课件38张PPT。1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．通过实例总结出分类加法计数原理，理解分类加法计数原理；
2．通过实例总结出分步乘法计数原理，理解分步乘法计数原理；
3．会利用两个计数原理解决一些简单问题．本节重点：归纳得出两个计数原理，能运用它们解决简单的实际问题．
本节难点：正确理解“完成一件事情”的含义，正确区分“分类”与“分步”．1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
2．分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn3．分步乘计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
4．分类计数乘法原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn5．两个原理的联系与区别
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的 问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是 问题，其中各种方法 ，其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是 问题，各个步骤中的方法 ，只有各个步骤都完成才算完成这件事．不同方法的种数相互独立分步互相依存分类
[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[点评] 解决该类问题应从简单入手分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同的角度考虑问题．
(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？
(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践 ，则有多少种不同分配方案？[解析] (1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．
(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.
[例3] 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书
(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[分析] 判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法是否独立地完成这件事情．如果能完成就是“分类”，如果不能单独完成，就是“分步”．[解析] (1)从书架上任取一本书，有三类方法：
第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；
第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；
第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．
只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：
第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；
第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；
第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．
[例4] 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[分析] 要分清完成这件事是分类还是分步，第(1)小题分三类，即从国画或油画或水彩画中选一幅；第(2)小题要分步，即分别从国画、油画、水彩画中各选一幅才能完成这件事，故可用分步乘法计数原理；第(3)小题选先分类后分步，在每一类中用分步乘法计数原理，最后用分类加法计数原理．[解析] (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．[点评] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．一、选择题
1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy可表示不同的值的个数是
( )
A．1＋1＝2
B．1＋1＋1＝3
C．2×3＝6
D．3×3＝9
[答案] D[解析] x，y在各自的取值集合中各选一个值相乘求积这件事，可分为两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同值．[答案] A
[解析] 1名同学有5种选择，则6名同学共有56种选择．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
( )
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种[答案] B
[解析] 能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.二、填空题
4．从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．
[答案] 4
[解析] 分两类：3个奇数两两相加，3个偶数两两相加，都得偶数，又1＋5＝2＋4,3＋5＝2＋6，所以可得不同的偶数有3＋3－2＝4(个)．5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示)
[答案] 48
[解析] 先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．课件29张PPT。1．能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．本节重点：两个基本原理的应用．
本节难点：正确区分分类和分步．1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要 还是需要 ．
2．分类要做到 ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用 求和，得到总数．
3．分步要做到 ，步与步之间要 ，根据 ，把完成每一步的方法数相乘得到总数．分类分步不重不漏分类加法计数原理步骤完整相互独立分步乘法计数原理
[例1] 书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？
(2)从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？[解析] (1)完成这个工作可分三个步骤：第一步，从6本不同的数学书中，任取一本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中，任取一本，有6种取法；第三步，从5本不同的英语书中，任取一本，有5种取法．
根据分步计数原理，共有6×6×5＝180种不同取法．(2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．
完成这个工作分三个步骤：
第一步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，共有17种不同的方法；
第二步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，共有16种不同的方法；
第三步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，共有15种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法．[点评] 本题是根据分步乘法计数原理解题，使用这个原理的关键是：依据题意把完成一件事恰当地分成若干个步骤．
[例3] 由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?[解析] 组成的自然数可以分为以下四类：
第一类：一位自然数，共有4个；
第二类：二位自然数，又可分为两步来完成，先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；
第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．
