第十五讲-简单的三角恒等变换
知识点一、两角和差公式
1、两角和与差的余弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
2、两角和与差的正弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
3、两角和与差的正切公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,，，，.
③变形结论：
考点一、两角和差公式运用
【典型例题】
1、求下列式子的值
（1）（ ）
A． B． C． D．
（2）= .
（3） .
2、________．
（1）计算：；
（2）已知.求的值.
4、已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5、设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式练习】
1、求下列式子的值
（1） .
（2）= ．
（3） ．
2、的值是( )
. . . .
3、在中,则等于（ ）
A. B. C. D.
4、求下列各式的值．
（1）
（2）
5、在中，已知，，求的值．
6、已知，且，则 ．
知识点二、倍角公式
1. 二倍角公式
① ；
② = =
③
2. 降幂公式(二倍角公式逆用)：
① ； ② ； ③
④（公式的变形）
考点二、二倍角公式的应用
【典型例题】
1、（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、的值为 （ ）
A． B． C． D．
3、已知为第二象限角，且，则的值为（ ）
A. B． C． D．
4、底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、（1）= . （2）= .
2、化简（ ）
A. B. C. D.
3、化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4、若，，则= .
5、十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，根据这些信息可得（ ）
A． B．
C． D．
6、古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
考点三、配凑角
【典型例题】
1、锐角满足，那么（ ）
A． B． C． D．
2、已知，且，则的值___________.
3、已知，则___________.
【变式练习】
1、已知，则的值为______．
2、已知，，则___________.
3、已知，则__________.
4、已知，则______．
知识点三、辅助角公式、半角公式与万能公式
1、半角公式
①
②
③
2、辅助角公式：
，．
3、万能公式
①
②
③
考点四、半角、万能公式求值问题
【典型例题】
1、设，，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、已知，且为钝角，则的值为___________.
2、已知，___________.
3、已知，，则___________.
4、已知且，求：
(1)； (2)．
考点五、辅助角公式的应用
【典型例题】
1、辅助角公式应用
（1） . （2） .
（3） . （4） .
2、（多选题）对于函数，给出下列选项其中不正确的是（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．存在，使
C．存在，使函数的图像关于轴对称
D．存在，使恒成立
【变式练习】
1、辅助角公式应用
（1） . （2） .
（3） . （4） .
2、（多选题）设函数，则（ ）
A．是偶函数
B．在单调递减
C．最大值为
D．其图像关于直线对称
【模拟训练】
1、的值为（ ）
. . . .
2、( )
. . . .
3、在中，，则= .
4、若，，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
6、若，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
7、已知，则 .
8、______．
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10、（ ）
A． B． C． D．
11、已知，若，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
12、已知，则___________.
13、已知，则_________.
14、已知，且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
15、若，则（ ）
A． B．
C． D．
16、若，则（ ）
A． B． C． D．
17、被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
18、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
19、化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
20、求值：____________．
21、（多选题）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
22、若，则__________，_________．第十五讲-简单的三角恒等变换
知识点一、两角和差公式
1、两角和与差的余弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
2、两角和与差的正弦公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,是任意角.
3、两角和与差的正切公式
（1）
（2）
①简记符号:,.
②适用条件:公式中的角,，，，.
③变形结论：
考点一、两角和差公式运用
【典型例题】
1、求下列式子的值
（1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
（2）= .
【答案】
（3） .
【答案】1
2、________．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
3、（1）计算：；
（2）已知.求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）；
（2）.
4、已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，都是锐角，，，
所以，
，
所以
.故B，C，D错误.
故选：A.
5、设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
【变式练习】
1、求下列式子的值
（1） .
（2）= ．
（3） ．
【答案】（1) （2）（3）
2、的值是( )
. . . .
【答案】D
3、在中,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4、求下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】(1)(2)
【解析】
（1）解：；
（2）解：.
5、在中，已知，，求的值．
【答案】
【解析】由，知或．
又，所以，从而．
若，则，所以，即，
所以
．
6、已知，且，则 ．
【答案】
【解析】,
因为，所以，
所以.
