广东省揭阳市普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学考试 数学
一、单选题(共40分)
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数(其中)存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．(1，3] C．(2，3) D．(2，3]
6．已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
7．现有下列五个结论，正确的个数为（ ）
①若，则有； ②对任意向量、，有；
③对任意向量、，有； ④对任意复数，有；
⑤对任意复数，有．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．一部分球面 D．两条平行线段
二、多选题(共20分)
9．有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ）
A．平均数不变 B．众数不变 C．极差变小 D．第20百分位数变大
10．已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·广东茂名·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有
B．对于任意的，数列不可能为常数列
C．若，则数列为递增数列
D．若，则当时，
三、填空题(共20分)
13．中的系数为__________（用数字作答）.
14．已知，则___________.
15．已知为奇函数，则________．
16．球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是___________.
四、解答题(共70分)
17．已知数列满足，其中是的前项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的前项和.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.
(1)求证：平面
(2)若，求二面角的正弦值.
19．如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
(1)求的长；
(2)在中，若，试求的取值范围.
20．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.
(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）
(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？
21．已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
22．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据集合的交集运算可得.
【详解】，.
故选：C
2．C
【分析】根据共轭复数的概念可求得的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.
【详解】由已知可得，所以.
故选：C.
3．B
【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若直线与直线平行，则且，
因为“”“且”，
但“”“且”，
因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.
故选：B.
4．A
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，
由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：.
故选：A．
5．C
【分析】先判断，再判断指数函数在区间上无零点，可得函数在区间上存在零点，利用对数函数的单调性可得答案.
【详解】由函数的解析式可知，
因为指数函数单调递增，在区间上无零点，
所以函数在区间上存在零点，
由于单调递增，
故当时，有，
从而
所以实数的取值范围是(2，3)，
故选：C.
6．C
【分析】根据奇函数的性质即可算出答案.
【详解】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
7．D
【分析】根据绝对值的运算法则判断①，根据数量积的定义判断②③，根据复数的运算及模的定义判断④⑤.
【详解】根据绝对值的运算法则正确，故①正确；
对任意向量、，，故②不正确；
对任意向量、，有，故③正确；
对任意复数，不妨设，则，而，显然不成立，故④错误；
对任意复数，不妨设，则，
所以，，
所以有，故⑤正确.
故选：D
8．B
【分析】由题意，构造直角三角形，利用其性质求得的长，根据等腰三角形的性质，求得到中点的距离，可得答案.
【详解】由题意，连接，，，，取中点为，连接，如下图：
在正方体中，易知为直角三角形，
为的中点，在中，；在中，，
，且为的中点，，
在中，，
分别为上的动点，点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，
故选：B.
9．BD
【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.
【详解】因为，所以新的样本数据平均数减小，A错误；
加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B正确；
若加入一个新数据不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，
C错误；
若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D正确，
故选:BD.
10．ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
.
11．【答案】CD
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
12．ACD
【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.
【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；
B：由，若为常数列且，则满足，错误；
C：由且，
当时，此时且，数列递增；
当时，此时，数列递减；
所以时数列为递增数列，正确；
D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设为常数列求通项，判断是否与矛盾；对于C、D，将递推式变形为，讨论、时研究数列的单调性.
13．
【分析】的二项展开式的通项为，令，再求出展开式中的系数，从而可求解.
【详解】，
其二项展开式的通项为，
要得到，则，解得.
的二项展开式的通项为，
令，可得.
故中的系数为.
故答案为:.
14．##
【分析】先利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式将等式转化为，解之即可.
【详解】令，则，
所以，
因为，
所以，整理得，
则，解得或（舍去），
所以，即.
故答案为：.
15．
【分析】根据奇函数的定义，可得，化简即得，即可求得答案.
【详解】由题意可得满足且，
则有，即，
故，即，
因为时，定义域为，
满足，函数为偶函数，不合题意，
故，则的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称，
则不恒等于0，故，
当时，定义域为R,满足,
即为奇函数，
故答案为：
15
【分析】作出图形，在球中求得三角形的面积的最大值为3，作出图形，求得点为到平面的距离最大值为15，根据锥体的体积公式即可求得答案.
【详解】解：如图一所示：
在圆中，因为点在截面上的投影恰为的中点，且，
所以为直角三角形，且，
又因为，
所以可得，
设，
则有，
所以，
所以，当时，等号成立，
所以；
如图二所示：
因为球的半径为，为线段的中点，
所以，
当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，
即此时三棱锥的高最大，此时,
所以此时,
即三棱锥体积的最大值是15.
故答案为：15.
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据的关系可得，根据此递推关系即可根据等差中项求证，
（2）根据裂项求和即可求解.
【详解】（1）由得：
当时，，
两式子相减得①，
因此可得②，
①②相减得：，
由于 ，所以，
所以是等差数列；
（2）由（1）知是等差数列，，所以，
因此，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据面面垂直的性质定理可得平面，然后利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
【详解】（1）因为的重心为，为中点，
所以，又，
所以，即，又，
所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，为中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
所以，
所以二面角的正弦值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的四则运算结合单位向量的概念即可求解；
（2）利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）连接，
由题意，得，
所以，
在中，点分别为的中点，所以，
所以.
（2）因为在中，有，
所以由正弦定理边角互化得，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，即所求的取值范围是.
20．(1)见解析；
(2)0.
【分析】（1），故至少有1个次品的概率为，根据小概率事件说明即可；
（2）次品的概率为，设次品数为,则，其中，设次品数最可能是件，则，求解即可.
【详解】（1）因为，所以,
所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为，
如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.
（2）次品的概率为，
抽取100个零件进一步检测，设次品数为,则，其中，
故，
设次品数最可能是件，
则，
即，
即，解得.
因为，所以，故.
故这100个零件中的次品数最可能是0.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
22．【详解】（1）当时，，
则，，又，
在处的切线方程为：.
（2），
令，则，
令，则，
在上单调递增，，即；
当时，，，，
，，
即，在上单调递增，即在上单调递增；
；
①当，即时，，在上单调递增，
，满足题意；
②当，即时，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，使得，
当时，，则在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.