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6.2.4 向量的数量积
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
本节重点：平面向量的数量积的概念、向量的模及夹角的表示.
本节难点：平面向量数量积的运算律的理解及数量积的应用．另外，向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
注意点：
(1)向量的夹角必须是两个非零向量a和b；
(2)向量a，b的夹角记作〈a，b〉；
(3)当θ＝0时，cosθ＝1，a与b同向；当θ＝π时，cosθ＝-1，a与b反向.
知识点二 向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
注意点：
(1)向量a与b的数量积记作a·b，“·”既不能可省略也不可用“×”代替；
(2)零向量与任一向量的数量积等于0，即0·a＝0，但0a＝0；
(3)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三 投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
注意点：
投影是一种变换，而投影向量是经过投影得到的一个向量.
知识点四 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
注意点：
(1)向量a与b都是非零向量；e是与b方向相同的单位向量；
(2)两个非零向量的数量积为0是这两个向量垂直的充要条件；
(3)a·b＝|a||b|，a与b同向，θ＝0，cos θ＝1；a·b＝－|a||b|，a与b反向，θ＝π，cos θ＝－1.
知识点五 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b) ·c＝a·c＋b·c(分配律).
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
解：(1)当a∥b时，
若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×＝10.
反思感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°], 两个向量的夹角条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
跟踪训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.
解：(1)∵与的夹角为60°，∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
题型二 求向量的模
例2 (1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝ ＝5.
|a－b|＝＝＝ ＝5.
(2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案：2
解析：方法一
|a＋2b|＝＝＝＝＝2.
方法二 (数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
反思感悟 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|.
解：由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
题型三 求向量的夹角
例3 (1)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
解：①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解：∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
解：要想(ka－b)⊥(a＋2b)，则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴52k＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
解得k＝，即当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
题型四 与垂直有关的问题
例4 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A.4 B.－4 C. D.－
答案：B
解析：由题意知，＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
反思感悟 解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练4 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
解：设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A.|a|＝ B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a·b)＝λa·b D.|a·b|≤|a||b|
答案：B
解析：因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θe2 B.e＝e C.(e1＋e2)⊥(e1－e2) D.e1·e2＝1
答案：ABC
解析：因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确；e＝e＝1，故B正确；(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误.
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案：B
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
4.|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.－1
答案：D
解析：a在b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
5.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B.－ C.± D.1
答案：A
解析：∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝.
6.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A.0 B.2 C.4 D.8
答案：B
解析：|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.
7.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. [0，] B. [，π] C. [，π] D. [，π]
答案：B
解析：因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，又|a|＝2|b|，4|b|2－8|b|2cos θ≥0，∴cos θ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.
8.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b) ·b＝0，则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案：C
解析：由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.
9.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A.2 B.4 C.6 D.12
答案：C
解析：∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.
10.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A. B.6 C.12 D.18
答案：D
解析：如图，过点O作OD⊥AB于D，
可知AD＝AB＝3，则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.
二、填空题
11.给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.⑤若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b.其中正确结论的序号是________．
答案：④⑤
解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.⑤正确，|a＋b|＝|a－b| (a＋b)2＝(a－b)2 a·b＝0 a⊥b.
12.已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|＝3，则a·b的值为________．
答案：2
解析：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉＝3×＝2.
13.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
答案：0
解析：b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.
14.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.
答案：120°
解析：∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.
15.已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.
答案：－25
解析：由题意知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
三、解答题
16.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，
求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.
解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，
∴|c＋2d|＝.
17.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值.
解：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，
b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
18.已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解：由向量垂直得，即，化简得，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
19.已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
解：(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
20.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围.
(1)证明:因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)解：因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.2.4 向量的数量积 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.4 向量的数量积
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
本节重点：平面向量的数量积的概念、向量的模及夹角的表示.
本节难点：平面向量数量积的运算律的理解及数量积的应用．另外，向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
注意点：
(1)向量的夹角必须是两个非零向量a和b；
(2)向量a，b的夹角记作〈a，b〉；
(3)当θ＝0时，cosθ＝1，a与b同向；当θ＝π时，cosθ＝-1，a与b反向.
知识点二 向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
注意点：
(1)向量a与b的数量积记作a·b，“·”既不能可省略也不可用“×”代替；
(2)零向量与任一向量的数量积等于0，即0·a＝0，但0a＝0；
(3)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三 投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
注意点：
投影是一种变换，而投影向量是经过投影得到的一个向量.
知识点四 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
注意点：
(1)向量a与b都是非零向量；e是与b方向相同的单位向量；
(2)两个非零向量的数量积为0是这两个向量垂直的充要条件；
(3)a·b＝|a||b|，a与b同向，θ＝0，cos θ＝1；a·b＝－|a||b|，a与b反向，θ＝π，cos θ＝－1.
知识点五 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b) ·c＝a·c＋b·c(分配律).
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
反思感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°], 两个向量的夹角条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
跟踪训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.
题型二 求向量的模
例2 (1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
(2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
反思感悟 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|.
题型三 求向量的夹角
例3 (1)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
反思感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
题型四 与垂直有关的问题
例4 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A.4 B.－4 C. D.－
反思感悟 解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练4 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A.|a|＝ B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a·b)＝λa·b D.|a·b|≤|a||b|
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是( )
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θe2 B.e＝e C.(e1＋e2)⊥(e1－e2) D.e1·e2＝1
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
4.|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.－1
5.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B.－ C.± D.1
6.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A.0 B.2 C.4 D.8
7.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. [0，] B. [，π] C. [，π] D. [，π]
8.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b) ·b＝0，则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
9.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A.2 B.4 C.6 D.12
10.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A. B.6 C.12 D.18
二、填空题
11.给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.⑤若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b.其中正确结论的序号是________．
12.已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|＝3，则a·b的值为________．
13.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
14.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.
15.已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.
三、解答题
16.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，
求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.
17.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值.
18.已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
19.已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
20.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.2.4 向量的数量积 1/1
