2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）（含解析）

2023届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅱ卷）
【考试时间：120分钟】【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，已知，则等于( )
A.38 B.39 C.41 D.42
4.已知向量a，b均为非零向量，且，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
5.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅衣发展.某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑倶乐部”“篮球之家”“围棋苑”4个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法种数为( ).
A.72 B.108 C.180 D.216
6.设，，则的值为( )
A.1 B. C. D.0
7.已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为( ).
A. B. C. D.
8.已知函数对任意，都有，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数的图象如图所示，则关于函数，下列结论中正确的是( ).
A.
B.
C.图象的对称轴为直线
D.图象的对称中心为
10.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为
B.
C.的面积为
D.
11.如图，在正五棱柱中，为的中点，分别为上两动点，且，则( )
A.
B.三棱锥的体积随点M的位置的变化而变化
C.当N为的中点时，平面
D.直线与平面所成角的正切值最大为
12.若，则下列选项中成立的是( )
A.
B.若，则
C.的最小值为1
D.若，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设随机变量，若，则______.
14.已知曲线在处的切线方程为，则___________.
15.设，直线与直线相交于点P，点Q是圆上的一个动点，则的最小值为__________.
16.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列的前n项的和为.
(I)求出数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前n项的和为，求出数列的前n项和.
18.在中，内角的对边分别为.已知.
(1)若，求的面积;
(2)若外接圆半径，求的取值范围.
19.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，.
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
1年 2年 3年 4年 总计
甲款 5 20 15 10 50
乙款 15 20 10 5 50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算
参考公式：相关系数，
对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
20.如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.
(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值.
21.已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积.
(2)若(O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问:是否为定值 若是，求出该定值;若不是，请说明理由.
22.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得集合，则，所以，故选B.
2.答案：A
解析：由得，所以，故选A.
3.答案：D
解析：设等差数列的公差为，由，得，得.故选D.
4.答案：B
解析：解法一 因为，所以，即，化简得，设a与b的夹角为，则，因为，所以，又，所以，故选B.
解法二 由向量减法的三角形法则及知，，，构成等边三角形的三条边长，所以向量a与b的夹角为，故选B.
5.答案：C
解析：根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则有3种情况.再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有种情况；若甲是单独1个人参加一个社团，则有种情况.则除甲外的4人有种参加方法.故不同的参加方法种数为.故选C.
6.答案：C
解析：由题意可得，，.
7.答案：C
解析：如图所示，连接AC，BD交于点O，取AD的中点E，连接SE，OE，
因为且，所以，又由平面平面ABCD，可得平面ABCD，所以，则，又，可得外接球的球心为O，半径，所以四棱雉的外接球的表面积.故选C.
8.答案：D
解析：由题意，对任意，都有，故函数在R上单调递减.设.由反比例函数的性质可得在上单调递减，满足条件，因此保证二次函数在上单调递减，且即可，所以解得.
9.答案：ABD
解析：对于A，由，得，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，，，所以解得，故，令，解得，即图象的对称轴为直线，故C错误；对于D，令，解得，即图象的对称中心为，故D正确.故选ABD.
10.答案：AD
解析：本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系.点在抛物线上，，，焦点F为，准线为直线，A正确.，，故直线MF的方程为.联立或，，，，，，B错误.，D正确.的面积为，C错误.故选AD.
快解 由上解析知抛物线，直线MN的斜率为，设直线MN的倾斜角为，则，.所以，，，所以.
11.答案：ACD
解析：因为F为的中点，所以结合正五边形的对称性可知，.由正棱柱的性质易知.又因为，所以平面.因为平面，所以，故A正确.易知的面积为定值，点E到平面的距离为定值.因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为定值，故B错误.当N为的中点时，.因为，所以.因为，所以，则.由选项A的解答易知.又因为，所以平面，故C正确.由题图可知，当点M与点C重合时，直线与平面所成的角最大，且最大角为，所以，故D正确.选ACD.
12.答案：AB
解析：对于A，因为，所以当时，
，
当且仅当，即时取等号.当时，.故A正确.
对于B，，当且仅当时取等号，故.故B正确.
对于C，，
当且仅当，即时取等号.
显然a的值不存在.故C错误.
对于D，
，
当且仅当且，即时取等号.故D错误.故选AB.
13.答案：0.68
解析：由正态分布的性质可知，所以.
14.答案：
解析：根据题意得， ，所以，解得，故.
15.答案：
解析：由题意得：，，
恒过定点，恒过定点，又，
点轨迹是以MN为直径的圆，即为圆心，为半径的圆，
点轨迹为，
圆与圆C的圆心距，
两圆相离，的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即.
故答案为：.
16.答案：13
解析：如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.
17.答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析：(Ⅰ)，①
当时，.
当时，，②
①-②得，
则，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，
数列的通项公式为.
(Ⅱ)当时，，
当时，，故，
∴数列的通项公式为.
令，
，
则.
又，
.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，
即，所以，
因为B是三角形内角，所以，得.
由，及正弦定理得，又，整理得，
因为，所以，即.
又，所以边上的高为，
所以.
(2)由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
则，所以，
所以.
故的取值范围为.
19.答案：（1）
(2)
(3) 甲款
解析：（1）由题意知相关系数，
因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2），
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为：
X -50 0 50 100
P 0.1 0.4 0.3 0.2
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：
Y -30 20 70 120
P 0.3 0.4 0.2 0.1
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
20.答案：(1)存在，.
(2)余弦值为.
解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求.
证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，
又平面MNC，平面MNC，
所以直线平面MNC.
因为，所以.
所以.
(2)连接AC.
由(1)知.
又平面ABCD，所以平面ABCD.
因为，四边形ABCD是菱形，
所以为正三角形，所以.
以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
又，所以，
所以点，
则.
设平面的法向量，
则即
令，得.
设平面的法向量，
则即
令，得，
所以，
由图易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21.答案：(1)
(2)是；
解析：本题考查双曲线的定义及方程、直线与双曲线的位置关系.
(1)依题意可知，，则，
，
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.
(2)由(1)可解得.
所以双曲线C的方程为.
设，则，则，.
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以.
则，故为定值.
22.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.
2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，
，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增.
，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.