高二数学等比数列及其前n项和题型全归纳
题型一:等比数列基本量的运算（“知三求二）
知识储备：1.通项公式：
变形公式：① ②
2.求和公式
方向一：基本量运算
方法提示：构造比值法和整体带入法（降次消元）
例一：等比数列中，若, , 则____________.
例二：等比数列中，若,, 求的值。
变式1：已知等比数列满足，则（ ）
A．168 B．210 C．672 D．1050
变式2．正项等比数列满足：a3＝a2＋2a1，若存在，使得，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
变式3：已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足成等比数列，则的值为________．
变式4：已知等比数列，若，，求.
变式5：已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A. B．－ C. D．－
方向二：等差等比数列基本量运算综合
例一：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2.a3＋4构成等差数列，则an＝________.
变式1：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为( )
A．1 B．2 C. D．3
变式2：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.
变式3：已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为___________.
题型二：等比数列的判断或证明
知识储备：判定一个数列为等比数列的常见方法：
(1)定义法：若＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q为非零常数)，则数列{an}是等比数列．
方向一：定义法，若＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列.
例：已知数列满足，且，则___________.
方向二：等比中项法若a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列
例：已知数列，，，且满足,则 .
方向三：其他类等比数列证明
例1：设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
例2：已知数列满足对任意的正整数n，均有，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记bn＝，求数列的前n项和.
变式1：设数列的前n项和为Sn，已知，.
(1)设，证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
变式2：.已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
变式3：已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
题型三：等比数列的性质
知识储备：设等比数列的公比为则：①若，且,则，特别地，当时.
②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列.
方向一：等比中项的应用
例一：如果成等比数列，那么（ ）
A. B.
C. D.
例二：在等比数列中，是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则的值为( )
A.2 B.－或 C. D.－
变式1：已知各项均为正数的等比数列中，，，则等于( )
A．4 B．6 C．7 D．5
变式2：已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为( )
A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000
变式3：已知各项均为正数的等比数列满足a1＝，且，则a9＝________.
变式:4：在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
变式5：等比数列中，若,求.
方向二：等比数列，则,,，…成等比数列.
例一：在等比数列中，已知，，求.
例二：等比数列中，若, , 则____________.
变式1：等比数列中，若,, 求的值。
变式2：设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于( )
A. B．－ C. D.
变式3：.各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则等于( )
A．80 B．30 C．26 D．16
变式4:已知等比数列的前n项和为，，，则等于( )
A．8 B．6 C．4 D．2
题型四：等比数列最值问题
知识储备：等比数列中，，若设,则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列。
（3）当时，等比数列是摆动数列。
例一：（多选题）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递减数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
例二：数列的前n项和为，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设，则数列的项的最大值为( )
A. B. C. D.2
变式1：已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
变式2．数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________.
变式3：等比数列中，a1－a3＝3，前n项和为，S1，S3，S2成等差数列，则的最大值为 ．
变式4：已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．高二数学等比数列及其前n项和题型全归纳
题型一:等比数列基本量的运算（“知三求二）
知识储备：1.通项公式：
变形公式：① ②
2.求和公式
方向一：基本量运算
方法提示：构造比值法和整体带入法（降次消元）
例一：等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.
例二：等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
【答案】448；∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
变式1：已知等比数列满足，则（ ）
A．168 B．210 C．672 D．1050
答案C.解析：等比数列满足,
设等比数列的公比为q,所以,解得 ，
故，故选：C
变式2．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
答案D。解析：由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，由aman＝16a得2m－12n－1＝16，因为m＋n－2＝4，m＋n＝6，所以＋＝＝≥＝。
变式3：已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为________．
答案 。解析：已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，
∴a＝a2a7，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴＝＝＝.
变式4：已知等比数列，若，，求.
解析：或；
法一：∵，∴，∴
从而解之得，或，，当时，；当时，。故或。
法二：由等比数列的定义知，代入已知得
将代入（1）得，
解得或，由（2）得或 ，以下同方法一
变式5：已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案C。解法一：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，由上述结论，得＝，∴x＝.
解法二：当n＝1时，a1＝S1＝x－；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.故选C.
方向二：等差等比数列基本量运算综合
例一：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2.a3＋4构成等差数列，则an＝________.
解析：由已知得：解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1.
变式1：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为( )
A．1 B．2 C. D．3
答案D。解析：因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。
变式2：设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.
解析：由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.
变式3：已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为___________.
【答案】。解：因，
所以，所以，得或（舍去），所以，故.