由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．[点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准又是什么．
(2)该题是先分类，后分步，按自然数的位数“分类”，按组成数的过程“分步”．
[例4] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解析] 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：他既不参加英语又不参加日语，则需从日语和英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋2×6＝20(种)选法．[点评] 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．一、选择题
1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从任一门出，共有不同走法
( )
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种[答案] C
[解析] 由分步乘法计数原理得共有不同走法种数为4×4＝16，故选C.2．在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为
( )
A．20 B．10
C．5 D．24
[答案] B
[解析] 假分数的分子不小于分母．故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个．由加法原理知共有4＋3＋2＋1＝10个．3．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有
( )
A．78种 B．72种 C．120种 D．96种
[答案] A
[解析] 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5×4×3×2×1＝120(种)停法，A停在3道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；B停在1道上的停法有4×3×2×1＝24(种)；A、B分别停在3道和1道的停法有3×2×1＝6(种)，故符合题意的停法有120－24－24＋6＝78(种)．二、填空题
4．乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人担任队长有________种方案；派出两人参加男、女混合双打比赛有________种选派方案．
[答案] 13 425．在一块并排10垄的田地上，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答)．
[答案] 6
[解析] A种第1垄，B可种8、9、10垄有3种方法，A种第2垄，B可种9、10垄有2种方法，A种第3垄，B只能种第10垄，∴共有选垄方法3＋2＋1＝6种．[点评] 本题求的是“选垄方法”，而不是“种植方法”，若求不同种植方法，则A种第1垄，B种第8垄与A种第8垄，B种第1垄为不同方法，应有不同种植方法2×6＝12种．课件29张PPT。1．2 排列与组合 1．2.1 排 列1．正确理解排列的意义，掌握写出所有排列的方法，加深对分类讨论方法的理解，发展学生的抽象能力和逻辑思维能力．
2．能用计数原理推导排列数公式，并会用此公式计算排列数，体会排列数与计数原理的关系，将实际问题化归为计数问题的方法．本节重点：排列的概念与排列数公式．
本节难点：对排列问题中“顺序”的理解．1．一般地，从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素， ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号 表示．即：A＝ ．
3．n个不同元素全部取出的排列数A＝ 叫做n个不同元素的 也称作n的 ，用 表示，另外规定0！＝ .按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数n·(n－1)·…·(n－m＋1)n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1全排列数公式阶乘n！1A
排列数公式可用阶乘表示为A＝ .[例1] 下列问题是排列问题吗？并说明理由．
(1)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人，又有多少种方法？[分析] 判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
[解析] (1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)第一问不是，第二问是．
[例3] (1)8个人排成一排，共有多少种不同的排法？(2)8个人排成两排 ，前后两排各4人共有多少种不同的排法？(3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？[点评] 无限制条件的排列问题，主要根据排列数的定义及分步乘法计数原理解决问题．n人排队或n个元素排成若干排的问题(无限制条件排列问题)，可采用统一排成一排的方法，也可用乘法原理分步进行．
[例4] 用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．
A．24 B．30 C．40 D．60
[分析] 因为本题只有2个限制条件，(一)是没有重复数字的三位数，(二)是偶数，因此解题的关键是从个位数字入手．[答案] A
[解析] 解法1：先排个位，有2种排法(即排2或4)；再排十位，有4种排法；再排百位，有3种排法．应用乘法原理，得适合题意的三位数个数为2×4×3＝24.故选A.[答案] D
[解析] 由排列数公式的4·5·6·…·(n－1)·n(n∈N*)＝An－3n，故选D.2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互通一封信，共需通信封数为
( )
A．20 B．15
C．10 D．5
[答案] A
[解析] 由题意得共需通信封数为A＝20种，故选A.3．某校某班2011年元旦晚会计划有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为
( )[答案] C
二、填空题
4．用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数的个数是________个．
[答案] 96[答案] n＋1－k课件35张PPT。1．明确问题的限制条件，注意特殊元素与特殊位置，必要时可画出树形图或框图帮助思考．
2．掌握一些基本问题的思考方法，如：捆绑法可解决相邻的问题，插空法可解决不相邻的问题，间接法可解决分类较多时的情形等．本节重点：有限制条件的排列问题解题思路．
本节难点：定元素与定位置分析的方法．1．直接法：以 为考察对象，先满足 的要求，再考虑 (又称为元素分析法)，或以 为考察对象，先满足 的要求，再考虑 (又称位置分析法)．
2．间接法：先不考虑附加条件，计算出 ，再减去 ．元素特殊元素一般元素位置特殊位置一般位置总排列数不合要求的排列数
[例1] 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
( )
A．720 B．360
C．240 D．120
[答案] C[点评] 相邻元素捆绑法．所谓“捆绑法”，就是在解决要求某几个元素相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素．
[例2] 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[点评] 相离问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．
[例3] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生甲和乙因个子高要排在后排．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①(1)(2)(3)站成一排，(4)站成两排；
②每题中都有特殊元素(或位置)．解答本题(1)(2)(3)可先安排特殊元素(或位置)，再排一般的，(4)可转化成排成一排的问题．[点评] (1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步；此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)．
[例4] 现要给4名女教师，3名男教师，排队合影留念，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(2)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
