2023届高三开学摸底考试文科数学试卷（全国卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023届高三开学摸底考试文科数学试卷（全国卷）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 829.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-04 12:12:00 | ||
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文档简介
2023届高三开学摸底考试文科数学试卷（全国卷）
【考试时间：120分钟】【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.i
3.已知向量，且，则( )
A.9 B.3 C. D.
4.在一个歌唱比赛中，12名专业歌手和12名普通听众组成了A，B两个评委小组对同一名选手的打分，如下图所示，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A.A组成绩的中位数大于B组成绩的中位数
B.A组成绩平均分大于B组成绩的平均分
C.A组成绩极差大于B组成绩的极差
D.A组成绩标准差小于B组成绩的标准差
5.若实数x，y满足，则的最大值为( )
A.8 B.7 C.2 D.1
6.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
8.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
9.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A.平面EFG，且四边形EFGH是矩形
B.平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
10.若数列的前n项和，则数列的通项公式( ).
A. B. C. D.
11.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点是 D.在上单调递增
12.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.记为等差数列的前n项和.若，则公差_______.
14.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为____________.
15.若直线与圆相离，则m的取值范围是__________.
16.已知定义在R上的奇函数，对于都有，且满足，，则实数m的取值范围为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.
18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是正三角形，，E是PA的中点.
(1)证明：.
(2)求三棱锥的体积.
19.近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016~2020年中国宠物市场规模y(单位:千亿元)，其中2016~2020年对应的年份代码x依次为1~5.
年份代码x 1 2 3 4 5
宠物市场规模y/千亿元 1.22 1.34 1.78 2.21 2.95
(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模.
参考数据：.
参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
20.已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
21.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.
23.[选修4 – 5：不等式选讲]
已知函数.
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若恒成立，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，
则.故选B.
2.答案：D
解析：由，得，所以，故选D.
3.答案：C
解析：，解得，则.故选C.
4.答案：D
解析：根据茎叶图数据知，A组成绩的中位数小于B组成绩的中位数，故选项A错误；
因为A组成绩主要集中在40-50分，而B组成绩集中在40-70分，所以A组成绩平均分比B组成绩的平均分低，故选项B错误；
A组成绩的极差为19，B组成绩的极差为39，故选项C错误；
因为A组成绩主要集中在40-50分，而B组成绩集中在40-70分，所以A组成绩标准差小于B组成绩的标准差，故选项D正确，故选D.
5.答案：B
解析：由约束条件作出可行域，如图：
联立解得，由，得，z为直线的纵截距，由图可知，当直线过点时，直线的纵截距z最大，且.故选：B.
6.答案：B
解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.
解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.
7.答案：D
解析：当输入的时，
，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，，输出.
故选：D.
8.答案：A
解析：第一步：根据定义判断函数的奇偶性由题意得的定义域为R，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D.
第二步：根据某一点处函数值的大小排除其他选项又，排除选项C，故选A.
9.答案：B
解析：如图所示，在平面ABD内，，.又平面BCD，平面BCD，平面BCD.又在平面BCD内，，G分别是BC，CD的中点，..又，，.在四边形EFGH中，且，四边形EFGH为梯形.故选B.
10.答案：B
解析：，当时，，解得；
当时，，即.
数列是等比数列，首项与公比都为-2，则，故选B.
11.答案：B
解析：本题考查余弦型函数的周期性、对称性、零点和单调性.由可知的最小正周期选项A错误；因为所以的图像关于直线对称，选项B正确，选项C错误；因为的最小正周期为所以在上不可能是单调的，选项D错误.故选B.
12.答案：D
解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以.因为，所以，所以.取AC的中点D，连接BD，PD，易证平面BDP，所以，又，AC， 平面PAC，所以平面PAC，所以，.因为，为正三角形，所以，即PA，PB，PC两两垂直.将三棱锥放在正方体中如图所示.因为，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥的外接球的半径，所以球O的体积，故选D.
13.答案：2
解析：因为，所以，化简得，得.
14.答案：
解析：从五张卡片中任取两张的所有样本点有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中，两张卡片上的数字和为偶数的样本点有，，，，共4种情况，
故两张卡片上的数字和为偶数的概率.
15.答案：或
解析：设圆心到直线的距离为d，则，
圆的半径，
因为直线与圆相离，所以，
即，所以，解得或，
故答案为：或.
16.答案：
解析：，，是周期函数，且周期，，，，，即且，解得或，实数m的取值范围为.
17.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，所以，.
（Ⅱ）因为的面积，
所以.
由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以平面PCD，则.
(2)由(1)知，平面平面ABCD，
且平面平面，
因为是正三角形，取CD中点O，
连接PO，
则平面ABCD，因为，所以，
因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离.
所以.
19.答案：(1)因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)；2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元
解析：(1)由题意得，，
，
.
因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)由(1)得，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
2022年对应的年份代码为7，代入，得，
所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元.
20.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.
21.答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
22.答案：(1)曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为.
(2)坐标为.
解析：(1)由，得.
将代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
由(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为.
(2)设曲线C的参数方程为(为参数)，
点P的坐标为，
则点P到直线l的距离.
又直线l与C相交于A，B两点，为定值，
所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，
所以当面积最大时点P的坐标为.
23.答案：(I)或
(Ⅱ)
解析：(I)当时，
等价于或或
解得或，
∴不等式的解集为或.
