《名题学典·数学》人教版八年级系列第十七章
第十七章 勾股定理
单元学典
勾股定理这一章主要探索并学习直角三角形三边的关系，学习勾股定理的证明方法，以及勾股定理的逆定理.勾股定理这一章有着承上启下的作用，承上：进一步加强对二次根式的运用；启下：为下章要学习的平行边形打下了基础.世纪教育网版权所有
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17.1 二次根式…………………………………………………………………………3课时
17.2二次根式的乘除…………………………………………………………………1课时
本章复习………………………………………………………………………………1课时
本章单元测试卷A+B
第1课时 17.1勾股定理（1）
1.勾股定理的探究：
（1）将6个全等的等腰直角三角形如图放置，其中△ABC是直角三角形.
可发现：大正方形的面积 两个小正方形的面积之和，即大正方形边长的平方 两个小正方形边长的平方之和，则可得出结论： ，其中 和 是直角边， 是斜边(用Rt△ABC的边表示).
（2）探究普通直角三角形：如图所示的网格中，有A，B，C三个正方形，其中每个网格的都是正方形且面积是1.
①请求出正方形A，B，C的面积；
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②可发现： （提示：正方形A，B，C面积的关系）
得出结论：命题1：
.
命题1的证明：赵爽证明法
方法:分割、拼接；
基本思路：把边长为a，b的两个正方形连在一起（如下图），它的面积是 ；
另一方面，上面这个图形可分割成四个全等的直角三角形（其中斜边为c）和一个 .（如下图）
然后，把上图中的中左、右两个三角形移到如下图所示图形：
最后得到的一个边长为 的大正方形的面积为 .
综上可得： .
勾股定理：我们把命题1，称为勾股定理.
掌握勾股定理
【例1】：正确运用勾股定理
在Rt△ABC中，∠C=90°，
如果a=3，b=4，则c=________；
如果a=6，b=8，则c=________；
如果a=5，b=12，则c=________；
如果a=15，b=20，则c=________.
下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是△ABC的三边， 则a2+b2=c2 ?
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2 ??
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A
=90°， 则a2+b2=c2 ??
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C
=90°，则a2+b2=c2 ??
分析：（1）题利用勾股定理可得到结论（2）题需要注意的是，要确定哪一条边是斜边，而斜边是直角所对应的边：并不是所有的三角形都适用勾股定理，只能是直角三角形，故A错；B.不确定哪一条是斜边，所以错；C.∠A对应的边为a，即a为斜边，所以错；D符合勾股定理.
解：（1）5；10；13；25.
（2）D
练习1
（1）一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25
B．三角形周长为25
C．斜边长为5
D．三角形面积为20
（2）一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm，求第三边的长.
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正方形面积的求解
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1= ．
分析：由勾股定理，可得三个正方形的边长的关系，从而可以得到.
解：10
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理可得，即，∴=10.
练习2
（2012?庆阳）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
等腰直角三角形
【例3】（1）等腰直角三角形的斜边长为2cm，则该三角形的面积为 ．
（2）等腰三角形的腰和底边的长分别为4和2，则腰上的高为 ．
分析：（1）等腰三角形是一个特殊的等腰三角形，不仅有两边相等，两腰的夹角为直角，可设腰长为x，根据勾股定理可列得方程求解；（2）题中未明确指出腰长的边长，故要先分析排除，由三角形三边长的关系可得，腰为为4，底边长为2；可先根据勾股定理求出底边的高，再用等面积法求出腰上的高.
解：（1）1；（2）.
【解析】（1）设腰长为x，由勾股定理可得，，∴，则面积：
；
（2）如图所示，等腰△ABC中，AD是底边BC上的高.由三角形三边长的关系可得AB=AC=4，BC=2BD=2，则在Rt△ABC中，由勾股定理可得，，∴AD=，∴=
∴AB上的高为.
练习3
如图，已知AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，求AE的长.
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勾股定理的证明
【例4】曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为 ，又可以表示为 ．对比两种表示方法可得 ．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．
分析：根据题意可得，加菲尔德提出的这种证明方法，主要是利用梯形的面积公式：、三角形的面积公式来完成的.两个全等直角三角形拼出的，得到一个腰长为c的等腰直角三角形.
解：；；
=.
