课件24张PPT。2．1 离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量
1．通过实例了解随机变量的概念，理解离散型随机变量的概念．
2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．本节重点：随机变量、离散型随机变量的概念．
本节难点：随机变量、离散型随机变量的意义．1．一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下 进行；
(2)试验的所有可能结果是 的，并且不只 ；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 ，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随着 变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
3． 的随机变量，称为离散型随机变量．重复明确可知一个一个试验结果所有取值可以一一列出[例1] 投掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( )
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
[答案] A
[分析] 严格根据随机变量的定义进行判断．[解析] 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中实际是总的掷币次数它不是随机变量，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件，故B，C，D都不正确，故选A.[点评] 解此类题要透彻理解随机变量的含义，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，每一个值都是明确可知的，并且所有可能的值不止一个，只是在试验前不知道究竟是哪一个值．
[例3] 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.[分析] (1)所取球的编号X是离散型随机变量，X可能取1,2，…，10，如X＝1表示取出的是1号球；(2)从中任取4个球，所含红球的个数X也为离散型随机变量，X可能的取值为0,1,2,3,4，如X＝2表示取出2个红球2个白球；(3)X和Y都是离散型随机变量，X的可能取值为2,3,4,5，…，12，Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.如X＝3表示两种情况，甲掷出1点，乙掷出2点，记为(1,2)，或甲掷出2点，乙掷出1点，记为(2,1)；Y＝2表示(1,1)等．[解析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)(2,2)(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.[点评] 解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值．一、选择题
1．10件产品中有2件次品，从中任取一件，随机变量为
( )
A．取到次品的个数
B．取到产品的个数
C．取到正品的概率
D．取到次品的概率
[答案] A
[解析] 由随机变量的定义知取到次品的个数为随机变量，故选A.2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2，…，6
B．1,2，…，7
C．1,2，…，11
D．1,2,3…
[答案] B3．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．你每天早晨起床的时间
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
[答案] B
[解析] 水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故选B.二、填空题
4．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为________．
[答案] 4课件41张PPT。2．1.2 离散型随机变量的分布列1．理解离散型随机变量分布列的概念、性质，会求分布列；能够运用概率分布求所给事件的概率．
2．通过实例，理解超几何分布的意义及其概率的推导过程，并能运用公式解决简单问题．本节重点：离散型随机变量分布列的概念、性质和分布列的求法．
本节难点：简单离散型随机变量分布列的求法．1．离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：那么上表称为离散型随机变量X的 ，简称为 ．
(2)表示：离散型随机变量可以用 、 、 表示．概率分布列X的分布列表格法解析法图象法(3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pi 0，i＝1,2，…，n；
② ＝ .
(4)求离散型随机变量的分布列的步骤：
①找出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1、2、3、…、n)；
② ；
③列成表格．≥1求出取各值的概率P(X＝xi)＝pi2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
这样的分布列叫做 ．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从 ．而称p＝P(X＝1)为 ．两点分布列两点分布成功概率(2)超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝
，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列为 ．
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X ．超几何分布列服从超几何分布[例1] 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列． [分析] 随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3,4,5,6.“X＝3”对应事件“取出的3个球的编号为1,2,3”；“X＝4”对应事件“取出的3个球中恰取到4号球和1,2,3号球中的2个”；“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”；“X＝6”对应事件“取出的3个球中恰取到6号球及1,2,3,4,5号球中的2个”，而要求其概率则要利用等可能事件的概率分布和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列．[点评] ①解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．②求离散型随机变量X的分布列的步骤是：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出随机变量ξ的分布列关系式；②求关系式中的变量a的值．