没有说明甲、乙或甲、乙、丙必须相邻．
解答本题可先对所有元素全排再除以定序元素的全排．[例5] 用0、1、2、3、4、5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个比1325大的四位数？
[分析] 该例中的每一小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”，我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．[点评] 数字的排列问题是排列问题的典型题型．解题时要重点从附加的限制条件入手分析，找出解题思路，常见附加条件有：①有无重复数字；②奇偶数；③某数的倍数；④大于(小于)某数．特别注意排几位数与几位编码的区别，即首位是否允许取0.一、选择题
1．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有
( )
A．144 B．90
C．260 D．120
[答案] A2．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有
( )
A．70 B．72
C．36 D．12
[答案] C3．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
( )
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个
[答案] B二、填空题
4．从0、1、2、3、4、5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有________个．(用数字作答)
[答案] 36
5．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________．
[答案] 192种课件30张PPT。1．2.2 组 合1．正确理解组合的意义，掌握写出所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解，发展学生的抽象能力和逻辑思维能力．
2．能利用计数原理和排列数公式推导组合数公式，并熟练掌握．
3．掌握组合数的两个性质，并能应用其进行计算、化简、证明．本节重点：组合的概念与组合数公式．
本节难点：组合数公式及组合数性质的应用．1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号 表示．并成一组所有组合的个数组合数公式为这里m、n∈N*，并且m≤n，组合数公式可以用阶乘表示为：
[例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[分析] 由题目可获取以下主要信息：①问题(1)、(4)与顺序无关；②问题(3)与顺序有关；③问题(2)中确定车票种数有顺序而票价没有顺序．解答本题可以先审题理解题意，再根据组合的概念及其与排列的区别判断．[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．[点评] 区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序有关”．只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．一、选择题
1．下列问题：①神舟七号载人航天任务圆满成功后，航天工作人员互相握手庆祝，共有多少种握手情况？
②直线上有5个点，可确定多少个向量？
③直线上有5个点可确定多少条线段？
④有4个篮球队进行单循环赛，共有多少场比赛？
⑤有4个篮球队进行单循环赛，有多少种冠亚军的情况？其中组合问题个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个[答案] B
[解析] 由组合概念知①③④都是组合，故选B.[答案] B[答案] A[答案] 9或2000.[答案] 120课件30张PPT。掌握有限制条件的组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力．本节重点：有限制条件的组合问题及组合的应用．
本节难点：有限制条件的组合问题．组合应用题一般可分为两类，一是 条件的组合问题，一是 条件的组合问题．无限制有限制
[例1] 现有男生5名，女生4名．
(1)从中选2名同学去参加会议，有多少种不同选法？
(2)从中选男、女生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[分析] 所选学生只与学生(元素)有关，而与学生的顺序无关，因此是组合问题．
[例2] 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①至少一名队长当选可分为一名队长当选和两名队长当选两类情况讨论；②至多两名女生当选可分为两名女生，一名女生和没有女生当选三类情况；③既要有队长，又要有女生当选，可把身兼“双重角色”的女队长作为特殊元素，以其当选和不当选为依据分类讨论．解答本题可先根据题意适当分类，再用分类加法计数原理求解．[点评] 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”的问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
[例3] 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？
[分析] 该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一限制条件．[点评] 处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题．避免重复或遗漏．
[例4] 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通．从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？
[分析] 应首先考虑两名英日语都精通的人如何分组．
[点评] 解此种类型的题时应注意分类的方法，体会分类方法在解组合问题中的应用．[答案] B2．某研究机构准备举办一次有关数学的新课程研讨会，共邀请了50名一线的教师参加．经统计使用不同版本教材的教师人数如下表所示：从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的种数是
( )
A．190种 B．295种 C．314种 D．400种
[答案] C3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
( )
A．14 B．24 C．28 D．48
[答案] A二、填空题
4．从1,2,3,5,7这五个数字中任取2个，能组成的真分数个数是________．
[答案] 105．在同一个平面内有一组平行线8条，另一组平行线10条．
(1)它们共能构成________个平行四边形；
(2)共有________个交点．
[答案] 1 260 80课件50张PPT。1．巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及组合数性质．
2．在解排列、组合综合题时，要注意准确地应用两个基本原理，同时要区分是排列问题还是组合问题．
3．在解排列、组合应用题时，注意利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题．本节重点：排列组合的综合应用．
本节难点：分堆与分配问题的区别．1．解决排列组合的综合应用题时注意以下三点：
(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；(3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决．
[例1] 某校为庆祝2011年国庆节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：
(1)3个舞蹈节目互不相邻；
(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；
②是同类节目互不相邻的问题．
解答本题的第(1)问可以先安排4个小品，然后让3个舞蹈“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占1,3,5,7，舞蹈占2,4,6.故分两步，先安排小品，再安排舞蹈，或先安排舞蹈再安排小品．[点评] 元素相邻和不相邻问题的解题策略
A、B、C、D、E五人站成一排，如果A、B必须相邻，且B在A的右边，那么不同排法的种数有( )
A．60 B．48 C．36 D．24
[答案] D
[解析] 将A与B看作一个元素，与其它3人排队共有A＝24种排法，A在B的左边只有一种情形．∴选D.