练习4
（2008?湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
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1．（2004?黄冈）若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．（2007?连云港）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
3.（2010?南宁）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4.（2012?新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则S3是 ．
（2013?巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足+|b-4|=
0，则该直角三角形的斜边长为 ．
6.（2010?淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条．
用时 分数
1.一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边长为（ ）
A．12 B．16
C．18 D．20
2.直角三角形有两边分别为3和4，下列说法错误的是（ ）
A.斜边一定为5
B.面积可能为6
C.斜边可能为4
D.斜边上的高可能为2.4
底边为8cm，底边上的高为3cm的等腰三角形的腰长为（ ）
A.5cm B.6cm C. D.4cm
4．点M（6，8）到原点的距离是（ ）
A. 6 B.8 C.10 D.14
5．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是49，小正方形的面积4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论正确的有（ ）个．
（1）b﹣a=2，（2）a2+b2=49，（3）4+2ab=49，（4）a+b=．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．如图，正方形A的面积为36，正方形B的面积为64，则正方形C的面积是（ ）
A．49 B．100 C．144 D．81
7. 如图是小正方形边长为2cm的方格图，沿折线从格点A→B→C所走的路程为（ ）
A.5 B.2
C.4 C.10cm
8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C=90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2
C．a2+c2=b2 D. c2﹣a2=b2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．已知点P（x，3）在第二象限内，且OP=5，则x= ．
10．在△ABC中，∠C=90°，若a+b=
7cm，c=5cm，则△ABC的面积为 ．
11．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
12.如图，已知AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，则AE的长等于 ．
13．（2011?肇庆）在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB= ．
14．（2011?齐齐哈尔）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 cm2．
解答题（共40分）
15.如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是BC上的高，AB=17，BC=16．
（1）求△ABC的面积；（2）求点B到边AC的距离．
16.已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：.
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17.已知，一个直角三角形的周长等于4+，它的斜边长为，求这个三角形的面积．
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18.如图，方格纸中小正方形的边长为1，A、B、C都在格点上，求：
（1）△ABC的面积；
（2）△ABC的周长；
（3）点C到AB边的距离．
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参考答案：
基础为本、掌握新知
1.（1）等于 AB AC BC （2）①A的面积为：4 B的面积为9
C的面积为：25-4××2×3=13 ②A的面积+B的面积=C的面积 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.a2+b2 小正方形 c c2 a2+b2=c2
练习2 观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠BED，∴△ABC≌△BDE，S1和S2之间的两个三角形可以证明全等，则S1+S2即直角三角形的两条直角边的平方和，根据勾股定理，即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
练习3 根据勾股定理可以得出：AE2=AD2+DE2=AD2+1，AD2=AC2+CD2=AC2+1，
AC2=BC2+AB2=1+1，因此，AE2=AD2+1=AC2+1+1=1+1+1+1=4．∴AE=2．
2.C 【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故选C．
课时自测、认清自我
一、1.D 【解析】∵三角形的两直角边长为12和16，∴斜边长为：．
2.A 【解析】①当3，4分别是直角边时，则第三边=，面积=3×4÷2=6，斜边上的高=6×2÷5=2.4；②当3为直角边，4为斜边时，则第三边=，面积=3×
÷2=，斜边上的高=×2÷4=．
3.A 【解析】∵BC=8cm，AD=3cm，AD⊥BC，∴BD=BC=4cm，∴AB==cm．
4.C 【解析】∵点M的坐标为（6，8），∴点M离原点的距离是．
5.C 【解析】由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得|b﹣a|=2，即（1）错误；a2+b2=斜边2=大正方形的面积=49，即（2）正确；小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得4+2ab=49，即（3）正确；根据（3）可得2ab=45，故可得(a+b)2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=，即（4）正确．
6.B 【解析】由勾股定理可得，正方形C的面积等于正方形A和B的面积之和.
7.A 【解析】根据勾股定理可得：AB=BC==2．∴沿折线从格点A→B→C所走的路程AB+BC=4．
8.C 【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C=90°，∴∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
则根据勾股定理得：a2+c2=b2．
二、9.4 【解析】∵OP=5，∴x2+32=52，∴x=±4，∵点P（x，3）在第二象限内，∴
x＜0，∴x=﹣4.
三、15.解：（1）∵∠ABC=∠C，∴AB=AC=17，∵AD是BC上的高，∴BD=DC=8，∵AD＝，∴△ABC的面积==120；
设B到AC的距离为h，∵△ABC的面积=，∴.