解答本题可先写出k＝1,2，…，n时的关系式，再利用离散型随机变量分布列的性质P1＋P2＋P3＋…＋Pn＝1求值．[点评] 离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：
①pi≥0，i＝1,2,3，…；②p1＋p2＋p3＋…＝1.利用上述性质可以验证某个数列{pi}是否可以成为某一随机变量分布列中随机变量取值的概率．还可以利用上述分布列的性质确定随机变量的分布列中未知的概率数值．本题在求解时需要用到等比数列的前n项和公式．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①袋内白球和红球的个数；
②随机变量X的取值．
解答本题可先根据题设条件求出P(X＝0)，再由二点分布的性质求出P(X＝1)，列出表格即可．[点评] 二点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足二点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．[例5] 某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品数ξ的分布列．
[分析] ξ的所有取值为0,1,2,3，事件“ξ＝k”表示“3件产品中恰有k件次品”(k＝0,1,2,3)(“ξ＝0”等价于“3件全是正品”)，符合超几何分布，分别计算P(ξ＝k)，列出分布列．一、选择题
1．如果X表示一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是 ( )
A．X取每一个可能值的概率都是非负实数
B．X取所有可能值的概率之和为1
C．X取某两个可能值的概率等于分别取这两个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
[答案] D[解析] 本题主要考查离散型随机变量的定义及分布列的有关性质，X取每一个值的概率都在0到1之间，分布列中所有可能值的概率之和为1，X取每一个可能的值之间是互斥的，故A，B，C正确，D不正确．2．设随机变量的等可能取值1,2,3，…，n如果P(ξ<4)＝0.3，那么 ( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n不能确定
[答案] C[答案] C
[解析] 对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机变量取所有值时的概率和等于1来确定，故选C.[答案] 0 0.45 0.45
[解析] ①由分布列的性质得：0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0；②P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；③P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0＋0.35＋0.1＝0.45.[答案] 错误课件32张PPT。1．加深对离散型随机变量分布列的理解和应用．
2．对超几何分布要熟记公式，正确运用．
3．通过实例体会分布列在描述随机现象中的意义和作用，由具体到抽象的探究方法，体验模型化思想．本节重点：离散型随机变量分布列的概念、性质．两点分布、超几何分布的应用．
本节难点：综合运用排列、组合、概率的知识求实际问题中的概率分布．
[例1] ①从4名男生和3名女生中任选3人参加数学竞赛，其中所选女生人数；
②先后抛掷红、蓝两个骰子得到的点数；
③一批节能灯的寿命；
④任抽取一瓶500ml的饮料，其实际量与规定量的差．
其中是离散型随机变量的是
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④[答案] A
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①给出四个不同的变量；
②判断是否为离散型随机变量．
解答本题可先分析四个命题的选项是否是随机变量，再根据离散型随机变量的概念作出判断．[解析] ①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③中的结果不能一一列出，④中数值是一个确定值，故不是离散型随机变量．
[点评] 看一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是否是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
[例2] 已知随机变量ξ所有可能取的值是1、2、…、n，且取这些值的概率依次是k、2k、…、nk，求常数k的值．[点评] 利用离散型随机变量分布列的性质，不仅可以帮助我们检查写出的分布列是否有误(即看它的概率是否均为非负数且其概率和是否等于1)；而且还可以帮助我们求出分布列中的某些参数．
[例3] 盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．(精确到0.001)
[例4] 某班有学生45人，其中O型血的有10人 ，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，现抽1人，其血型是一个随机变量X，(1)X的可能取值是什么？(2)X的分布列是什么？[点评] 将随机试验的结果用实数值来表示是研究随机变量的分布列时常用的方法．
[例5] (2010·高二唐山检测)在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列．[点评] 本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量分布列的求法及解决实际问题的能力．一、选择题
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次的环数
B．水在100℃时会沸腾
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
[答案] B
[解析] 由随机变量定义可知，它是随机试验的结果，是不确定的，故选B.2．下列随机变量中是离散型随机变量的是( )
①盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η；
②从4张已编号(1号～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和ξ；
③离开天安门的距离η；④袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一个球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.