故答案为：
知识点二、倍角公式
1. 二倍角公式
① ；
② = =
③
2. 降幂公式(二倍角公式逆用)：
① ； ② ； ③
④（公式的变形）
考点二、二倍角公式的应用
【典型例题】
1、（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
2、的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】；
故选：A
3、已知为第二象限角，且，则的值为（ ）
A. B． C． D．
【答案】B
4、底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，为一个黄金三角形，
其中，为的中点，
根据题意可知，
则，
即，
又，
则，
解得，
所以.
故选：B.
【变式练习】
1、（1）= . （2）= .
【答案】(1) (2)
2、化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3、化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】原式
.
故选：D.
4、若，，则= .
【答案】
5、十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，，根据这些信息可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】取BC的中点D，连接AD，则由三线合一知：，
且，，
由余弦的二倍角公式得：.
故选：A
6、古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意知，，则，
又，则.
故选：D.
考点三、配凑角
【典型例题】
1、锐角满足，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵锐角满足，
∴，则．
∵，
∴，
∴，
故选：C
2、已知，且，则的值___．
【答案】
【解析】，，
，，
，
，，
，，
则，
由得，
故答案为：
3、已知，则___________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【变式练习】
1、已知，则的值为______．
【答案】
【解析】，
则
故答案为：
2、已知，，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
又，则，
则.
故答案为：.
3、已知，则__________.
【答案】
【解析】根据诱导公式，，即
所以，
故答案为：.
4、已知，则______．
【答案】
【解析】因，所以
故答案为：
知识点三、辅助角公式、半角公式与万能公式
1、半角公式
①
②
③
2、辅助角公式：
，．
3、万能公式
①
②
③
考点四、半角、万能公式求值问题
【典型例题】
1、设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则，则，
所以.
故选：A.
2、已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，，
∴.
方法二：∵，，
∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，
∴
故选：C
【变式练习】
1、已知，且为钝角，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为为钝角，即，
所以，
又，所以
故答案为：.
2、已知，___________.
【答案】
【解析】因为，所以.
所以.
故答案为：
3、已知，，则___________.
【答案】5
【解析】由，得，解得或.
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，
∴.
故答案为：5
4、已知且，求：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，于是．
设．
．
（2） ．
考点五、辅助角公式的应用
【典型例题】
1、辅助角公式应用
（1） . （2） .
（3） . （4） .
【答案】（1） （2）
2、（多选题）对于函数，给出下列选项其中不正确的是（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．存在，使
C．存在，使函数的图像关于轴对称
D．存在，使恒成立
【答案】ABD
【变式练习】
1、辅助角公式应用
（1） . （2） .
（3） . （4） .
【答案】（1） （2） （3）
（4）
2、（多选题）设函数，则（ ）
A．是偶函数
B．在单调递减
C．最大值为
D．其图像关于直线对称
【答案】ABD
【模拟训练】
1、的值为（ ）
. . . .
【答案】A
2、( )
. . . .
【答案】D
3、在中，，则= .
【答案】
【解析】，
故，即.故选A.
4、若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5、已知则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6、若，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为锐角，，所以，
又，均为锐角，所以，所以，
所以
.故选：B
7、已知，则 .
【答案】
【解析】∵，∴，
∴.本题选择A选项.
8、______．
【答案】
【解析】
．
故答案为：.
9、已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
得，
所以
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
10、（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
原式．
故选：B
11、已知，若，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，，
所以．
故选：A．
12、已知，则___________.
【答案】
【解析】由
所以
则，
所以
故答案为：
13、已知，则_________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
14、已知，且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，则．
故选：B
15、若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】,解得
故选：C
16、若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，显然，故，
故选：A
17、被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】把代入.
18、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，，，
故选D.
19、化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
20、求值：____________．
【答案】
【解析】．
故答案为：
21、（多选题）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【答案】ABC
【解析】因为，
所以的最大值为2，故A正确.
最小正周期是，故B正确.
将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.
当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
22、若，则__________，_________．
【答案】
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