16. 解：在Rt△ABC中，CD是AB上的高，所以，∴.由勾股定理可得，，∴，即.
17.解：设该直角三角形的两直角边分别为a，b，由勾股定理得，.∵其周长为4+，∴，∴，∴，∴该直角
三角形的面积为：.
《名题学典·数学》人教版八年级系列第十七章
第2课时 17.1勾股定理（2）
勾股定理的应用：
某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3米，AB=2米，现有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由．
分析：因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的 ，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于BC的长度．如果EG的长度 2.5货车可以通过，否则 ．
解：能通过，理由如下：
设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，如图，∵直径AB=2（已知），∴半径OG=1，OF=1.6÷2=0.8，
∴在Rt△OFG中，由 得，
FG2= =120.82= ；
∴FG=0.6
∴EG=0.6+2.3= ＞ ．
∴ 通过．
勾股定理的实际应用
【例1】（2002?吉林）如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：在Rt△ACB中，
AC2=AB2BC2=2.521.52=4，
∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．
在Rt△ECD中，
EC2=ED2CD2=2.5222=2.25，
∴EC=1.5，
∴AE=ACEC=21.5=0.5．
答：梯子顶端下滑了0.5米．
练习1
（1）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为 m．
（2）一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．
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【例2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是长方形，连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，
在Rt△AEC中，AC=＝
=10m，故小鸟至少飞行10m．
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练习2
如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，飞机每秒飞行多少米？
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【例3】如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
分析：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45 -x，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OA=45，OB=15，
把它代入关系式152+(45-x)2=x2，
解方程得出x=25（cm）．
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．
练习3
如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 21世纪教育网版权所有
【例4】如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
（1）E站应建在A站多少km处？
（2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积．
分析：关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
解：（1）设AE=x km，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，
由勾股定理，得152+x2=102+(25-x)2，x=10．
故：E点应建在距A站10千米处．
在Rt△ADE中，
DE==.
由（1）可得AE=BC=10，AD=BE=15，且∠A=∠B，∴△ADE≌△BEC，
∴∠AED=∠BCE.
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠CED=90°，
∴162.5(km2).
练习4
如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，能否在CD上找一点P，使PA+PE最小，并求出PA+PE最小值，若不能，请说明理由.
1.（2010?新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．3m B．5m
C．7m D．9m
2.（2010?铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A.米 B.米
C.米 D. 3米
3.（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．
4.（2007?防城港）如图，要制作底边BC的长为44cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1：4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要 cm．（结果保留根号的形式）
5.（2007?江苏）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．
6.（2005?广州）假设电视机屏幕为矩形．“某个电视机屏幕大小是64cm”的含义是矩形对角线长为64cm．如图，若该电视机屏幕ABCD中，=0.6，则电视机屏幕的高CD为 cm．（精确到1cm）
用时 分数
选择题（每题4分，共32分）
1.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2011?枣庄）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（4，0） B．（1，0）
C.（﹣2，0） D.（2，0）
3．（2010?台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）
A．8 B．8.8 C．9.8 D．10
4．（2010?宁德）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（ ）
A.2+ B.2+2
C.12 D.18
5．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（ ）
A.80cm B.
C.80cm或 D．60cm
6. 放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（ ）
A．600米 B．800米
C．1000米 D．以上都不对
7．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A．11米 B．12米
C．13米 D．14米
在同一平面直角坐标系中，点A的坐标（2，-1）、点B的坐标（-3，0），则线段AB的长度为（ ）
A.5 B.
B. D.6
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米．
10.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走 米．
11.（2006?巴中）如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
12.（2006?河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ．
13.如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是
.
14.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m.