A．①② B．①②③
C．①②④ D．②③④
[答案] C[答案] B二、填空题
4．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的概率为________．5．袋中有6个红球，4个白球，从袋中任取4个球，求至少有2个白球的概率是________．课件26张PPT。2．2 二项分布及其应用 2．2.1 条件概率 1．通过实例，了解条件概率的概念，能利用条件概率的公式解决简单的问题．
2．通过条件概率的形成过程，体会由特殊到一般的思维方法．本节重点：条件概率的定义及计算．
本节难点：条件概率定义的理解．1．一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ ，为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作 ．变形公式(即乘法公式)：P(AB)＝ ．
2．性质1： ；
性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝ ．A发生的条件下B发生的概率P(A)·P(B|A)＝P(B)·P(A|B)0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)
[例1] 掷两颗均匀的骰子，问
(1)至少有一颗是6点的概率是多少？
(2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率又是多少？
[分析] 此题(2)即为条件概率，条件是两颗骰子点数不同，可用条件概率计算公式求解．[例3] 设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知产品的数量及不合格品件数．②任取2件产品中有一件为不合格品．
解答本题可先设出两个事件分别为A，B，再求概率P(B|A)．
[例4] 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[分析] 解本题的关键是设出相关事件，再由概率公式及条件概率的性质计算即可．[解析] 设D为“该考生在这次考试中通过”，则事件D包含事件A＝{该考生6道题全答对}，事件B＝{该考生6道题中恰答对5道}，事件C＝{该考生6道题中恰答对4道}．[点评] 解此类题时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使求有些条件概率时更为简捷，但应注意B，C互斥这一前提条件．一、选择题
1．P(B|A)的范围是
( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(0,1] D．1
[答案] B[答案] B [答案] C 二、填空题
4．把一枚骰子连续投掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．5．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．课件35张PPT。2．2.2 事件的独立性 1．了解两个事件相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能利用公式解决简单的问题．
2．通过本节的学习，体会相互独立事件的概率在实际生活中的应用．本节重点：相互独立事件的含义．
本节难点：相互独立事件概率的计算．1．定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ ，则称事件A与事件B相互独立．
3．如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝ ，P(AB)＝ ．
4．互斥事件是不可能 的两个事件，而相互独立事件是指一个事件的是否发生对另一个事件发生的概率 ，二者不能混淆．P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)同时发生没有影响
[例1] 判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出各对事件共三组；②要求判断各对事件是否是相互独立事件．
解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相互独立．[解析] (1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
[点评] 相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
[例2] 设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是 ，求P(A)，P(B)．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件A，B，只有A发生的概率与A发生的概率不相同，前者是A发生且B不发生，后者是至少有一个事件A发生．[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步骤：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．[解析] 记“答对第一个问题”为事件A，“答对第二个问题”为事件B，“答对第三个问题”为事件C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.又它们相互独立，所以[例3] (2008·湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响，求：
(1)至少有1人面试合格的概率；
(2)签约人数ξ的分布列．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①甲、乙、丙三人应聘；②三人各自签约的条件；③每人面试合格的概率相同均为 .
解答本题可先根据三个人面试合格与否是相互独立的，再按要求及相互独立事件的概率公式求解．[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件或对立事件等概率的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确领会、把握三个事件间的联系．解答本题时易错点是(2)中ξ＝0,1时的三种情况考虑不全或计算错误．
[例5] 甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．
[分析] 利用相互独立事件同时发生的概率求解．一、选择题
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是
( )
A．0.56 B．0.48 C．0.75 D．0.6
[答案] A2．若P(A∩B)＝0，则事件A与事件B的关系是
( )
A．互斥事件
B．A、B中至少有一个为不可能事件
C．互斥事件或至少有一个是不可能事件
D．以上都不对
[答案] A[答案] B 二、填空题
4．将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是________．课件34张PPT。2．2.3 独立重复试验与二项分布 1．理解n次独立重复试验的模型，掌握二项分布，并能利用它们解决一些简单的实际问题．
2．通过本节的学习，体会模型化思想，在解决问题中的作用，感受概率在生活中的应用，提高数学的应用能力．本节重点：独立重复试验与二项分布概念的理解．
本节难点：二项分布的实际应用．1．定义：一般地，在 下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
2．在n次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的 ，即P(A1A2…An)＝ ．其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验的结果．相同条件影响P(A1)P(A2)…P(An)3．定义：一般地，在 中，设事件A发生的 是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ ，其中k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称 为成功概率．
4．Cnkpk(1－p)n－k是[p＋(1－p)]n的二项展开式中的第 项．n次独立重复试验CnkPk(1－p)n－kX～B(n，p)pk＋1次数
[例1] 某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少有2次中靶的概率．
[分析] 至少有2次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况，这些事件是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击5次是进行5次独立重复试验．[点评] ①运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等；然后用相关公式求概率．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
[例3] 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列．[点评] 解此类题首先判断随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，然后求出P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，最后列出二项分布列．
[例4] 有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有效数字)
