第十七讲-三角函数综合大题与实际应用问题
考点一、三角函数综合大题
【典型例题】
1、函数的部分图象如图所示，其中轴.
(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
2、已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
3、已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的值．
4、已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
5、已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式练习】
1、函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
2、已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围．
3、函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值及函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
4、已知函数
(1)求的最小正周期和图象的对称轴方程：
(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
5、已知函数．
(1)若，求函数在的值域；
(2)若函数，且对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
考点二、三角函数的实际应用问题
【典型例题】
1、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
2、某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【变式练习】
1、如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
2、如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于、两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求出时的取值范围．
3、如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是，，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于，过点B作轴于．
（1）求经过1秒后，的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点与，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式．
【模拟训练】
1、已知函数.
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
2、先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.
（1）求函数的解析式；
（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.
3、已知，其中，给出三个条件：
①关于直线对称；②；③图象沿x轴向左平移个单位可以得到一个偶函数．
(1)在这三个条件中任选一个，求；
(2)根据（1）所求函数表达式，求在上的值域．
4、已知函数（），且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间.
5、已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
6、某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？
7、请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．
(1)求的解析式
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．
8、已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
9、某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么 并求出的解析式；
(2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物．
10、一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
11、已知表示电流强度与安培时间的函数关系式﹒
(1)若电流强度与时间的函数关系图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
(2)为了使中任意一段秒的时间内电流强度能同时取得最大值A与最小值，那么正整数的最小值是多少？
(3)在(1)中其他条件不变的情况下，当秒时的电流强度应为多少？第十七讲-三角函数综合大题与实际应用问题
考点一、三角函数综合大题
【典型例题】
1、函数的部分图象如图所示，其中轴.
(1)试写出函数的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象.若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】(1)由图知，点M与N间的最大值对应的横坐标为，
设的最小正周期为T，则，得，则，
把代入中，即，得，
因为，故，所以；
(2)由题知，，
由得：，
又中，即，故m的取值范围是.
2、已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的解、，求的值及实数的取值范围.
【答案】(1)，增区间为；
(2)，.
【解析】(1)解：设的最小正周期为，由图象可知，则，
故，
又，所以，即，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，
令，则，
故的单调增区间为.
(2)解：将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，
由，知，
由可得，由可得，
若关于的方程在区间上有两个不同的解、，
则点、关于直线对称，
故，所以，，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，
函数与函数在区间上的图象有两个交点.
综上所述，，实数的取值范围是.
3、已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为故由图象可知 ,,则 ，又因为图象过点 ，故，，故,则，由于，故，故函数 的解析式为；
（2）因为，所以，由得：，故，所以.
4、已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(1)由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴，
又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，，
又∵，∴，故函数解析式；
(2)由（1）知，∵，则，又∵的值域为，
∴，且，故，即；
5、已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
所以．
（2）由（1）知，，当时，，则，
令，则．存在，使成立，
即存在，使成立，则存在，成立，
而函数在上递减，在上递增，
当时，，当或2时，
所以实数m的取值范围为．
（3）由（1）知，不等式，
当时，，，
若，因，即恒成立，则，
若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
若，当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
所以a的取值范围是．
【变式练习】
1、函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围.
【答案】(1)，；(2)或
【解析】(1)解：由题图得，，
，
，
，，
，，
又，，，
令，，
解得，，
函数的单调递减区间为，；
(2)解：将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
若在上有两个解，则与的图象在上有两个不同的交点，
令，则作出函数在上的简图，
结合图像可得或，
所以a的取值范围为或.
2、已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：由图可得：，，又，，，
，又因为过点，
，，
，，解得，，
又，，
.
(2)解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，
再将上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，
最后将图象上的每一个点都向下平移1个单位（横坐标不变）得到，
即，
因为，所以，所以，
则，
因为方程在上有实数根，即与在上有交点，
所以.
3、函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求的值及函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），函数的单调递减区间为；（2）.
【解析】（1）
，
正三角形的高为，
，
函数的周期，，
函数.
令
所以
所以
所以函数的单调递减区间为
（2），由（1）有，
即，由，知，，
．
．
4、已知函数
(1)求的最小正周期和图象的对称轴方程：
(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为；对称轴方程为.(2)
【解析】(1)解：
，
故函数的最小正周期为：，
对称轴方程为：，即.
(2)因为，，
所以要使得值域为，则只需要，
解得
所以的取值范围为.
