●知识梳理
1.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=＞0），则sinα=，cosα=，tanα=.
（上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变.）
2.同角三角函数关系式
sin2α+cos2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.
3.诱导公式
α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα.
●点击双基
3、已知，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、（05湖南卷）tan600°的值是（ ）
A． B． C． D．
5.设cosα=t，则tan（π－α）等于（ ）
A. B.－ C.± D.±
6.α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（ ）
A. B.± C.－ D.－
7.角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，则m的值是（ ）
A. B.－ C.－ D.
8、下列各式不正确的是 （ ）
sin（＋180°）=－sinα B．cos（－＋β）=－cos（－β）
C． sin（－－360°）=－sinα D．cos（－－β）=cos（＋β）
9、的值为（ ）
A． B． C． D．
10、的值等于（ ）
A． B． C．
11、对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（ ）
A．一定是锐角 B．0≤＜2π
C．一定是正角 D．是使公式有意义的任意角
12、若则的值是 （ ）
A． B． C． D．
15、已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（ ）
A. B. — C. D. —
16、cos(+α)= —，<α<,sin(-α)值为（ ）
A. B. C. D. —
17、若sin（π＋α）＋sin（－α）=－m,则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）等于 （ ）
A．－m B．－m C．m D．m
18、已知tan=a，则=_____________
19、tan2010°的值为
20、化简：＝______ ___．
21、已知，则= ．
22、求cos（－2640°）+sin1665°的值．
23、若sin（125°－α）= ,则sin（α＋55°）= ．
24、设那么的值为 ．
25、 已知cosα=，且－＜α＜0，求的值.
26、 已知sinβ=，sin（α+β）=1，求sin（2α+β）的值.
27、（1）已知角的终边经过一点，求的值；
（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．
28．已知
29．已知
31、
32.知识类比回顾复习：
正切函数是三角函数的一种，同学们已经学习了正弦函数和余弦函数，同学们应采用类比的方法来学习正切函数的图像和性质 .
一）、思问题
1.结合正弦、余弦、正切函数的定义，你能给出三种函数的关系吗？
2.正切线的画法，你能结合正切线的定义，给出正切值的符号吗？
3. 如何在区间（）上作出正切函数的图像？
二）、梳知识
1.正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角满足：∈R，≠ ，那么角的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值 .根据函数定义，比值 是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作 ，其中∈R， .
2.正切线的定义
在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），过 作x轴的垂线，与角的 相交于T点，则称有向线段AT为角的正切线.
三）、三角函数的图像和性质的对比表：
正弦函数 余弦函数 正切函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
对称中心
二、 活用知识
1、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围
① ②
③ ④
2、与函数图象不相交的一条直线是（ ）.
A． B． C． D．
3、函数的定义域（ ）.
A． B．
C． D．
6、下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．大小关系不确定
7、若,则（ ）.
A． B．
C． D．
8、函数的定义域是（ ）.
A． B．
C． D．
9、函数的周期为（ ）.
A． B． C． D．
10、下列函数不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
11、在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）.
A． B． C． D．
三．举一反三 能力拓展
1、求函数的定义域与值域，并作图象.
2、作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期．
3、求函数的单调区间.
4．关于函数 , 有以下命题
①函数f(x)的周期是；
②函数f(x)的定义域是；
③y=f(x)是奇函数；
④y=f(x)的图象关于点 对称；
⑤y=f(x)的一个单调递增区间为；
其中，正确的是 ．
5.已知角的终边经过点的值.
四 、课后作业学习目的：
1．理解并掌握作余弦函数图象的方法．
2．理解并熟练掌握用五点法作余弦函数简图的方法．
3．理解并掌握用余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．
学习重难点：余弦函数简图的画法
学法指导：类比正弦函数图像和性质，通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像。
教学过程：
一、复习引入：
1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
2. 用五点法作出函数y=sin(x+ 90 0) x∈[0，2π]的图象
二、学习新知:
3.【思考探究】
（1）诱导公式y=sin(x+ 90 0)与y=cosx的关系？
（2）y=cosx, xR与函数y=sin(x+ 90 0) xR的图象相同吗？
（3）将y=sinx的图象向左平移90 0即得y=cosx的图象。
作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
3．也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
4．用余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法
三、讲解范例 ：
例1 作下列函数的简图
(1) y = -- cosx，x ∈ [ 0 ， 2π]，
(2) y = cosx + 1 ，x∈[0，2π]，
(2) y = | cosx | ，x∈[0，2π]，
结论：函数 f ( x + a ) , a f ( x ) , f (a x ) 的关系？
例3解三角不等式cosx >1/2
课堂练习： y=
课时作业：
1、观察余弦函数曲线，写出满足cox＞0,cos≤0的区间。
作出下列函数图象：
1）y=-cosx
2) y=cos|x|
3) y= 2 cosx + 1, x∈[0，2π]，使用说明：1、认真阅读教材内容,理解正、负角和零角以及象限角的的定义、学会表示终边相同的角的集合；
2、仔细研读同步资料中的“例1”、 “例2”、及“例3”。
学习目标：1、通过习题1、9让学生理解正、负角及零角的含义；
2、通过习题2、5、6、7、8让学生理解象限角、坐标轴上角及判断角所在的象限
3、通过习题3、4、9让学生掌握终边相同的角的表示。
学习重点：正角、负角和零角、象限角、坐标轴上的角的定义及终边相同角的表示
学习难点：终边相同角的判断及表示
教学过程：
自主学习
【预习思考】
正角、负角和零角是如何定义的？
根据角的终边位置如何划分角的种类？试说出是什么样的角？
试写出与和角终边相同的角的集合。
二、合作探究
【★★】题型一：终边相同的角的表示
4、已知，试把写成的形式，并求角，使与的终边重合，且满足
【★★】题型二：判断角所在象限
5、已知为第二象限的角，问分别是第几象限的角？
三、课堂检测
【★】6、下列命题中，正确的是 （ ）
A.始边和终边都相同的两个角一定相等 B.是第二象限的角
C.若，则是第一象限的角 D. 相等的两个角终边一定相同
【★】7、若的终边在第一、第三象限的角平分线上，则的终边在______________
【★★】8、已知角的终边与角的终边相同,则在(,)范围内终边与角的终边相同的角是_______.