[分析] 解答本题的关键是明确某一时刻正常工作的机床台数X服从二项分布，即X～B(10,0.2)．[例5] 已知一个射手每次击中目标的概率为p＝ ，求他在4次射击中下列事件发生的概率．
(1)恰命中一次；
(2)恰只在第三次命中目标；
(3)恰命中两次；
(4)刚好在第二、第三两次击中目标．一、选择题
1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是
( )
A．0.33 B．0.066 C．0.5 D．0.45
[答案] A
[解析] 由n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的概率为C54×0.94×0.1≈0.33，应选A.易错选B，误认为所求概率为0.94×0.1≈0.066.[答案] B [答案] B 二、填空题
4．某处有供水龙头5个，调查显示每个水龙头被打开的可能性均为 ，3个水龙头同时被打开的概率为________．
[答案] 0.0081
[点拨] 对5个水龙头的处理可视为做5次独立试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或1－0.1＝0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.0081.5．某厂生产电子元件，某元件的次品率为5%，现从一批元件中任意地连续取出2件，其中次品数X的概率分布列如下表，请填写完整.[答案] 次品数X的概率分布列如下表：课件35张PPT。2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．3.1 离散型随机变量的均值 1．通过实例，理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．
2．掌握二点分布、二项分布的均值，体会二项分布数学期望的证明方法．
3．通过本节学习，体会离散型随机变量的均值在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣．本节重点：离散型随机变量的均值概念及计算．
本节难点：求离散型随机变量的均值．1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝ 为随机变量X的均值或 ．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋xnpn数学期望2．离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的 水平．
3．若a，b为常数，X为离散型随机变量，则aX＋b也是 ，并且E(aX＋b)＝ ，特别地，E(c)＝ (c是常数)．
4．若离散型随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ .
5．若X服从二项分布，即若X～ ，则E(X)＝ .平均离散型随机变量aE(X)＋bcpB(n，p)np[分析] 首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公式计算．[点评] 解此类题的一般步骤是：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．
[例2] 已知随机变量X的分布列为
求：(1)E(X)；
(2)若Y＝5X＋4，求E(Y)．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①已知随机变量X的分布列．②求E(X)．
解答本题可先求出参数m的值，再直接利用期望公式及性质求解．
[解析] (1)由随机变量分布列的性质，
得 0.4＋m＋0.3＝1.
∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.
(2)方法一：∵Y＝5X＋4，
∴随机变量Y的分布列为：∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3
＝1.6＋4.2＋7.2＝13.
方法二：∵Y＝5X＋4，
∴E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.
[点评] (1)求期望关键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aX＋b型的随机变量，利用期望的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解较简捷．
(2010·四川理，17)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；
(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.[解析] ①甲、乙、丙中奖与否是等可能事件，而甲中奖与乙，丙未中奖是相互独立的．②中奖人数可为0,1,2,3且相互独立，由独立事件至少有一个发生的概率计算即可．
解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么[点评] 本题主要考查相互独立事件，随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查了运用所学知识解决问题的能力.
(2010·淄博)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有第四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03.
所以三等品率最多为3%.一、选择题
1．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
A.16 B．11 C．2.2 D．2.3
[答案] A
[解析] 根据题意，由已知表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16，故答案选A.[答案] D 3．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是 ( )
A.706元 B．690元
C．754元 D．720元
[答案] A[解析] 本题考查数学期望的概念，节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元．应选A.二、填空题
4．由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下表．请你先将丢失的数据补充，再求随机变量的数学期望，其期望值为________.[答案] 3.5
[解析] 本题考查随机变量的概率，数学期望．由题知，它们的概率的和为1，可以得到应填的数为2，然后根据数学期望E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.[解析] 由题意可得随机变量X的分布列如下表.
由分布列的性质得(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1①，又E(X)＝3，所以1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3②.联立①②两式解得a＝ ，b＝0，课件31张PPT。2．3.2 离散型随机变量的方差 1．通过实例，理解离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
2．通过本节的学习，体会离散型随机变量的方差在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣．本节重点：离散型随机变量方差的概念与计算．
本节难点：对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差的计算．2．样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的 ，用它可以刻画样本数据的 ．
3．随机变量的方差、标准差的定义：
设离散型随机变量的分布列如下表.偏离程度稳定性4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于 的 程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度 ．
5．若a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ．
6．若X服从两点分布，则D(X)＝ ．
7．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，
则D(X)＝ ．均值平均越小a2D(X)p(1－p)np(1－p)
[例1] 已知随机变量X的分布列为
求X的均值、方差和标准差．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出X的分布列；②求X的期望、方差和标准差．
解答本题可先弄清楚题目的要求，再直接应用相应的定义求解．[点评] 已知随机变量的分布列求方差时，首先要计算均值，然后代入方差公式D(X)＝ (xi－E(X))2·pi，在应用方差公式时要注意(xi－E(X))2·pi中的平方，总之，分布列、均值、方差以及标准差这几个特征量是密不可分的，对它们的求解方法一定要熟练．
[例2] 已知随机变量X的分布列是
试求D(X)和D(2X－1)．
[分析] 已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式计算．[解析] E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.