[例2] 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三组；
(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
(5)6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①第(1)(3)题是分组问题，第(2)(4)题是将6本书分配给甲、乙、丙三个人；②第(2)题未说明甲、乙、丙三人谁得1本，谁得2本，谁得3本．解答本题，可先理清事件是否与顺序有关，再依题意求解．[点评] (1)不同元素分组问题的常见形状，有①非均匀不编号分组如例2(1)；②非均匀编号分组如例2(2)；③均匀不编号分组如例2(3)；④均匀编号分组．其中②④为编号分组要考虑各组间的顺序，并且做题时要遵循先分组后排列的原则．
(2)相同元素分组问题可用“隔板法”，但要求每组至少含有一个元素．
在例2的条件下，求下列情况下有多少种不同的分配方式？
(1)2堆各1本，另外一堆4本；
(2)2人各1本，另外一人4本；
(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．[例3] 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现以下结果时各有多少种情况？
(1)4只鞋子恰成两双；
(2)4只鞋子没有成双的．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①(1)说明恰好选了两双；
②(2)说明4只鞋来自4双不同的鞋．解答本题可先确定需几双才能满足题意，再从“双”中取“只”．[分析] 此类问题关键在于审清题意，弄明白怎样才算完成了“这件事”，从而设计出缜密的解题步骤．
在例3条件下求出现以下结果时各有多少种情况？
(1)取4只鞋有2只成双，另2只不成双；
(2)取6只鞋，其中3只左鞋，3只右鞋，且只有2只成双．
[例4] 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.[点评] ①例如f(3,4)＝C其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．
②抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．方程x＋y＋z＝12的非负整数解的个数为________．
[答案] 91
[解析] 把x，y，z分别看作是x个1、y个1和z个1，则共有12个1，问题抽象为12个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如1111＋＋11111111表示x＝4，y＝0，z＝8，＋111111111111＋表示x＝0，y＝12，z＝0等等，
∴不同排法总数为从14个位置中选取2个放十号，
∴方程的非负整数解共有C＝91个．∴填91个．
[例5] 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
[分析] 由题意可知①0不能作百位，但0与1在同一卡片上；②每张卡片都有正、反两种可能，解答本题可根据0和1两个特殊值分类，也可利用排除法．[点评] 解排列、组合的综合问题要注意以下几点：(1)认真审题，分清是排列还是组合问题；(2)有多个限制条件的复杂问题，要认真分析确定是分类还是分步． [答案] D[答案] C3．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
( )
A．150种 B．180种 C．200种 D．280种
[答案] A[答案] 155．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
[答案] 36三、解答题
6．6个不同颜色的乒乓球，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一堆一个，一堆两个，一堆三个；
(2)甲得一个，乙得两个，丙得三个；
(3)一人得一个，一人得二个，一人得三个；课件31张PPT。1．3 二项式定理
1．3.1 二项式定理
1．理解用组合知识推导二项式定理，弄清其运用范围．
2．理解通项的意义并会灵活应用．
3．区分项的系数与二项式系数．
4．会正用、逆用定理来解决一些简单的问题．本节重点：二项式定理的推导及通项公式．
本节难点：如何利用计数原理推导出二项展开式．1．二项式定理
公式(a＋b)n＝ 所表示的规律叫做二项式定理．
2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有 项．
(2)二项式系数： ；
(3)二项展开式的通项公式： (其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)它是展开式的第 项．n＋1k＋1[分析] 可直接应用二项式定理展开，也可先化简再展开．[点评] 解法2形式较为简单，在展开二项式之前应根据二项式的结构特征进行必要变形，这是使运算求得简化的途径．如求(1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①展开式中“＋”与“－”相间隔；
②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．
解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．[点评] 解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展开式的形式．[点评] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为零的方法求得常数项．[点评] 要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关．[答案] C[答案] B3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项的系数为
( )
A．－720 B．720
C．120 D．－120
[答案] D[答案] 672[答案] 28课件38张PPT。1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开；
2．能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；
3．能正确区分二项式系数和某一项的系数；能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它特定的项或系数．
4．掌握二项式系数的性质， 通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育．本节重点：二项式系数的性质．
本节难点：二项式系数性质的应用．1．在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ， 相等2．如果二项式的幂指数是偶数， 的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数， 的二项式系数相等并且最大．
3．二项式系数的和为 ，即中间一项中间两项2n
[例1] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[点评] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用解不等式的方法求得．
[例2] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①令x＝1可求a0＋a1＋a2＋…＋a7；
②令x＝－1可求a0－a1＋a2－…－a7；
③令x＝0可求a0.
