等差数列及前n项和题型归纳
题型一：等差数列及前n项和基本量运算（五个量知三求其二）
知识储备：1.等差通项公式：，
2.前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；
方向1：等差通项公式基本量运算
例题1：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
（1）由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.
变式一：在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.
答案：30 ∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.
变式二：等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
答案：C， 解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.
方向2：等差数列及前n项和基本量综合运算
例题2：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
答案 A 【解析】 S8＝＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.
变式一：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案15 【解析】 设等差数列的公差为d，
则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由解得故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
变式二：记为等差数列的前项和，已知，．求的通项公式；
解析：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
变式三：中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ）
A．71 B．72 C．89 D．90
答案C。解析：设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为，
则由题可知数列是公差为-1的等差数列，且，
则，解得.故选：C.
变式四：为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
答案B。解析：根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，
则，故，，故，
则.故选：B.
题型二：等差数列的判定与证明
知识储备：1，定义法：(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
2，等差中项法：
3，通项公式法：(n≥1，n∈N*)
方向1：定义(n≥1，n∈N*)的应用
例一：在数列中，，，则的值为__________.
答案52。解析：由题意，数列满足，即，又由，所以数列首项为2，公差为的等差数列，所以．
方向2：等差中项法：的应用
例二：在数列中，，，，求
答案：14，解析：为等差数列，，
方向3：通项公式法：(n≥1，n∈N*)的应用
例三：数列的通项公式是．
（1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？
解：（1），则，，所以，数列是等差数列，且公差为；
（2）令，即，解得；
令，即，解得.所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.
变式一：已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）.
A．以3为首项，3为公差的等差数列 B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列 D．以6为首项，6为公差的等差数列
答案D。解析：因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.
变式二：已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．（d为常数） B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．是与的等差中项
答案：ABD.解析：A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD
变式三：设数列满足当n＞1时，an＝，且a1＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)a1a2是否是数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，
即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.
又，解得n＝11.所以a1a2是数列中的项，是第11项．
变式四：已知数列，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
解：(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列的通项公式．
解析：(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2.∴数列的通项公式为an＝＋2.
【拓展2】．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列是否是等差数列．
解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列不是等差数列．
变式五：已知数列满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
解：(1)∵－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．
(2) 由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋， ∴an－1＝，∴an＝(n∈N*)．
变式六：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等差数列？并求其前n项和.
解：（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，解得，所以；
（2）由（1）得，则，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
题型三：等差数列性质及应用
知识储备：1.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且
（1）当时,则有，特别地，当时，则有.
（2）设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列
2.数列是等差数列，则为等差数列.
3.若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
4.数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5.等差数列的前n项和的最值
数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
方向1.设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列.
例1：设数列，都是等差数列，且，，，则等于（ ）
A．0 B．37 C．100 D．
答案:C,解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，
因为，，，所以数列的公差为0，首项为100，
所以，所以，故选：C
方向2：①当时,则有，特别地，当时，则有
例2：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
解析：由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.
变式1：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝ 。
答案：33。解析：在等差数列{an}中，因为a1＋a5＝2a3，a8＋a10＝2a9，所以2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，a3＋a9＝6＝a1＋a11，所以S11＝＝＝33.
变式2．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
，求数列{an}的通项公式an；
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3
∴∴∴an＝4n－3，n∈N＋.
方向3：数列是等差数列，则为等差数列.
例3：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝________.
答案：0，解析：设公差为d，则＝a1＋d，
∵－＝2，∴d－d＝2，∴d＝2，∵a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋×2＝0.
变式一：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
解析：由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
变式二：已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________.
（3） 在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
变式三：等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
答案B。解析：因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，所以，
即 ，解得=18，故选：B.
变式四：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
答案：144。解析：设等差数列的公差为d，则，解得，
.
变式五：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解析：（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，解得，所以；
（2）由（1）得，则，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
方向4：若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
例4．已知表示等差数列的前n项和，且，那么等于( )
A. B. C. D.[
答案：A。解析：是等差数列，成等差数列，又，，成公差为的等差数列，同理可得，
变式一：已知等差数列{an}的前n项和为n.若，，则＝________.