∴D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
对于D(2X－1)，可用两种方法求解．
方法1：2X－1的分布列如下表：
∴E(2X－1)＝2.6.
∴D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.方法2：利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)．
∵D(X)＝1.56.
∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
[点评] 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一是先求y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求．
[例3] 已知某运动员投篮命中率p＝0.6.
(1)求一次投篮命中次数X的期望与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．
[分析] (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布．
(2)重复五次投篮的投中次数η服从二项分布．[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．
由二项分布期望与方差的计算公式，有
E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.[点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列；
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式)．一、选择题
1．甲，乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是
( )
A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较[答案] B
[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56( )
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
[答案] A[答案] C 二、填空题
4．某射手击中目标的概率为p，则他射击一次击中目标的次数X的均值是________，方差是________．
[答案] p 1－p5．随机变量X的分布列如下表：
其中x、y、z成等差数列，若E(X)＝ ，则D(X)的值是______．课件34张PPT。2．3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课 1．通过本节课进一步强化对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算．
2．会直接利用公式求二点分布、二项分布等的均值和方差．
3．理解均值和方差的作用．本节重点：离散型随机变量的均值和方差，特殊分布的均值和方差的求法．
本节难点：离散型随机变量的均值和方差的应用．
[例1] 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下表：现进行两次射击，以该运动员两次射击击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，
(1)求该运动员两次都命中7环的概率；
(2)求ξ的分布列；
(3)求ξ的均值E(ξ)．
[分析] (1)两次射击是相互独立的，(2)ξ＝m表示一次命中m环，另一次命中环数小于m，或两次都命中m环，(3)用公式求解．[解析] (1)该运动员两次都命中7环的概率为
P＝P(两次都命中7环)＝0.2×0.2＝0.04.
(2)∵P(ξ＝m)＝P(一次命中m环，另一次命中环数小于m)＋P(两次命中m环)，
∴P(ξ＝0～6)＝2×0×0＋0×0＝0，
P(ξ＝7)＝2×0.2×0＋0.2×0.2＝0.04，
P(ξ＝8)＝2×0.3×0.2＋0.3×0.3＝0.21，
P(ξ＝9)＝2×0.3×(0.2＋0.3)＋0.3×0.3＝0.39，
P(ξ＝10)＝2×0.2×(0.2＋0.3＋0.3)＋0.2×0.2＝0.36.
故ξ的分布列为：
(3)ξ的均值为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.
[例2] 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值；
(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
[分析] 本题是超几何分布问题，可用超几何分布的概率公式求解．(3)“所选3人中女生人数X≤1”的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
[例3] (2009·安徽·理17)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感觉的概率都是 ，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．[分析] 本题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识．
[例4] 甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
乙射击的概率分布如下表：(1)若甲、乙各打一枪，求击中18环的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[分析] 求甲、乙各打一枪击中18环的概率，相当于求甲、乙各射击一次所得环数之和为18的概率．要比较甲、乙射击水平的优劣，就是要求出它们的均值与方差．(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
所以D(X1)>D(X2)，乙比甲技术稳定．一、选择题
1．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数X的均值为
( )
A．15 B．10
C．20 D．5
[答案] B[答案] D
[解析] 因为X～B(1，p)，所以D(X)＝1×p×(1－p)＝p(1－p)．[答案] A 5．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝ ，则n＝________，D(X)＝________.三、解答题
6．(2010·浙江理，19)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．
[分析] 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列，数学期望、二项分布等概念，考查抽象概括、运算求解能力和应用意识；一般思路：分析本题属于哪种事件．[点评] 关键该事件属于哪种基本事件，根据事件的求概率公式进一步得出，在求分布列时一定要注意概率和为1，求期望、方差时可根据公式直接求出．课件28张PPT。2．4 正态分布 1．通过实例，借助于直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．了解3δ原则，会求正态变量在特殊区间内的概率．
2．通过本节的学习，体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用．本节重点：正态分布的特点及其应用．
本节难点：正态曲线的特征、正态分布的应用．1．当样本容量无限增大时，它的频率分布直方图 一条总体密度曲线，在总体所在系统相对稳定的情况下，总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：
其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为 ，简称 ．无限接近于正态分布密度曲线正态曲线(4)曲线与x轴之间的面积为 ；
(5)当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x轴 ；1平移(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ．瘦高集中矮胖分散4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概率P(μ－a特别地有：P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ[例2] 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线C2，下列说法中不正确的是( )
A．曲线C2仍然是正态曲线
B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
[答案] D[解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．
在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标
不变，方差σ2，也没有变化．设曲线C1的对称轴为x＝μ，那么曲线C2的对称轴则为x＝μ＋2，说明期望从μ变到了μ＋2，增大了2.