因为，
所以.故答案为：
题型二：等比数列的判断或证明
知识储备：判定一个数列为等比数列的常见方法：
(1)定义法：若＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q为非零常数)，则数列{an}是等比数列．
方向一：定义法，若＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列.
例：已知数列满足，且，则___________.
【答案】解：因为数列满足，所以数列是等比数列，公比为，因为，即，解得，所以
故答案为：
方向二：等比中项法若a＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列
例：已知数列，，，且满足,则4 .
方向三：其他类等比数列证明
例1：设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
（1）证明：当时，，解得，
由，可得，
两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
(2)解：由（1）可得，所以，
则，则，
两式相减可得
，所以．
例2：已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.
(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an＝3n＋5n(n∈N*)． （2）Tn＝＋n－
【解析】(1)因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，
又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列．
所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n(n∈N*)．
(2)由(1)知，bn＝＝＝1＋n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋＝＋n－(n∈N*)．
变式1：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2(n∈N*)．
变式2：.已知数列的首项为……，证明：数列是等比数列.
【解析】由得，∴又∴数列是首项为，公比为的等比数列.
变式3：已知数列中判断数列是等比数列，并说明理由
【答案】是等比数列∵
∴，∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列
题型三：等比数列的性质
知识储备：设等比数列的公比为则：①若，且,则，特别地，当时.
②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列.
方向一：等比中项的应用
例一：如果成等比数列，那么（ ）
A. B.
C. D.
答案B
例二：在等比数列{an}中，a6，a10是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8的值为( )
A.2 B.－或 C. D.－
解析：由题意a6a10＝2，且a6＋a10＝－6，所以a6<0，a10<0，又数列{an}为等比数列，所以a8<0，所以a8＝－＝－.
变式1：已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．4 B．6 C．7 D．5
解析：∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.
变式2：已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
答案：C.解析：∵lg(a3a8a13)＝lg a＝6，∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10 000.
变式3：已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，则a9＝________.
答案:18.解析:∵a2a8＝2a5＋3，∴a＝2a5＋3，得a5＝3(舍负)，即a1q4＝3，则q4＝6，a9＝a1q8＝×36＝18.
变式:4：在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
答案：216；解析：法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴
变式5：等比数列中，若,求.
答案： 10。∵是等比数列，∴
方向二：等比数列，则,,，…成等比数列.
例一：在等比数列中，已知，，求.
【解析】法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2+……+an,
b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，
b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)
易知b1,b2,b3成等比数列，∴，∴S3n=b3+S2n=3+60=63.
法二：∵，∴，
由已知得②÷①得，即 ③
③代入①得，∴.
法三：∵为等比数列，∴，，也成等比数列，
∴，∴.
例二：等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.
变式1：等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
【答案】448；∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
变式2：设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B．－ C. D.
解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.故选A.
变式3：.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
:A．80 B．30 C．26 D．16
答案：B。解析：由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.
变式4:已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案：C。解析：S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
题型四：等比数列最值问题
知识储备：等比数列中，，若设,则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列。
（3）当时，等比数列是摆动数列。
例一：（多选题）已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递减数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】ACD。解析：在等比数列中，，公比，则有，
对于A，，，则数列是等比数列，A正确；
对于B，，显然对成立，即数列是递增数列，B不正确；
对于C，，则数列是等差数列，C正确；
对于D，，则数列数列是等比数列，D正确.故选：ACD
例二：数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为( )
A. B. C. D.2
【答案】B【解析】由条件可知：3an＋Sn＝4，3an－1＋Sn－1＝4(n≥2).相减，得an＝an－1.又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1.则an＝，bn＝n.
设{bn}中最大的项为bn，则即
解之得3≤n≤4.∴{bn}的项的最大值为b3＝b4＝.
变式1：已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【解析】由题意可得： ，由可得，
由等比数列的性质可得： 成等比数列，
则： ，综上可得：
，
当且仅当时等号成立.则的最小值为20.本题选择C选项.
变式2．数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________.
【答案】【解析】由，得，
当时，，适合上式，．
则．
当时．故答案为：．
变式3：等比数列{an}中，a1－a3＝3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为 ．
答案：4:解析：设公比为q，由解得
当n为奇数时，Sn＝≤＝4，
当n为偶数时，Sn＝<.综上，Sn的最大值为4.
变式4：已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，所以数列的通项公式是：.
(2)由(1)知，，，
，
所以数列的前n项和.