(Ⅱ)易知，
∴若恒成立，
则，即，
或，
解得，
的取值范围为.
【考试时间：120分钟】【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.i
3.已知向量，且，则( )
A.9 B.3 C. D.
4.在一个歌唱比赛中，12名专业歌手和12名普通听众组成了A，B两个评委小组对同一名选手的打分，如下图所示，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A.A组成绩的中位数大于B组成绩的中位数
B.A组成绩平均分大于B组成绩的平均分
C.A组成绩极差大于B组成绩的极差
D.A组成绩标准差小于B组成绩的标准差
5.若实数x，y满足，则的最大值为( )
A.8 B.7 C.2 D.1
6.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
8.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
9.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A.平面EFG，且四边形EFGH是矩形
B.平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
10.若数列的前n项和，则数列的通项公式( ).
A. B. C. D.
11.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点是 D.在上单调递增
12.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.记为等差数列的前n项和.若，则公差_______.
14.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为____________.
15.若直线与圆相离，则m的取值范围是__________.
16.已知定义在R上的奇函数，对于都有，且满足，，则实数m的取值范围为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.在中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.
18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，是正三角形，，E是PA的中点.
(1)证明：.
(2)求三棱锥的体积.
19.近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016~2020年中国宠物市场规模y(单位:千亿元)，其中2016~2020年对应的年份代码x依次为1~5.
年份代码x 1 2 3 4 5
宠物市场规模y/千亿元 1.22 1.34 1.78 2.21 2.95
(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模.
参考数据：.
参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
20.已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程;
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
21.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.
23.[选修4 – 5：不等式选讲]
已知函数.
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若恒成立，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，
则.故选B.
2.答案：D
解析：由，得，所以，故选D.
3.答案：C
解析：，解得，则.故选C.
4.答案：D
解析：根据茎叶图数据知，A组成绩的中位数小于B组成绩的中位数，故选项A错误；
因为A组成绩主要集中在40-50分，而B组成绩集中在40-70分，所以A组成绩平均分比B组成绩的平均分低，故选项B错误；
A组成绩的极差为19，B组成绩的极差为39，故选项C错误；
因为A组成绩主要集中在40-50分，而B组成绩集中在40-70分，所以A组成绩标准差小于B组成绩的标准差，故选项D正确，故选D.
5.答案：B
解析：由约束条件作出可行域，如图：
联立解得，由，得，z为直线的纵截距，由图可知，当直线过点时，直线的纵截距z最大，且.故选：B.
6.答案：B
解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.
解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.
7.答案：D
解析：当输入的时，
，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，，输出.
故选：D.
8.答案：A
解析：第一步：根据定义判断函数的奇偶性由题意得的定义域为R，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D.
第二步：根据某一点处函数值的大小排除其他选项又，排除选项C，故选A.
9.答案：B
解析：如图所示，在平面ABD内，，.又平面BCD，平面BCD，平面BCD.又在平面BCD内，，G分别是BC，CD的中点，..又，，.在四边形EFGH中，且，四边形EFGH为梯形.故选B.
10.答案：B
解析：，当时，，解得；
当时，，即.
数列是等比数列，首项与公比都为-2，则，故选B.
11.答案：B
解析：本题考查余弦型函数的周期性、对称性、零点和单调性.由可知的最小正周期选项A错误；因为所以的图像关于直线对称，选项B正确，选项C错误；因为的最小正周期为所以在上不可能是单调的，选项D错误.故选B.
12.答案：D
解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以.因为，所以，所以.取AC的中点D，连接BD，PD，易证平面BDP，所以，又，AC， 平面PAC，所以平面PAC，所以，.因为，为正三角形，所以，即PA，PB，PC两两垂直.将三棱锥放在正方体中如图所示.因为，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥的外接球的半径，所以球O的体积，故选D.
13.答案：2
解析：因为，所以，化简得，得.
14.答案：
解析：从五张卡片中任取两张的所有样本点有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中，两张卡片上的数字和为偶数的样本点有，，，，共4种情况，
故两张卡片上的数字和为偶数的概率.
15.答案：或
解析：设圆心到直线的距离为d，则，
圆的半径，
因为直线与圆相离，所以，
即，所以，解得或，
故答案为：或.
16.答案：
解析：，，是周期函数，且周期，，，，，即且，解得或，实数m的取值范围为.
17.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，所以，.
（Ⅱ）因为的面积，
所以.
由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以平面PCD，则.
(2)由(1)知，平面平面ABCD，
且平面平面，
因为是正三角形，取CD中点O，
连接PO，
则平面ABCD，因为，所以，
因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离.
所以.
19.答案：(1)因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)；2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元
解析：(1)由题意得，，
，
.
因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)由(1)得，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
2022年对应的年份代码为7，代入，得，
所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元.
20.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.
21.答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
22.答案：(1)曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为.
(2)坐标为.
解析：(1)由，得.
将代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
由(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为.
(2)设曲线C的参数方程为(为参数)，
点P的坐标为，
则点P到直线l的距离.
又直线l与C相交于A，B两点，为定值，
所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，
所以当面积最大时点P的坐标为.
23.答案：(I)或
(Ⅱ)
解析：(I)当时，
等价于或或
解得或，
∴不等式的解集为或.
(Ⅱ)易知，
∴若恒成立，
则，即，
或，
解得，
的取值范围为.
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