四、我的收获：
五、我的疑惑：学习目的：1．理解并掌握作正弦函数图象的方法．
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．
3．理解并掌握用正弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法
学习重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．
学习难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点。
学法指导：经历图像画法的过程及方法，通过对图像的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线的准确作法。
学习过程：
一、课前思考：
1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，。
2. 如何画函数图象？一般有那几步？
3.你能从单位圆中看出正弦函数y=sinx的那些性质？
二、讲解新课：
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象，叫做正弦曲线．
[探究总结]
（1）什么是正弦线？怎样得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的精确图像？
（2）如何得到正弦函数y=sinx，x∈R的精确图像？
（3）什么是“五点法”？用它画图有什么好处？
5．五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
6.正弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例3介绍方法。
三、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1) y = -- sinx，x ∈ [ 0 ， 2π]，
(2) y = 1 + sinx，x∈[0，2π]， ，
【规律总结】： f ( x ) , -- f ( x ) , f (-- x ) , f ( x ) + a 的图像关系？
【规律总结】： f (x + a ) , a f ( x ) , f (a x ) 的图像关系？
例3解三角不等式 sinx>1/2
课堂练习： y=
课时作业：
作出下列函数图象：
1）y=2sin2x 2） y = -- 2sinx，x ∈ [0 ， 2π]，
3) y=2+sinx 2） y = sinx—1 [0 ， 2π].
课后思考：
1. y=sin|x| 的图像？
2. y=｜sinx｜ 的图像？
y
x
o
1
-1【学习引导】
一、自主学习
二、方法指导
1.同学们应该对比正弦余弦函数诱导公式熟记正切函数诱导公式.
2.遇到正切函数应该画图，采用数形结合来解题更直观，能使得问题简单化.
3.诱导公式要记熟，符号要记清.
【思考引导】
一．提问题
1. 你认为这些诱导公式怎么记更好？
2. 这些诱导公式有哪些应用？
二．变题目
1．计算下列各值
4.已知,则
5.已知，求
【总结引导】
1. 同学们要借助正切函数图像理解正切函数的性质
2. 填空
【拓展引导】
一、课外作业：P40 7
二、课外思考
已知是第三象限的角,且
(1). 化简 (2). 若,求
(3). 若,求
三、章节复习
6.(1)函数的周期是______
(2) 函数y=|tanx|,,的周期是___________
(3)函数y=-tan(x+)+2的定义域是______________________
(4)函数的最小值为 _______________
函数单调递增区间是 _______________
不求值，比较下列各组值的大小
(1)tan(-_________
（2）tan1519°________tan1493°
(3)tan__________tan
(4)___________
8. 根据正切函数的图象，求适合下列条件的x的集合
(1) 1+tanx0 (2)tanx0
9. 求函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.自学目的：
1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
自学重点：正、余弦函数的性质
自学难点：正、余弦函数性质的理解与应用
学习过程：
一、复习旧知
1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．（请在同一坐标系中作出它们x∈[0，2π]的图象）
4．值域
正弦函数、余弦函数的值域都是
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ 时，取得最大值
②当且仅当x＝ 时，取得最小值
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最大值
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值
5．奇偶性
y＝sinx为 ，y＝cosx为
正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称
6．单调性
正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，
在每一个闭区间 上都是减函数，
余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；在每一个闭区间
上都是减函数.