解析：在等差数列中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
变式二：等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
答案B。解析：因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，所以，
即 ，解得=18，故选：B.
变式三：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
答案：144。解析：设等差数列的公差为d，则，解得，
.
方向5：数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
例5.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：A。解析：依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.故选A.
变式一：设等差数列的前n项和为,,则等于( )
A．10 B．12 C．15 D．30
答案：C。解析：因为等差数列{an}中,,所以.故选C.
变式二：已知数列为等差数列且，则其前9项和=___________.
答案：18。解析：因为数列为等差数列，所以.
变式三：设是等差数列的前项和，若，则=__________.
答案：。解析由等差数列的前项和公式可得：.
变式四：（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：AC，解析：，，
，则．故选：AC.
变式五：在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．44 B． C．66 D．
答案：D。解析：因为，是方程的两个根，所以，
而，所以，则,故选：.
变式六：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
解析：在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.
变式七：设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A。解析：由等差数列的性质可得，所以；
因为，所以．
由等差数列的前项和公式可得，，所以．故选：A
变式八：等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D。解析：和为等差数列，故,故选：D.
变式九：已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________．
答案：。解：由，设，，
则，
，.故答案为：
题型四：等差数列的单调性及前n项和的最值问题
知识储备：1.等差数列的通向公式与函数的关系
()可看做是关于的一次型函数，设．
当时单调递增，当时单调递增
2等差数列的前n项和公式与函数的关系
.数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
方向1：等差数列的单调性.
例1：等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是__________．
答案：解析∵等差数列从第项开始为负数，即，∴，解得．
变式一：（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：ABC。
解析：由题知，只需，，A正确；，B正确；
，C正确；
，所以，D错误.
变式二：首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；②满足的的最小值是15.
试求公差和首项的值.
解析：，，
由，即，
∵满足的的最小值是15，，，
又.
变式三：已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.
答案：。解析：在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，
所以有.
方向2：等差数列前n项和的最值问题
例1：已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
答案；A。解析：由数列为等差数列，且，得，
故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.
变式一：（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
答案：ABD。解析：因为，故，所以，
因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.
又，，故C错误，D正确.故选：ABD.
变式二：等差数列的前项和为，且，，当 ______时，最大.
答案：6或7。解：因为，所以，化简得，
所以，因为，所以，
所以，
它的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，故答案为：6或7
变式三：.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
答案：8。解析：根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大．
变式四：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，则S9的取值范围是__________。
解析：方法一：S9＝9a1＋36d，
又依据线性规划知识，得－3＜S9＜21。
方法二：S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6。
因为－3＜3a3＜3,0＜6a6＜18，两式相加即得－3＜S9＜21。
方法三：由题意可知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3，a6＋a7＋a8＋a9＝2a6＋2a9，
而a3＋a9＝2a6，所以S9＝3a3＋6a6，又－1＜a3＜1,0＜a6＜3，故－3＜S9＜21。答案：(－3,21)
变式五：在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
【答案】49
【解析】设{an}的公差为d.
法一：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，
解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
由得解得6.5≤n≤7.5.因为n∈N*，
所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝＝49.
法二：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
所以Sn＝＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
所以当n＝7时，数列{an}的前n项和Sn最大，最大值为S7＝49.
巩固练习
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：C。解析：(1)法一 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大.
法二 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.
2．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是( )
A．2 017 B．2 018
C．4 034 D．4 035
答案；C解析：因为a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，所以d＜0，a2 017＞0，a2 018＜0，
所以S4 034＝＝＞0，
S4 035＝＝4 035a2 018＜0，
所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 034.
3．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C。解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，
因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．
4.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
答案：130。解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为________．
解析：根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7.
6．（2021·安徽六安市高二期末）设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．
答案：3或4。解析：由，可得，因为，所以，
所以，所以．因为，所以是递增数列，所以，显然前3项和或前4项和最小．
7．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
答案：。解析：设等差数列的公差为，由，解得，.