[例4] 设X～N(5,1)，求P(6[点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的值，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的面积是1等)进行求解．
[例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90间的学生占多少？[解析] (1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
分析在60～80之间的学生的比为：
P(70－10所以不及格的学生的比为 (1－0.6826)＝0.1587，
即成绩不及格的学生占15.87%.一、选择题
1．若f(x)＝ ，x∈R，则f(x)
( )
A．有最大值，也有最小值
B．有最大值，但无最小值
C．有最小值，但没有最大值
D．无最大值也无最小值
[答案] B[答案] C 3．下列说法不正确的是
( )
A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴
B．正态分布密度曲线位于x轴上方
C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布
D．函数f(x)＝ (x∈R)的图象是一条两头低，中间高，关于y轴对称的曲线[答案] C
[解析] 由正态曲线的性质知正态曲线关于直线x＝μ对称，所有正态曲线都在x轴上方，且呈两头低中间高的形状，A中μ＝0，D中μ＝0，故A，B，D正确，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它才服从或近似服从正态分布，故C错误，答案选C.二、填空题
4．正态总体的函数f(x)＝ (x∈R)，则总体的平均数E(X)＝________，标准差σ＝________.
[答案] 0 2
5．若随机变量ξ～N(0,1)，则随机变量ξ落在(－∞，－3)∪(3，＋∞)内取值的概率为________．
[答案] 0.003课件30张PPT。
我们已学过的几种典型事件有：古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，求解这些事件的概率是概率中常见的题型，也是高考中必考查的内容之一．解决概率问题的基本步骤是：
第一步：确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件的某一类．
第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事件有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式．[答案] D [答案] B [例3] (2010·全国Ⅱ理，20)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．[分析] 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率求法．第1问利用对立事件求三个元件均不通电流的概率即可，第2问转化为互斥事件的概率，利用加法公式求解．
求离散型随机变量的均值与方差是高考考查的重点内容之一，一定要熟练掌握．求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤是：先列出随机变量X的分布列，再代入均值与方差的公式计算，另外还要熟记特殊分布(两点分布及二项分布)的均值与方差的计算公式[例4] 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量的比为s：t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以X表示取球结束时已取到白球的次数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．[点拨] 以求均值为最终目标的题型是高考对本章知识以解答题形式考查的热点题型．解答这类问题关键在于分析随机变量取每一个值时所对应的随机事件，并求相应概率，再列出分布列即可．一般地，这类题型求其数学期望(均值)比较简单，不过本例中在求E(X)时需要用到错位相减法，这是高考命题的一个新动向，应引起我们的高度重视．[例5] (2009·江西·理18)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．
(1)写出ξ的分布列；
(2)求均值E(ξ)．
(1)利用数形结合的思想方法解题．
(2)本章的内容很多是由图表给出的，这即是数形结合思想的应用，数形结合思想在高考中占有重要位置，是高考中重点考查的思想，它可以使题目的解答更形象、直观，一目了然．[例6] 如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．[点拨] (1)从图象入手，认识正态分布的有关知识，发挥图象的直观功能、提高解题效率．
(2)用分类讨论思想方法解题．
当所研究的问题比较多或不能统一研究时，则应分类进行研究，分类时要做到不重不漏，这就是分类讨论的数学思想．分类讨论的数学思想在高考中占有非常重要的地位，是解决数学问题的一种重要思想．[点拨] 对2≤S6≤4所包含的两种情况都要考虑到，本题考查了独立重复试验及其概率求法．