二、讲解范例：
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝3cosx，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R；
(3)y＝2sin(x－)，x∈R
例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)cos(－)－cos(－)．学习目的：
1理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
学习重点：正弦函数的性质
学习难点：正弦函数性质的理解与应用
学习过程：
一、课前思考：
1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
正弦线 ： 余弦线：
2. 如何用五点法画正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的精确图像？
二、自主学习后总结填写：
(1)定义域：
正弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作：y＝sinx，
(2)值域
因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所
以｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1，也就是说，正弦函数的值域都是
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ 取得最大值1
②当且仅当x＝ 取得最小值－1
(3)周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知：
正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是函数的周期
可知：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是
三、范例学习：
例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值
是什么
(1)y＝sinx；x∈R
(2)y＝sin2x，x∈R
解：
例2求函数y=sin(2x+)的单调区间。
解：
四、课堂练习及作业：
1． 直接写出下列函数的定义域、值域：
1 y= 2 y=
2． 求下列函数的最值：
1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
解：
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值
解：
五．课后思考：
1．方程sin x＝lg x的解的个数是________．
2. 函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是__________．
3. sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．学习目的：
1理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
学习重点：余弦函数的性质
学习难点：余弦函数性质的理解与应用
自学过程：
知识回顾：
正弦函数、余弦函数二者图像间的关系？
如何用“五点法”画余弦函数图像？五个特殊点？
二、讲解新课：
(1)定义域：
余弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
记作：y＝cosx，
(2)值域
因为余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所
以｜cosx｜≤1，即－1≤cosx≤1。 也就是说，余弦函数的值域是
①当且仅当x＝ ，取得最大值1
②当且仅当x＝ ，取得最小值－1
三、讲解范例：
例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值
是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝cos2x，x∈R
例2求函数y=cos(2x+)的单调区间。
解：
四、课堂练习：
1． 直接写出下列函数的定义域、值域：
1 y= 2 y=
2． 求下列函数的最值：
1 y=cos(3x+)-1 2 y=cos2x-4cosx+5 3 y=
解：
3．函数y=acosx+b的最大值为2, 最小值为-4，求a,b的值
解：
4．求函数y=的定义域：
函数y＝sin x和y＝cos x都递增的区间是________．
．
若函数f(n)＝sin(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值一、导学目标 1．理解并掌握作正切函数图象的方法；
2．掌握正切函数的性质及其应用；
3．能用正切函数的图象解最简三角不等式．
二、自学----正切线 （画出下列各角的正切线）：
（你能作出上面四个角的正弦线和余弦线吗？）
三．正切函数的图象
问题与思考： 正弦曲线是怎样画的？你能画出正切函数的图象了吗？
1．与正弦曲线一样通过正切线作，的图象：
2．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”．
四．正切函数图象的猜想
根据正切函数的性质猜想正切函数的图象
猜想一、 正切函数的定义域： ），∴它的图象是由被互相平行的直线所隔开的无数多支曲线组成．
猜想二、 正切函数的周期性： ，∴的周期是 ，∴它的图象可由的图像向右、向左连续地平行移动（每次移动个单位长度）得到.
猜想三、 正切函数的奇偶性： ，∴是 函数，∴的图象应关于 对称．
猜想四、 正切函数的单调性：由正切线的变化规律可以得出，正切函数在内是 函数，所以正切函数在每个周期内的图象均呈上升趋势．
猜想五、 正切函数的值域：由正切线的变化规律可以得出，正切函数 （有，无）最大值，所以正切函数的值域是实数集．从而，正切函数每个周期内的图象均向上、向下无限延伸．
五．总结------.正切函数的性质
函 数
定义域
值 域
奇偶性
周期性
单调性
六．知识应用-------我也能行
1．函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为 ( )
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
2．函数的定义域是 （ ）
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
3． tan1、tan2、tan3的大小关系是 ．
七、精点精评
例1 利用正切函数的单调性比较下列各组数中两个正切值的大小：
（1）与；（2）
例2 求函数的定义域、周期和单调区间.
例3 你能用图象求函数的定义域吗？
八、课后练习
1．函数图象的对称中心是
2．函数的最小正周期为 （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
4．关于函数 , 有以下命题
①函数f(x)的周期是；
②函数f(x)的定义域是；
③y=f(x)是奇函数；
④y=f(x)的图象关于点 对称；
⑤y=f(x)的一个单调递增区间为；
其中，正确的是 ．
5．作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期．
的终边
（Ⅰ）
（Ⅱ）
的终边
的终边
（Ⅲ）
的终边
（Ⅳ）
x
y
0使用说明：1、认真阅读教材内容,理解弧度的定义掌握相关公式
2、仔细研读同步资料中的 “重点突破”及“例题”。
学习目标：1、通过习题1、2、4、6让学生熟练弧度与角度间的换算；
2、通过习题3、5、8让学生掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；
3、通过习题7、9让学生掌握弧度表示角及角的集合及与弧度有关的综合问题。
【预习检测】
【★】1、化为弧度是 （ ）
A. B. C. D.
【★】2、rad化为角度是 ( )
A. B. C. D.
【★★】3、半径为2的扇形中，圆心角为，则其弧长为______________；扇形面积为________.
二、合作探究
【★★】题型一：弧度制的表示
4、（1）把写成的形式，其中
（2）若角是第三象限的角，请用弧度表示、、的终边所在的集合。
【★】题型二：公式应用
5、扇形的中心角为，求此扇形的面积与其内切圆的面积之比。
（提示：找出扇形半径与其内切圆半径之间的关系）
四、我的收获：
五、我的疑惑：
解:设该扇形的半径为,弧长为,则,,
于是:,这是一个二次函数,
且图象是开口向下抛物线,当时,有最大值,
此时,.