三、解答题（共40分）
15.如图，在海上观察所A，我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
16.某机床内有两个小滑块A、B，由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．
（1）如图1，开始时滑块A距O点16厘米，滑块B距O点12厘米．求连杆AB的长．
（2）在（1）的条件下，当机械运转时，如图2，如果滑块A向下滑动6厘米时，求滑块B向外滑动了多少厘米？（精确到0.1，其中，）
17.（2008?恩施州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
18.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米3000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
参考答案：
基础为本、掌握新知
一半 大于 不能通过 勾股定理 OG2-OF2 0.36 2.9 2.5 能
一例一练、活用数学
练习1 （1）8米 【解析】由勾股定理得，断下的部分为(m)，折断前为5+3=8m．
（2）在Rt△ACB中，BC=3，AB=5，AC=，DC=4-1=3米．
在Rt△DCE中，DC=3，DE=5，CE=，BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．
练习2 解：设A点为男孩头顶，B点为正上方时飞机的位置，C为10s后飞机的位置，
如图所示，则AC2=BC2+AB2，即BC2=AC2 -AB2=1960000，∴BC=1400，∴飞机的速度为m/s.
4. 【解析】如图，作AD⊥BC于D，∵AD：BC=1 : 4且BC=44，又∵AB=AC，∴在Rt△ABD中AD=11，BD=BC=22，∴AB2=AD2+BD2，∴AB==，AB的长至少为．
5.150 【解析】∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，
∴AB==mm．
6.33 【解析】∵=0.6，设CD=3x，则BC=5x，∴(3x)2+(5x)2=642，解得，x=11
电视机屏幕的高CD为11×3=33cm．
课时自测、认清自我
1.C 【解析】∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，∴AB==5，故选C．
2.B 【解析】点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA=2，
若点P的坐标是（4，0），则OP=4，过A作AC⊥x轴于C，在直角△ACP中利用勾股定理，就可以求出AP=2，∴AP=OA，同理可以判断（1，0），（﹣2，0），（2，0）是否能构成等腰三角形，经检验点P的坐标不可能是（1，0）．故选B．
3.C 【解析】从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，
∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP===4.8，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
4.B 【解析】展开后等腰三角形的底边长为2×（10÷2﹣4）=2；腰长==，
所以展开后三角形的周长是2+2．
二、9.12 【解析】
三、15.解：可疑船只从B处到C处所用的时间为8÷40=0.2(h).在Rt△ABC中，AC=，则我边防海警船的速度：10÷0.2=50km/h.
16.解：（1）连接OA、OB由题意得，OA=16厘米，OB=12厘米，在Rt△AOB中，AB=(厘米)，∴连杆AB的长为20厘米；
（2）由（1）得，CD=AB=20厘米，∵AC=6厘米，∴OC=OB﹣AC=10厘米；
在Rt△COD中，OD=≈17.32（厘米）
∴BD=OD﹣OB=17.32﹣12≈5.3（厘米）；∴滑块B向外滑动了5.3厘米．
17.解：（1）；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=，即的最小值为13．
18.解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即PA与PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，则∠C=90°．
过A作AE⊥BC于E；在直角△ABE中，依题意得：BE=5，AB=13，
根据勾股定理可得：AE=．
∴由平移关系可得：A′C=AE=12，在Rt△B A′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
根据勾股定理可得：A′B==15，
∵PA=PA′，∴PA+PB=A′B=15．
∴最节省的铺设水管费用为：3000×15=45000（元）．
《名题学典·数学》人教版八年级系列第十七章
第3课时 17.1勾股定理（3）
1.求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（写）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'= ，AB= ，AC= .求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明思路：判定两个三角形全等可用：AAS，ASA，SAS，SSS，来判定；此题可用它们中的 .
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'= ，根据 ，得
，B'C'= .
又AB= ，AC= .
∴BC=B'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（ ）
2.在数轴上表示出的点，需要的工具：直尺，圆规，笔.
思考：在数轴上，我们可以用直尺很轻松的表示出正整数：1、2、3、；0；负整数：-1、-2、-3；如何要在数轴上表示出这个无理数，用直尺直接画出并不容易，画出的也不精确.那如何更精确的表示出呢？下面介绍它的作法.
作法思路：从学边勾股定理，可以得到=，也就是说，在一个直角三角形中，两直角边分别为2，3时，则斜边是.
作法过程：如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝ ，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使得AB= ，以原点O为圆心，以 为半径作弧，弧与数轴的交点 即表示的点.
3.请在数轴上表示出的点.
【例1】如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一点，且DE=CE，求AE．
分析：根据DE=CE，由勾股定理建立等式，进而求解直角三角形即可．
解：∵DE=CE，∴AD2+AE2=BC2+BE2，即AE2+64=BE2+144，又AE+BE=20，解得BE=8，AE=12.
