课件30张PPT。3．1 数系的扩充与复数的概念
3．1.1 数系的扩充与复数的概念了解数系的扩充过程，理解复数的代数表示，理解复数相等的充要条件，能用复数的代数形式解决相关问题．本节重点：复数的有关概念．
本节难点：复数的分类及复数相等的条件．1．复数的概念与代数形式
我们把形如z＝ 的数叫做复数，其中i叫做 ，a、b分别叫做复数z的 与
z＝a＋bi(a、b∈R)这一表示形式叫做复数的 形式．全体复数所构成的集合C叫做复数集．
C＝ ．虚数单位实部虚部．代数{a＋bi|a、b∈R}a＋bi(a、b∈R)4．复数的集合表示
不全为实数的两个复数不能比较大小．
[例1] 下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了三个命题；
②判断正确命题的个数．
解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．[答案] A
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．[点评] 1.数系扩充的原则
(1)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，并且规定i2＝－1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了．
(2)规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾．2．关于复数的代数形式
复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．[分析] 在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
[点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的．
②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．
[例3] 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[分析] 由M∪P＝P知，M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i，利用复数相等的条件就可求得m的值．[点评] (1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据．
(2)根据复数相等的定义可知，在a＝c，b＝d中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.所以，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1＋i和3＋5i不能比较大小．一、选择题
1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是 ( )
A．A∪B＝C
B．?UA＝B
C．A∩?UB＝?
D．B∪?UB＝C
[答案] D
[解析] ∵B＝{纯虚数}，∴B?C，∴B∪?UB＝C.故应选D.
[答案] A3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为 ( )
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
[答案] C二、填空题
4．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的____________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 当a＋bi为纯虚数时a＝0；当a＝0时，需b≠0，a＋bi才为纯虚数，所以a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．5．已知复数z＝m2(1＋i)－(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________；若z是虚数，则m的取值范围是________；若z是纯虚数，则m的值为________．
[答案] ±1 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞) 0
[解析] z＝m2＋m2i－m－i＝(m2－m)＋(m2－1)i
若z是实数，则m2－1＝0，解得m＝±1；
若z是虚数，则m2－1≠0，解得m≠±1；三、解答题
6．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，当实数m取何值时．
(1)z是纯虚数．
(2)z是实数．课件26张PPT。3．1.2 复数的几何意义理解复数的几何意义，并能用复数的几何意义解决相关问题．本节重点：复数的几何意义．
本节难点：复数几何意义的应用．1．任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．由于有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立 关系．建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称作 ， 叫做实轴， 叫做虚轴，实轴上的点都表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 一一对应复平面x轴y轴实数纯虚数．
[例1] 实数m取怎样的值时，复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i在复平面上的对应点在第四象限内．
[分析] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面的点Z(a，b)建立了一一对应关系，因此只要求a，b所在象限也就知道了．[点评] 复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上．若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限．此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi(b∈R)；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．
[例2] 在复平面内画出下列各复数对应的向量，并求出各复数的模．[例3] 设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C|，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
[分析] 求复数z在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义可知，只需求出|z|所满足的条件即可．而这由z∈A∩(?UB)及集合的运算即可得出．
[点评] 对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都表示一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广．
求适合下列条件复数z在复平面内表示的图形：
(1)2≤|z|<3；
(2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
[解析] (1)如图所示，是以原点O为圆心，半径分别为2个和3个单位长度的两个圆所夹的圆环，不包括大圆的圆周，包括小圆的圆周．(2)如图所示，是以原点O为圆心，半径为3个单位长度的扇形OAB的内部，不包括和半径OA，OB.一、选择题
1．i＋i2在复平面内表示的点在 ( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵i2＝－1，∴i＋i2＝－1＋i，在复平面内对应点坐标为(－1,1)，所以该点在第二象限内，故应选B.2．下面给出4个不等式，其中正确的是 ( )
A．3i>2i
B．|2＋3i|>|1－4i|
C．|2－i|>2i4
D．i2>－i
[答案] C
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[答案] B二、填空题
4．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
[答案] 55．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)对应点位于复平面的第________象限．
[答案] 二课件24张PPT。3．2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义，并能熟练地运用法则解决相关的问题．本节重点：复数代数形式的加减法．
本节难点：复数代数形式加减法的几何意义．1．复数代数形式的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ .
2．复数代数形式加减法满足交换律、结合律
即对任意z1、z2、z3∈C，有
①z1＋z2＝ ；
②(z1＋z2)＋z3＝ (a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)．
[分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．[点评] (1)复数加减运算法则的记忆．
方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(2)加法法则的合理性：
①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致．
②加法交换律和结合律在复数集中仍成立．
③符合向量加法的平行四边形法则．
(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．
[例2] 如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．[点评] 1.根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
2．复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
3．复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．一、选择题
1．(6－2i)－(3i＋1)等于 ( )
A．3－3i
B．5－5i
C．7＋i
D．5＋5i
[答案] B
[解析] (6－2i)－(3i＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i＝5－5i.故应选B.2．设f(z)＝z(z∈C)，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于 ( )
A．1－3i
B．－2＋11i
C．－2＋i
D．5＋5i
[答案] D
[解析] z1－z2＝3＋4i＋2＋i＝5＋5i，
故f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i，故选D.
A．1＋5i B．3＋i
C．－3－i D．1＋I
[答案] B二、填空题
4．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.[答案] －4课件35张PPT。3．2.2 复数代数形式的乘除运算掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题．本节重点：复数代数形式的乘除运算．
本节难点：复数除法．1．复数乘法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a、b、c、d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2．复数乘法满足交换律、结合律及分配律
对任意z1、z2、z3∈C，有
①z1·z2＝ ；
②(z1z2)z3＝ ；
③z1(z2＋z3)＝ .(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3
[例1] (1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)．若z1z2为实数，求实数x；
(2)计算：(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
(3)计算：(a＋bi)(a－bi)(a，b∈R)．
[分析] (1)利用乘法法则先求出z1z2，由z1z2的虚部等于零可求得x.(2)主要利用i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(3)也可直接应用平方差公式．[解析] (1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi－2＝(x－2)＋(2＋x)i，因为z1z2是实数，所以x＋2＝0，所以x＝－2.
(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.
(3)原式＝a2－abi＋bai－b2i2＝a2＋b2.
[点评] 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，即先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次高级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如含有i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(2)(2009·江苏，1)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
[答案] －20
[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．
∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，
∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.
∴复数(z1－z2)i的实部为－20.[分析] 对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的目的．[点评] 复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接地约简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简，复数除法的一般作法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可．
[答案] A
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．
则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}
＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
[例4] 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
已知虚数单位i的幂，求和．
解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．[点评] 1.虚数单位i的周期性．
①i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．
n也可以推广到整数集．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
[答案] C
[答案] B3．(2010·江西理，1)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为 ( )
A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2
[答案] D
[解析] 由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)－(x－1)i＝y二、填空题
4．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.
[答案] 4课件22张PPT。
②处理有关复数概念的问题，首先可找准复数的实部与虚部(若复数为非标准代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．
[例2] 已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N?M，M∩N≠?，求整数a，b.
(2)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，两个复数相除，类似于根式分母有理数．