所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
8．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
9．设等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）求取得最小值时，求的值．
解：（1）法一：设的公差为，
由题，，解得，∴．
法二：由题，，∴，于是．
（2）法一：，当或时，取得最小值．
法二：，∴，
故当或时，取得最小值．等差数列及前n项和题型归纳
题型一：等差数列及前n项和基本量运算（五个量知三求其二）
知识储备：1.等差通项公式：，
2.前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；
方向1：等差通项公式基本量运算
例题1：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
变式一：在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.
变式二：等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )
A．20 B．22 C．24 D．－8
方向2：等差数列及前n项和基本量综合运算
例题2：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
变式二：记为等差数列的前项和，已知，．求的通项公式；
变式三：中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ）
A．71 B．72 C．89 D．90
变式四：为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
题型二：等差数列的判定与证明
知识储备：1，定义法：(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
2，等差中项法：
3，通项公式法：(n≥1，n∈N*)
方向1：定义(n≥1，n∈N*)的应用
例1：在数列中，，，则的值为__________.
方向2：等差中项法：的应用
例2：在数列中，，，，求
方向3：通项公式法：(n≥1，n∈N*)的应用
例3：数列的通项公式是．
（1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？
变式一：已知数列是等差数列，且.若，则数列是（ ）.
A．以3为首项，3为公差的等差数列 B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列 D．以6为首项，6为公差的等差数列
变式二：已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．（d为常数） B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．是与的等差中项
变式三：设数列满足当n＞1时，an＝，且a1＝.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)a1a2是否是数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
变式四：已知数列，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列的通项公式．
【拓展2】．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列是否是等差数列．
变式五：已知数列满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
变式六：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等差数列？并求其前n项和.
题型三：等差数列性质及应用
知识储备：1.等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且
（1）当时,则有，特别地，当时，则有.
（2）设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列
2.数列是等差数列，则为等差数列.
3.若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
4.数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5.等差数列的前n项和的最值
数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
方向1.设数列，都是等差数列，所以数列，是等差数列.
例1：设数列，都是等差数列，且，，，则等于（ ）
A．0 B．37 C．100 D．
方向2：①当时,则有，特别地，当时，则有
例2：等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
变式1：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝ 。
变式2．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
，求数列{an}的通项公式an；
方向3：数列是等差数列，则为等差数列.
例3：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝________.
变式一：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
变式二：已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝________.
变式三：等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
变式四：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
变式五：设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
方向4：若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
例4．已知表示等差数列的前n项和，且，那么等于( )
A. B. C. D.[
变式一：已知等差数列{an}的前n项和为n.若，，则＝________.
变式二：等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
变式三：在等差数列中，为其前项的和，若，，则________.
方向5：.数列是等差数列,则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
例5.已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则( )
A．2 B．3 C．4 D．5
变式一：设等差数列的前n项和为,,则等于( )
A．10 B．12 C．15 D．30
变式二：已知数列为等差数列且，则其前9项和=___________.
变式三：设是等差数列的前项和，若，则=__________.
变式四：（多选题）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式五：在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（ ）
A．44 B． C．66 D．
变式六：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
变式七：设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式八：等差数列和的前项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式九：已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________．
题型四：等差数列的单调性及前n项和的最值问题
知识储备：1.等差数列的通向公式与函数的关系
()可看做是关于的一次型函数，设．
当时单调递增，当时单调递增
2等差数列的前n项和公式与函数的关系
.数列{an}是等差数列，设(A，B为常数)且常数项为0．
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
方向一：等差数列的单调性.
例1：等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是__________．
变式一：（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式二：首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：
①；②满足的的最小值是15.
试求公差和首项的值.
变式三：已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.
方向2：等差数列前n项和的最值问题
例1：已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
变式一：（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B．最大 C． D．
变式二：等差数列的前项和为，且，，当 ______时，最大.
变式三：.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n
变式四：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，则S9的取值范围是__________。
变式五：在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
巩固练习
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是( )
A．2 017 B．2 018 C．4 034 D．4 035
3．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为________．
6．（2021·安徽六安市高二期末）设等差数列的前n项和为，公差且，则取得最小值时，n的值为_________．
7．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
8．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
9．设等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）求取得最小值时，求的值．