －6课件28张PPT。1．3 导数在研究函数中的应用
1．3.1 函数的单调性与导数
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间．
本节重点：利用导数研究函数的单调性．
本节难点：用导数求函数单调区间的步骤．1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系
如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ．
2．求函数单调区间的步骤
(1)确定f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．单调递增单调递减常数函数增函数减函数[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，
解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．[点评] 求函数单调区间时需注意：
1．步骤：2．含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想．
3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
[例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．[点评] 此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明．利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法．
[例4] 已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
[分析] 由向量的数量积和运算法则求函数f(x)的解析表达式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范围．[解析] 解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t
f′(x)＝－3x2＋2x＋t
∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立
∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立
即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立
令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5.
解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t
f′(x)＝－3x2＋2x＋t
∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立
又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0使f(x)在(－1,1)上是增函数
故t的取值范围是t≥5.
[点评] 已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决．特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为 ( )
A．(－∞，－1]和[0,1]
B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0
A．单调增函数
B．单调减函数
[答案] C3．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有 ( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∴f(x)>f(a)≥0.[答案] －4
[解析] 因为f′(x)＝x2－3x＋a.
令x2－3x＋a≤0，由题意知x2－3x＋a≤0的解集恰为[－1,4]，
则由韦达定理知a＝－1×4＝－4.三、解答题
6．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．[解析] (1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，在x∈(－1,1)恒成立．
∵－1故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：∵f(－1)＝a－2∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．课件29张PPT。 1．3.2 函数的极值与导数
1．掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求一些函数的极大值和极小值．
本节重点：函数极值的概念与求法．
本节难点：函数极值的求法．1．极值点与极值
(1)极小值与极小值点(对可导函数)
如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：
①f(a) f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值)；
②f′(a)＝ ；
③在x＝a附近的左侧f′(x) 0，函数单调递 ；
在x＝a附近的右侧f′(x) 0，函数单调递 ．
<0<减>增(2)极大值与极大值点(对可导函数)
如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：
①f(b) f(x0)(f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值)；
②f′(b)＝ ；
③在x＝b附近的左侧，f′(x) 0，函数单调增；
在x＝b附近的右侧，f′(x) 0，函数单调 ．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．>0><减2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0[例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值．
[分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断．
[解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0，
当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极值．[点评] (1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的必要条件而不是充分条件，如果再加上x0附近导数的符号相反，才能判定在x＝x0处取得极值．
(2)在区间上的单调函数是没有极值的，像这样的重点结论可记熟．2．求可导函数极值的基本步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(4)检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)．
总之，求可导函数的极值的核心是：解方程f′(x)＝0；列表；模拟图象；确定极大值或极小值．
[例3] 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．
[分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左右异号．[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，[点评] 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键．
[例4] 求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)
[解析] 由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：由此可得：
当0当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；
当1当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．
综上得：当0当1当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[点评] 判断函数极值点的注意事项
(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值．
(3)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)＝|x|在x＝0处不可导，但由图象结合极小值定义知f(x)＝|x|在x＝0处取极小值．
(4)在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且极大值不一定比极小值大．(5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f′(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然．
(6)极值情况较复杂时，注意分类讨论．
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[分析] 本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力．[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．一、选择题
1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．2．函数y＝x3＋1的极大值是 ( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．3．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是 ( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B
[解析] 适合题意的函数满足f(1)＝4，排除A、C、D.二、填空题
4．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
[答案] a<0
[解析] f′(x)＝3x2＋a由题设条件知f′(x)＝0应有两个不同实数根，∴a＜0.5．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
[答案] 32
[解析] f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)课件31张PPT。1．3.3 函数的最大(小)值与导数
1．理解函数最值的概念及闭区间上函数存在最值的定理．
2．掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小值的方法．
本节重点：函数在闭区间上最值的概念与求法．
本节难点：极值与最值的区别与联系，求最值的方法．极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
(4)可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)，若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取得 ，函数的 必在 或 取得．但在开区间(a，b)内可导的函数f(x) 有最大值与最小值．
2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
(1)求f(x)在开区间(a，b)内的 ；
(2)计算函数f(x)在各 和 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中 的一个为最大值， 的一个为最小值．最大值与最小值最值极值点区间端点不一定极值极值点端点最大最小
[例1] 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值，然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[解析] f′(x)＝3x2－4x.[点评] 注意比较求函数最值与求函数极值的不同．[例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a；
②在a确定的情况下，求切线方程；
③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值．
解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．[解析] (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.[点评]
[例3] 已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29；
②根据最大值、最小值确定a，b的值．
解答本题可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值．[解析] 存在．
显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．
(1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取最小值，
即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.(2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，
f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值，
即－16a－29＝3，所以a＝－2.
