课件27张PPT。2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理1．理解合情推理的概念，掌握归纳推理的方法．
2．掌握归纳法的步骤，体会归纳推理在数学发现中的作用．本节重点：合情推理、归纳推理概念的理解．
本节难点：运用归纳推理进行一些简单的推理．由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这样特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理．归纳推理包括 和 部分对象全部对象个别事实一般结论部分个别一般不完全归纳法完全归纳法．整体[分析] 写出a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数n之间的规律．
[解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．[点评] 以上归纳推出一般性结论的方法称作不完全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
[例2] 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
[分析] 仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出三者之间的关系．
[解析] 各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.观察其数字特征：
4＋4－6＝2； 5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
6＋8－12＝2; 8＋6－12＝2；
7＋10－15＝2; 9＋9－16＝2.
可以发现，它们的顶点数V，棱数E及面数F有共同的关系式：
V＋F－E＝2.
[点评] 归纳常常从观察开始，通过观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．一、选择题
1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为 ( )
A．3 B．－3 C．6 D．－6
[答案] A
[解析] a3＝a2－a1＝6－3＝3，
a4＝a3－a2＝3－6＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，
a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，
a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3.
归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故应选A.
A．相等
B．前者大
C．后者大
D．不确定[答案] B[答案] B二、填空题
4．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆有4个，第(3)堆有10个…，则第n堆有________个小正方体．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__________________．
[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
[解析] 本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.课件30张PPT。理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．本节重点：类比推理．
本节难点：类比推理的特点及应用．1．类比推理
由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由 到 的推理．
2．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 ，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理．类似已知特征特殊特殊观察、分析、比较联想、归纳猜想[分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．[点评] 根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理，虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用，类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想．[例3] 如图，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
[分析] 考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，由已知条件可得△PMN为三棱柱的直截面，选取三棱柱的直截面三角形作类比对象．[解析] (1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，
∴BB1⊥平面PMN.
∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，
∴CC1⊥MN.
(2)解：在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有
S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．
[点评] 本题由平面三角形的余弦定理到空间三棱柱的拓展推广，平时要注意这方面的知识积累．
如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．一、选择题
1．类比推理和归纳推理的相同点是 ( )
A．从一般到一般
B．前提蕴涵结论
C．结论都是或然的
D．从个别到一般
[答案] C
[解析] 由类比推理和归纳推理的定义可知，两者的结论都是猜测性的，其正确性有待于证明．故应选C.[答案] C3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适 ( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
[答案] C
[解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．二、填空题
4．医药研究中，研制新药初期，常用一些动物作药性、药理试验，最后才作临床试验与应用，通过对动物的观察，得出对人应用的一些结论，所用推理为______________________．
[答案] 类比推理
[解析] 符合类比推理的方法，故应为类比推理．5．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．
[答案] b4＋b8>b5＋b7
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.三、解答题
6．(1)定义集合A与B的运算：A?B＝{x|x∈A，x∈B，且x?A∩B}，则(A?B)?A＝____________.
(2)定义集合A与集合B的运算：A*B＝{x|x∈A且x?B}，写出含有集合运算符号“*，∪，∩”对集合A和B都能成立的一个等式．________________.
[解析] (1)由图中可知A?B如图
的阴影部分所示，若A?B＝C，我们用类比的方法可得C?A＝B.课件31张PPT。2．1.2 演绎推理理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．本节重点：演绎推理的结构特点．
本节难点：三段论推理规则．1．演绎推理
从 的原理出发，推出 情况下的结论的推理形式．
它的特点是：由 的推理．
它的特征是：当 都正确时， 必然正确．一般性某个特殊一般到特殊前提和推理形式结论2．三段论推理
在推理中：“若b?c，而a?b，则a?c”，这种推理规则叫三段论推理．它包括：
(1) ——已知的一般性原理．
(2) ——所研究的特殊情况．
(3) ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 推理是演绎推理的一般模式．大前提小前提结论三段论3．“三段论”的常用格式
大前提：
小前提：
结论： .M是PS是MS是P
[例1] 下列说法正确的个数是 ( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理
②演绎推理得到的结论一定是正确的
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] C
[解析] 由演绎推理的概念可知说法①③④正确，②不正确，故应选C.
[例3] 指出下面推理中的错误．
(1)因为自然数是整数， 大前提
而－6是整数， 小前提
所以－6是自然数． 结论
(2)因为中国的大学分布于中国各地， 大前提
而北京大学是中国的大学， 小前提
所以北京大学分布于中国各地． 结论[分析] 要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正确，只有当上面3条都正确时，结论才正确．
[解析] (1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“－6”，故按规则“－6”应是自然数(M)(此时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误的．
(2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学．[点评] 三段论的论断基础是这样一个原理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”，简言之，“全体概括个体”．M，P，S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图甲)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图乙)．
[例5] (2010·安徽理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求二面角B－DE－C的大小．
[解析] (综合法)(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，∴四边形EFGH为平行四边形．
∴EG∥FH，而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB.
