2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）（含解析）

2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）
【考试时间：120分钟】【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.2
3.在中，点D在边AB上，CD平分.若，则( )
A. B. C. D.
4.若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为( ).
A. B. C. D.14
5.我国古代有着辉煌的数学研究成果《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上有( )
A.最小值 B.最大值
C.最大值 D.最小值
8.已知三棱锥的外接球半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，正方体的棱长为1，P，Q分别是线段和上的动点，且满足，则下列说法错误的是( )
A.存在P，Q的某一位置，使
B.的面积为定值
C.当时，直线与AQ是异面直线
D.无论P，Q运动到任何位置，均有
10.已知函数，则( )
A.在上单调递增
B.有两个零点
C.曲线在点处切线的斜率为
D.是偶函数
11.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.与之间的距离为4
12.已知函数满足，当且时，都有，且对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值可以是( ).
A.-1 B.1 C.0 D.2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的系数为______（用数字作答）.
14.若直线与圆相切，则_____.
15.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________.
16.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求与；
(2)记，求数列的前n项和.
18.记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
19.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
20.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在内，为成绩优秀.
成绩
人数 5 10 15 25 20 20 5
(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
优秀 非优秀 合计
男 10
女 35
合计
(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且p的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率)，中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.
参考公式：，.
附表：
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
21.在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C上.
(1)求线段中点的坐标;
(2)若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足，求的值.
22.已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为集合，，所以.故选D.
2.答案：B
解析：解法一：由已知得，，即，.
解法二：由已知得，，.
3.答案：B
解析：平分..
4.答案：C
解析：.故选C.
5.答案：A
解析：从10部专著中选择2部的所有可能情况有(种).
设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为.由古典概型概率公式可得.故选A.
6.答案：D
解析：因为，函数在区间上的最小值为-3，
所以时，，所以，解得，
时，，所以，解得，
所以的取值范围是.故选D.
7.答案：D
解析：设，且，令，则，.
因为当时，，所以，
所以，即.
所以函数在R上是减函数，所以在上有最小值.
8.答案：D
解析：如图，设外接圆的半径为r，已知外接圆的面积为，故，所以，当为正三角形（的面积最大），且P，O（球心），（外接圆圆心）三点共线时，三棱锥的体积最大.在中，由正弦定理知，所以，所以.设三棱锥的外接球半径为R，因为，所以.在中，由，得，，所以该球的体积为，故选D.
9.答案：B
解析：对于A，当P，Q分别是与的中点时，，所以A正确；对于B，当P在A处，Q在处时，的面积为，当P，Q分别是与的中点时，的面积为，故B错误；对于C，当时，若直线与AQ是共面直线，则AP与共面，与已知矛盾，故C正确；对于D，由于BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影，所以易知，故D正确.故选B.
10.答案：AC
解析：由知函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，D错误；，当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确；当时，，，当时，单调递增，且，所以只有一个零点0，故B错误；由知C正确，故选AC.
11.答案：ABC
解析：根据题意知，轴，所以，又P在抛物线上，所以，
根据抛物线的光学性质知，PQ过焦点F，又易知，所以，故B正确；
因为，所以直线PQ的方程为，与联立，消去x得，
所以，，所以，故A正确；
，故C正确；
与之间的距离为，故D错误.
故选ABC.
12.答案：AC
解析：由题意得函数为偶函数，且在上单调递增，由对任意的，不等式恒成立，得不等式，恒成立，
则，恒成立，得，即，恒成立，又当时，有，，所以且，恒成立，即当时，且，可得.故选AC.
13.答案：-800
解析：由题意知，在的展开式中取第4项，即，
的展开式中取第2项，即，
故的系数为.故答案为-800.
14.答案：
解析：由题意得：的圆心为，
故.故答案为.
15.答案：
解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率，
整理得，，则，所以l的方程为，即.
16.答案：
解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.
设，，直线BC的方程为.
联立，得，
所以，.
因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，
所以，
即，
所以，
解得或.
当时，不符合题意，舍去，
所以，所以直线BC恒过定点.
17.答案：(1)；.
(2).
解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知，
即，得.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
20.答案：(1)表格见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
(2)分布列见解析，数学期望为2.5.
解析：(1)补全2×2列联表如表所示.
优秀 非优秀 合计
男 10 40 50
女 15 35 50
合计 25 75 100
因为，
因此没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
(2)由题可知，X的所有可能取值为0，5，10，
且，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
则X的数学期望.
21.答案：(1)
(2)
解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用.
(1)依题意，双曲线C的离心率，则， 故双曲线C的方程为.
联立得，且.
设，则.
设线段的中点为，故，
将代入直线，得，
故线段的中点坐标为.
(2)依题意，，则双曲线C的方程为.
直线，又点在双曲线C上，
所以，故直线的方程为.
由题可知，点均不重合，由易知为的外心，设，则，即，即.
线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为.
联立得
联立解得，同理.
故，
故解得
代入方程，得，
即，则.
22.答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知函数的定义域为.
由，
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，所以，解得，
所以a的取值范围为.
（2）解法一：不妨设，则由（1）知，.
令，
则.
令，
则，
所以当时，，
所以当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，所以，
即在上.
又，所以，即.
由（1）可知，函数在上单调递增，
所以，即.
解法二（同构构造函数化解等式）不妨设，则由（1）知，.
由，得，
即.
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又，
所以在上单调递减，
所以，即.