练习1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
S△AB＝cm2，BC＝cm，CD⊥AB于点D，分别求AC及CD的长．
【例2】如图，OA=OB，
（1）写出数轴上点A表示的数；
（2）比较点A表示的数与-1.5的大小；
（3）这种研究和解决问题的方式，体现了
的数学思想方法．（将下列符合的选项序号填在横线上）
A. 数形结合 B. 代入
C. 换元 D. 归纳
（4）在数轴上作出所对应的点．
分析：（1）由勾股定理可求得OB的长，从而得到A所表示的数；注意A点在原点的左边，应为负数；（2）在数轴上找出表示﹣1.5的点，即可比较；（3）很显然，这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的思想；（4）根据勾股定理先作出线段OC，后以点O为圆心，以OC的长作圆，与数轴的交点即为所对应的点．
解：（1）OB=OA=，∴点A表示的
数﹣．
（2）﹣≈﹣1.414，点A在﹣1.5的右边，故﹣＞﹣1.5．
（3）这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想方法，故答案为：数形结合．
（4）所作点如下所示：
练习2
如图所示，在3×3的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的交点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）请网格图中作一个三边长分别 为3，，的三角形．
（2）画一个三角形均为无理数的等腰直角三角形（不要求证明），并求出其面积．
【例3】观察下列式子：
32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；…
（1）找出规律，并根据此规律写出接下来第5个式子： ；
（2）写出这一规律： ；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=39999，BC=400，你能快速求出AB吗？
分析：从这四个等式可以找到共同点：5- 3=10 - 8=17 - 15=26 - 24=2；而且：
22 -1=3，32 -1=8，42 -1=15，52 -1=24，而且：2 × 2=4，2 × 3=6，2 × 4=8，2 × 5=10，发现这些共同点，即可发现规律.
解：（1）由分析可得(62 -1)2+(2 × 6)2=
(62 +1)2，即352+122=372；
(n2 -1)2+(2n)2=(n2 +1)2；
AC=2002 -1=39999，
即当n=200时，斜边AB=AC+2=40001.
练习3
细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
；
；
；
（1）推算出OA10的长= ；
（2）若一个三角形的面积是，则它是第几个三角形？
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（4）求出…的值.
【例4】已知：如图，四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AC与BD相交于O，且AC⊥BD，则a，b，c，d之间一定有关系式：a2+c2=b2+d2，请说明理由．
分析：要证明a2+c2=b2+d2，其实是证明AB2+CD2=BC2+DA2.由AC⊥BD，可得AB，CD，BC，DA分别是Rt△OAB，Rt△OBC，Rt△OCD，Rt△OAD的斜边，从而由勾股定理可得，可证得答案.
解：∵AC⊥BD，∴在Rt△OAB中，由勾股定理得，a2=OA2+OB2，同理可得b2=OB2+OC2，c2=OC2+OD2，d2=OA2+OD2，
∴a2+c2=OA2+OB2+OC2+OD2，
b2+d2=OB2+OC2+OA2+OD2，
∴a2+c2=b2+d2.
练习4
如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示，∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a2=b（b+c）．
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1.（2012?鄂尔多斯）如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A. 1 B.
C. 1.5 D.4
（2008?宁德）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．（2，0） B.
C. D．（1，0）
（2013?吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
4.（2012?定西）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 ．
5.（2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 .
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用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1.（2011?枣庄）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
（4，0） B.（1，0）
C. D.（2，0）
2.（2011?贵阳）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A． 2.5 B.