(2)证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.
(3)解：EF、FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角Β—BE—C的一个平面角．又BF＝FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系．
设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)．一、选择题
1．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法 ( )
A．一般的原理
B．特定的命题
C．一般的命题
D．定理、公式
[答案] A
[解析] 考查演绎推理的定义，由定义知选A.2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，若奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数．”上述推理是( )
A．小前提错误
B．大前提错误
C．结论错误
D．正确的
[答案] D
[解析] 大前提是正确的，小前提也是正确的，推理过程也正确，所以结论也正确．故应选D.3．如果有人在1985年以后大学毕业，他就一定读过《邓小平理论》．刘明读过《邓小平理论》，所以( )
A．刘明可能是1985年以后的大学毕业生
B．刘明是共产党员
C．刘明是1985年以后的大学毕业生
D．刘明喜欢这本书
[答案] A
[解析] 由实际生活情况知A正确，故应选A.二、填空题
4．指出三段论“自然数中没有最大的数字(大前提),9是最大的个位数字(小前提)，所以9不是自然数(结论)”中的错误是____________．
[答案] 小前提中S不是M
[解析] 大前提中的数字泛指非负整数，而小前提中的数字指的是个位数，因而得出错误的结论．5．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提_______________________________________．
小前提_______________________________________．
结论_______________________________________．
[答案] 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
[解析] 关键找出大前提和小前提．课件26张PPT。2．2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法与分析法理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题．本节重点：综合法与分析法的概念及用分析法与综合法证题的过程、特点．
本节难点：用综合法与分析法证明命题．综合法和分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理、定义、公理已知条件定义、公理、定理所要证明的结论[分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论．[证明] ∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0，
∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．
∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.
∴a3＋b3≥a2b＋ab2.
同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.
将三式相加得：
2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2，
∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．[点评] 1.综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性．[分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明．[点评] (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[点评] 综合法和分析法各有优缺点．从寻找解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功，就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主导求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程．一、选择题
1．用分析法证不等式：欲证①A>B，只需证②CA．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分条件
D．必要条件
[答案] D
[解析] ∵②?①，但①不一定推出②.故应选D.[答案] B
[解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，
即a2＋b2＋c2≥1.
又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.3．设a，b，c∈R，且a，b，c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是 ( )
A．a，b，c全为正数 B．a，b，c全为非负实数
C．a＋b＋c≥0 D．a＋b＋c>0
[答案] C
[解析] a3＋b3＋c3－3abc
＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)
＝ (a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
而a，b，c不全相等?(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，故a3＋b3＋c3≥3abc?a＋b＋c≥0.故应选C.[答案] a＋b[答案] a>c>b课件22张PPT。2．2.2 反证法理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤．
本节难点：应用反证法解决问题．1．反证法
假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与 、 、 、 或 矛盾，与 矛盾．不成立假设错误原命题成立已知条件数学公理定理公式定义已被证明了的结论公认的简单事实
[分析] 本题中，含有“至少存在一个”词，可考虑使用反证法．
[点评] 1.反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．3．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：[点评] 1.运用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运用．
2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[答案] C
[解析] “最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[答案] C
[解析] 假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.二、填空题
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______________________________．
[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
[解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．5．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．
[答案] 异面
[解析] 假设AC、BD共面，且AC?α，BD?α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB?α，CD?α，这与AB、CD异面矛盾，∴AC、BD异面．课件25张PPT。2．3 数学归纳法理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．本节重点：数学归纳法的原理及步骤．
本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取 时命题成立．
②(归纳递推)假设 ．第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．正整数n[点评] 证明过程的关键是第二步由n＝k到n＝k＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
[解析] (1)a2＝S1＝a1＝5，
a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[答案] C
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.[答案] D
[答案] B
[答案] 1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，n＋3＝4，
所以等式左边为1＋2＋3＋4.5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．
[答案] (k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)
[解析] 当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．课件32张PPT。
归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律，一般通过观察图形或分析式子寻找规律，归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．[例1] 在德国布莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个乒乓球；第2,3,4、…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(n)＝________(答案用n表示)．
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，应用类比的关键就在于如何把相关对象在某些方面的一致性说清楚．常见的类比题型有两类：一类是类比旧知识，推出新结论；另一类是类比新知识，推出新结论．[例2] 如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
[解析] 如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为
S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．
综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识．
[例4] 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a>b>c)的图象与x轴有两个不同的交点A，B，且f(1)＝0.
分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开．
反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：
1．两个步骤缺一不可．
2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上“当n＝k时结论正确”这一结论．3．在第二步的证明中，“当n＝k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n＝k＋1时结论正确”则是求证的目标．在这一步中，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论．
数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题．[分析] 本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．(1)利用取倒数构造等比数列．(2)利用数学归纳法求解．