综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[点评] 已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一，由于参数会对函数的最值的取到点有影响，所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．一、选择题
1．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) ( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[答案] B
[解析] f′(x)＝－4x3＋4x
由f′(x)＝0得x＝±1或x＝0
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B.2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 ( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
[答案] A
[解析] f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2
∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m.
∴f(0)>f(2)>f(－2)
∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故应选A.[答案] B二、填空题
4．函数y＝x4－2x3在[－2,3]上的最大值为______，最小值为________．5．若函数f(x)在[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．
[答案] 小 大
[解析] 由f′(x)>0，∴f(x)在[a，b]上是增函数，
∴f(a)是函数的最小值，f(b)是函数的最大值．三、解答题
6．求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最大值和最小值．
[解析] 解法1：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，
∴f′(x)＝－4x3＋4x.
由f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，或x＝0，或x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)有最小值－60；
当x＝±1时，f(x)有最大值4.
解法2：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，
∴f′(x)＝－4x3＋4x.
又f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0，解得x＝－1，或x＝0，或x＝1.
又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，
f(1)＝4，f(2)＝－5.
所以，当x＝－3时，f(x)有最小值－60；
当x＝±1时，f(x)有最大值4.
[点评] 求函数最值时，可以直接比较极值点与端点处函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值．课件33张PPT。 1．4 生活中的优化问题举例
能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是 且函数只有一个 时，这个 也就是它的 ．
2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 ．极值端点的函数值开区间极值极值最值优化问题导数导数优化问题
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[分析] 根据所给几何体的体积公式建模．
[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当00，
当10答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[分析] 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．[解析] 解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则
∵BD＝40，AC＝50－x，
令y′＝0，解得x＝30.
当00.因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．[点评] 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．一、选择题
1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为 ( )
[答案] A2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为 ( )
A．0.5m B．1m
C．0.8m D．1.5m
[答案] A二、填空题
4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．
[答案] 1∶15．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．
[答案] 6%
[解析] 设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．
当x∈(0,0.06)时，y′>0，当x∈(0.06，＋∞)时，y′<0，故当x＝0.06时，y取最大值．三、解答题
6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[解析] 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．令S′>0得x>140，令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，
在(20,140)上单调递减，
∴S(x)的最小值为S(140)．课件32张PPT。1．5 定积分的概念
1．5.1 曲边梯形的面积
1．5.2 汽车行驶的路程
了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的求解方法，了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
本节重点：曲边梯形的面积、汽车行驶路程的求法．
本节难点：“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的 函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 (如图②)；连续y＝f(x)小曲边梯形②近似代替：对每个小曲边梯形“ ”，即用 的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的 (如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值 ；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个 ，即为曲边梯形的面积．以直代曲矩形近似值求和定值3．求变速直线运动的位移(路程)
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割，近似代替，求和，取极限
[例1] 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
[分析] 只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完成即可．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即[点评] (1)分割的目的在于更精确地“以直代曲”．上例中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积．
(3)求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替、求和、取极限的方法．
[例2] 已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.(2)近似代替
在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离：(3)求和
因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，(4)取极限
求和式①的极限：[点评] 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
一辆汽车在直线形公路上作变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．[答案] C
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
[答案] D
[解析] 由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D正确，故应选D.二、填空题
3．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．[答案] 0.33
[解析] 由题意得
S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2
＝0.33.