C. D.
3.（2012?济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
-4和-3之间 B.3和4之间
C.-5和-4之间 D. 4和5之间
4.（2007?舟山）如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（ ）
A． 这两个四边形面积和周长都不相同
B． 这两个四边形面积和周长都相同
C． 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
D． 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
5.（2013?长春一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=．按以下步骤作图：
①以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、D；
②分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接AP交BC于点F．
那么BF的长为（ ）
B. 3
C. 2 D.
6.（2011?龙文区质检）如图，当太阳光与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为（ ）
A.m B.m
C.m D.12m
7.（2006?青神县二模）如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
8.（2010?眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60°
C．45° D．30°
填空题（每题3分，共18分）
9.（2012?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= ．
10．（2004?乌鲁木齐）如图，已知OA=
OB，那么数轴上点A所表示的数是 ．
11．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是 米．
12．（2011?崇川区模拟）在如图所示的格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，且AB是其中一腰，则图中符合条件的点有
个．
13．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则(x+1)2为 ．
14. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，
．则=_________．
三、解答题（共40分）
15.在数轴上作出表示下列各数的点：．（8分）
16.请在下面的网格中画出同时满足以下三个要求的格点三角形（即三角形的顶点都在格点处），每个小正方形的边长为1．（8分）
要求：①△ABC为直角三角形，∠C=90°；
②较短的直角边AC=；
③△ABC的面积为5．
17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上，连接AD．（12分）
（1）求证：AD2﹣AB2=BD?CD；
（2）若点D在CB上，上述结论将会有什么变化，试证明你的新结论．
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18.已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．（12分）
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
基础为本、掌握新知
1. 90° A'B' A'C' SSS 90° 勾股定理 A'B' A'C' SSS
2. 3 2 OB C
如图所示：根据勾股定理找出的点，由可得，可以找出表示的点A.
一例一练、活用数学
练习１ 解：三角形ABC的面积为：×AC×BC=，BC=；AB=cm，=27，∴=.CD=cm.
练习3 解：（1））∵OA=n，∴OA10=．（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn==，∴=2=，∴它是第20个三角形．（3）结合已知数据，可得：OA=n；Sn=；（4）…=…=
==．
练习4 证明：∵∠A=60°，∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴∠C=90°，∴b=c，
∴a==，∴a2=c2．∵b（b+c）=c（c+c）=c2，
∴a2=b（b+c）.
全真考题、能力拓展
1. B 【解析】应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，OA为圆的半径，则OD=，所以数轴上的点A表示的数为．
2. B 【解析】由题意得OA=，当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在；当AB为腰时，有三种情况，当B点为（，0），（1，0），（2，0）．
3.（4，0） 【解析】∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC﹣AO=4，∵交x正半轴于点C，∴点C的坐标为（4，0）.
4. 【解析】由题意知，S△ABC==．
课时自测、认清自我
1.B 【解析】点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA=2，若点P的坐标是（4，0），则OP=4，过A作AC⊥x轴于C，在直角△ACP中利用勾股定理，就可以求出AP=2，∴AP=OA，同理可以判断（1，0），（﹣2，0），（2，0）是否能构成等腰三角形，经检验点P的坐标不可能是（1，0）．
2.D 【解析】由勾股定理可知，∵OB=，∴这个点表示的实数是．
3.A 【解析】由勾股定理得OA=OP=，∵点A在负半轴上，∴A点表示，.
4.D 【解析】设每相邻两个点间的距离是1．则Ⅰ的周长=2+2，面积=1×1=1；
Ⅱ的周长=1+2+，Ⅱ的面积=+=1．
5.C 【解析】∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，由作图可知，AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=30°，∴CF=AF，在Rt△ACF中，AC2+CF2=AF2，
即+（AF）2=AF2，解得AF=2，又∵∠BAF=∠B=30°，∴BF=AF=2．
6.A 【解析】如图，∵太阳光与水平地面成30°，∴AB=2BC，根据勾股定理，AC2+BC2=AB2，
∵影长AC=24m，∴242+BC2=4BC2，解得BC=8m．
12.5 【解析】如图所示：图中符合条件的点有5个，
13.2 【解析】读图可得：点A表示的数为，∴x=，∴(x+1)2=2.
14. 【解析】∵，∴AC=BC，根据勾股定理，AB=BC，
所以．
三、15. 解：A：，B： C：
16. 解：由题意知：BC=2，
根据勾股定理画出边AC和BC，然后连接AB．
解：（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=CE，在Rt△ADE中，AD2﹣AE2=DE2，在Rt△ACE中，AC2﹣AE2=CE2，两式相减得，AD2﹣AC2=DE2﹣CE2=（DE﹣CE）（DE+CE）=（DE﹣BE）CD=BD?CD，即AD2﹣AB2=BD?CD；
（2）结论为：AC2﹣AD2=BD?CD．证明如下：与（1）同理可得，AD2﹣AE2=DE2，AC2﹣AE2=CE2，∵点D在CB上，∴AB＞AD，∴AC2﹣AD2=CE2﹣DE2=（CE﹣DE）（CE+DE）=（BE﹣DE）（CE+DE）=BD?CD，即AC2﹣AD2=BD?CD．