解答本题可利用赋值法，求出常见的几种项的系数和，再适当变形求解．[解析] 令x＝1，则
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①
令x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②
(1)∵a0＝C＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(4)方法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093＋1 094＝2 187.
方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
[例3] 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
( )
A．144 B．146 C．164 D．461[答案] C
[点拨] 由题目可获取以下主要信息：
该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和，解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．[点评] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①令x＝1可得两个二项展开式的系数和；
②两个小题分别涉及二项式系数和项的系数．
解答本题(1)先确定n的值，再利用二项式系数的性质求解，
(2)利用通项公式转化为不等式组求出r的取值范围．[点评] 求二项式系数的最大值．
(1)注意“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”的区别．
(2)展开式系数是离散型变量，求它们的最大值，在系数均为正的前提下，只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式(组)即可．[答案] C[答案] A3．(1＋x)2n＋1的展开式，二项式系数最大的项所在的项数是
( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
[答案] C
[解析] 展开式共2n＋2项中间有两项的二项式的系数相等且最大，两项为第n＋1，n＋2项，故选C.二、填空题
4．在二项式(2x－3y)7的展开式中，第三项的系数是________；第三项的二项式系数是________．
[答案] 6048 21
[解析] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念．[答案] －35x6和35x课件26张PPT。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．即
如果完成一件事有n类办法，这些办法之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法数时，用分类计数原理．如果完成一伯事需要分成n个不可缺少的步骤，即只有依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤都有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数时，用分步计数原理．
两个基本原理的区别在于前者——分类加法计数原理每次得到的是最后结果；后者——分步乘法计数原理每次得到的是中间结果． [例1] 将3种作物种植在如图 所示的5块实验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答)
[解析] 分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c.不妨设放入b，第三块田也有2种方法a或c.
[例2] 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
( )
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
[答案] D[例3] 6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演．
(1)每排4人，问共有多少种不同排法？
(2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？
[分析] 排队问题与排数问题相似，首先要看有无特殊元素，特殊位置；进而是如何安排特殊元素等．[例4] 把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．
(1)有几种不同的分配方法？
(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？
(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？[分析] 平均分组问题与次序无关，应注意分组的基本方法；同时还应注意分组的其他要求，使之分成的各组满足题目的要求．
[例5] 在二项式(x－1)11的展开式中，系数最小的项的系数为 ________.(结果用数值表示)
[答案] －462[例6] 设(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，求a6＋a4＋a2＋a0的值．
[解析] 令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；
令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4 096.
两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160，
∴a6＋a4＋a2＋a0＝2 080.[点评] 二项式定理是一个恒等式，对一切x的允许值都能成立．当求展开式的系数或者证明有关组合数的恒等式时，常常用此方法．
[例7] 求(1＋2x)12展开式中系数最大的项．[点评] 在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a、b的系数不是1时，最大的系数项的位置就不一定在中间了，此时需要利用通项公式列出不等式组来予以解决．[例8] 求证对任何非负整数n,33n－26n－1可被676整除．
[证明] 当n＝0时，原式＝0，可被676整除．
当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．
当n≥2时，
原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1
