微专题：运用导数运算法则构造函数
一、知识梳理
导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特别的 [cf(x)]′＝cf′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常见函数的变形
1、对，构造；对，构造.
2、对于形如，构造函数；特别的，对，构造
3、对形如，构造函数
4、对形如，构造函数，特别的，构造
5、对形如，构造函数；特别的，构造
6、对形如，构造.
7、对于，即，
构造．对于，构造．
二、常见题型剖析
题型一、根据导数运算公式构造函数
【例1】设是上的可导函数，分别是的导函数，且满足，则当时，有（ ）
【答案】
【解析】因为不等式左边的原函数为，令，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即C
【变式1】设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，易知为奇函数且．
．故当时，，单调递增．
所以在上为增函数，且，
当时，，此时，
因为函数为奇函数，当时，，此时，
综上，不等式的解集是
(－∞，－3)∪(0，3)．
故选：D
题型二、根据构造函数
【例2】函数的定义域为，对任意则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，因为对任意
所以对任意恒成立；因此，函数在上单调递增；
又所以，因此不等式可化为，所以.
故选B
【变式2】已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为可化为，令，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
因为，所以，
所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．
题型三、根据(或)构造函数
【例3】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，所以在单调递减，
不等式以转化为，所以
故选：D.
【变式3】定义域为的奇函数,当时,恒成立,若,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数,因为是奇函数,所以为偶函数
当时,恒成立,即,所以
在时为单调递减函数
在时为单调递增函数
根据偶函数的对称性可知,
所以,所以选D
题型四、根据(或)构造函数
【例4】已知奇函数的定义域为，当时，，且则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】构造函数，则当时，所以当时单调递增．
因为，所以，所以当x＞2时，从而．
当时，，从而．
又奇函数的图像关于原点中心对称，所以的解集为
故答案为： ．
【变式4】已知定义在上的函数满足,且,则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令,构造函数
,
由已知可知：,所以是上的减函数,
当时,,,
所以当时,成立,
也就是当时,成立,故本题选A.
题型五、根据(或)构造函数
【例5】已知定义在上的函数f(x),f’(x)是它的导函数,且对任意的,都有恒成立,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得,即,令,导函数,因此g(x)在定义域上为增函数.则有,代入函数得,由该不等式可得,故选D.
【变式5】已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【解析】设，，即，
所以函数是偶函数，
并且，所以函数在单调递减，
，，
，
因为，所以，即.故选：D
题型六、根据构造函数
【例6】 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又，于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，，由得：或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D
【变式6】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
题型七、根据构造函数
【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以
令
即函数为偶函数,因为上有,所以
即函数在单调递增；
又因为
所以
即,所以,解得 ,故选B.
【变式7】设函数f（x）在R上存在导数，，有，在上，，若，则实数m的取值范围为（ ）
B． C．[-3，3] D．
【答案】B
【解析】令，∵，∴函数g（x）为奇函数，
∵时，，函数g（x）在上为减函数，
又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，
，
即，∴，∴，∴微专题：运用导数运算法则构造函数
一、知识梳理
导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特别的 [cf(x)]′＝cf′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常见函数的变形
1、对，构造；对，构造.
2、对于形如，构造函数；特别的，对，构造
3、对形如，构造函数
4、对形如，构造函数，特别的，构造
5、对形如，构造函数；特别的，构造
6、对形如，构造.
7、对于，即，
构造．对于，构造．
二、常见题型剖析
题型一、根据导数运算公式构造函数
【例1】设是上的可导函数，分别是的导函数，且满足，则当时，有（ ）
【变式1】设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、根据构造函数
【例2】函数的定义域为，对任意则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三、根据(或)构造函数
【例3】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】定义域为的奇函数,当时,恒成立,若,,则（ ）
A． B． C． D．
题型四、根据(或)构造函数
【例4】已知奇函数的定义域为，当时，，且则不等式的解集为___________．
【变式4】已知定义在上的函数满足,且,则的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型五、根据(或)构造函数
【例5】已知定义在上的函数f(x),f’(x)是它的导函数,且对任意的,都有恒成立,则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（ ）.
A． B． C． D．
题型六、根据构造函数
【例6】 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【变式6】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
题型七、根据构造函数
【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7】设函数f（x）在R上存在导数，，有，在上，，若，则实数m的取值范围为（ ）
B． C．[-3，3] D．