课件39张PPT。 1．5.3 定积分的概念
通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程，了解定积分的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定义求简单的定积分．
本节重点：定积分的定义与性质．
本节难点：定积分定义的理解．1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．
②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定积分的定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．
2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．从定积分的几何意义不难理解定的积分性质，即曲边梯形面积的和与差．1．定积分的概念定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定积分去实现．[点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积．
[例4] 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．[点评] 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；
(4)根据积分的性质写出结果．一、选择题
1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为 ( )
A．[0，e2] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,1]
[答案] B2．下列式子中不成立的是 ( )
[答案] C[答案] C
[解析] 由积分的几何意义可知选C.[答案] (1)> (2)< (3)<
[解析] 根据定积分的几何意义，结合图形可得大小关系．课件34张PPT。1．6 微积分基本定理
1．通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；
2．利用微积分基本定理，求函数的定积分．
本节重点：微积分基本定理．
本节难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分．1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．1．微积分基本定理2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
[例1] 求下列定积分
[分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．[点评] 求定积分主要是要找到被积函数的原函数．也就是说，要找到一个函数，它的导数等于被积函数．由此可见，求导运算与求原函数运算互为逆运算．
[分析] 由于被积函数是绝对值函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.[点评] 在求含绝对值函数的积分时，由于被积函数的表达形式在给定区间上不能用统一的形式表示，需分段积分．[点评] 本题考查了如何求定积分，同时考查了函数求最值．对本题中的乘方形式，先用公式展开，表示成和的形式，然后分别求出，再求和．[答案] D[答案] CA．6 B．4
C．3 D．2
[答案] D[答案] 4x＋3[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则[答案] －2课件26张PPT。1．6 微积分基本定理
1．通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；
2．利用微积分基本定理，求函数的定积分．
本节重点：微积分基本定理．
本节难点：导数与积分的关系；利用微积分基本定理求函数的定积分．1．微积分基本定理2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
[例1] 求下列定积分
[分析] 根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．[点评] 求定积分主要是要找到被积函数的原函数．也就是说，要找到一个函数，它的导数等于被积函数．由此可见，求导运算与求原函数运算互为逆运算．
[分析] 由于被积函数是绝对值函数，需在积分区间[－2,2]上分段积分，这里零点是x＝0，x＝1.[点评] 在求含绝对值函数的积分时，由于被积函数的表达形式在给定区间上不能用统一的形式表示，需分段积分．[点评] 本题考查了如何求定积分，同时考查了函数求最值．对本题中的乘方形式，先用公式展开，表示成和的形式，然后分别求出，再求和．[答案] D[答案] CA．6 B．4
C．3 D．2
[答案] D[答案] 4x＋3[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则[答案] －2课件33张PPT。 1．7 定积分的简单应用
利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积、变速直线运动的路程、变力作功等问题．
本节重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．
本节难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型．1．利用定积分求平面图形的面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象．
(2)借助图形确定出被积函数．
(3)确定积分的 ，需要求出交点的坐标．
(4)把所求 转化为求曲边梯形的面积问题．上、下限图形的面积问题
[例1] 如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标．[点评] 求平面图形的面积的一般步骤：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和．
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上、下限．
知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．[点评] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．
[例3] 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程[点评] 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下：
[例4] 一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．[点评] 本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
[答案] C
[解析] ∵y＝x3与y＝x为奇函数且x≥0时，交于(0,0)和(1,1)．2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为 ( )
[答案] C3．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为 ( )
A．0.18J B．0.26J
C．0.12J D．0.28J
[答案] A
[解析] 设F(x)＝kx，则拉力1N时，x＝0.01m，
∴k＝100.课件44张PPT。2．导数的意义
(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)．3．利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①
又y1＝f(x1) ②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
[分析] 根据导数的几何意义可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．[例2] 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
[分析] 直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线．
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
即有x＝－1，或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；
当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.
所以y＝9是公切线．
综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.
1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减，求函数的单调区间转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.[分析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．
否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．[例4] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．
(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．
[解析] (1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，
∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，
在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，
在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．
因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处取得极大值．(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x
＝－3(x2－2mx＋3)，
g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.
①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；
②当m<2时，g(x)在[2,3]上是递减的，
g(x)max＝g(2)＝12m－21；
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．
[例5] 设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c.
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9.
因此c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞).
利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．
1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
2．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[例6] 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出L的最大值Q(a)．
利用定积分求曲边梯形的面积、变力做功等问题，要注意用定积分求曲边梯形的面积的步骤：
(1)画出图形；
(2)解方程组确定积分区间；
(3)根据图形的特点确定积分函数；
(4)求定积分．
[分析] 本题考查定积分知识．[例8] 计算由y2＝x，y＝x2围成的图形的面积．