5、已知函数．
(1)若，求函数在的值域；
(2)若函数，且对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：因为，所以
因为，令
而在上单调递增 ，
所以，即
所以在的值域为
(2)解：二次函数的对称轴为，开口向下，
所以在，
，
对任意的，都存在使得不等式成立，
即，因为，令，
所以在上有解，
即在上有解
因为，所以，令，，
所以，设，，
函数在上为增函数，在为减函数，
又，所以
综上可得
考点二、三角函数的实际应用问题
【典型例题】
1、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
2、某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时
【解析】（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时
【变式练习】
1、如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.
(1)求，，，；
(2)求这一天时的最大温差近似值.
参考数据：，.
【答案】(1)，，，；(2)
【解析】(1)由图象可知：，，最小正周期，
，，；
，，
，解得：，
又，.
(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
即这一天时的最大温差近似值为.
2、如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于、两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求出时的取值范围．
【答案】(1)；(2)，
【解析】(1)如图，
以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．
由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则
(2)
令甲、乙两位游客距离地面的高度为、，则
，
令，得或
解得：．
3、如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是，，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于，过点B作轴于．
（1）求经过1秒后，的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点与，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）经过1秒后运动的角度为1，运动的角度为，
，
（2）设、第一次相遇时所用的时间是，
则．
（秒，即第一次相遇的时间为秒；
（3）由题意可得，，
.
【模拟训练】
1、已知函数.
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值.
【答案】(1)，，(2)
【解析】(1)解：∵
，即，
所以函数的最小正周期，
令，解得.
故函数的单调递减区间为.
(2)解：由题意可得，
∵，∴，
∵，所以，则，
因此
.
2、先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.
（1）求函数的解析式；
（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原函数化简得到，
将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得，再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到，所以.
（2）由题意知，，因为，所以，
解得，则有：.
令，，
则对称轴为.所以.
3、已知，其中，给出三个条件：
①关于直线对称；②；③图象沿x轴向左平移个单位可以得到一个偶函数．
(1)在这三个条件中任选一个，求；
(2)根据（1）所求函数表达式，求在上的值域．
【答案】(1)任选一条件，都有；(2)[0，3]
【解析】(1)
若选择①，则有，
即，，故，
若选择②，则有
即，，即，，故，
若选择③，f（x）图象沿x轴向左平移个单位得到
为偶函数可得，，即
即，，故，
(2)
由（1）可得，
，则
根据正弦函数图象可得
故在上的值域是[0，3]．
4、已知函数（），且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间.
【答案】(1)，(2)，.
【解析】(1)解：因为
，
即，又函数的最小正周期为且，
所以，解得，所以.
(2)解：将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度得到，
再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，
因为的图象关于直线对称，即，
解得，
因为，所以当时取得最小值，，
所以，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
5、已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
【解析】（1）因为的最小正周期为，所以.因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
6、某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数的解析式；
(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上恰有10条对称轴，求的取值范围？
【答案】(1)表和图像见解析，，(2)，(3)
【解析】(1)解：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
画出函数图像如图：
由表得：，则，，则，
将点代入得，所以，
所以；
(2)解：当时，，则，
所以，因为关于x的方程在区间上有解，
所以；
(3)解：将函数的图像向右平移个单位，得到函数，
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，
则，由，得，因为函数在区间上恰有10条对称轴，所以，解得.
7、请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．
(1)求的解析式
(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)解：因为函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，
所以函数的最小正值周期为∶,故.
若选①：函数的图象关于直线对称，
则，所以，解得，
由于，所以，
故；
若选②：函数的图象关于点对称，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
若选③：对任意实数，恒成立，则，所以，整理得，
由于，所以，
故；
(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
由，得，所以，
所以.
8、已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．
(1)求函数与的解析式；
(2)若方程在区间有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；，(2)
【解析】(1)由条件则
且的最小正周期为，则
即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，
得到函数
且为的一条对称轴，即
由可得
从而可得
．
(2)由（1）可知
记
即，
再记，
，
代入中，则的值域求解问题等价于
，的值域，
当时，；当时，
因此的值域为，也即为
原命题“若方程在区间有解”
即等价于在内有解
只需即可，解得即为所求．
9、某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么 并求出的解析式；
(2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物．
【答案】(1)选择合适，理由见解析，
(2)酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物.
【解析】（1）因为入住酒店的游客人数呈周期性变化，且在第一季度内有对称性特征，
所以选择合适，
根据①可知这个函数的周期是12，即，故．
由②可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200，
由③可知在上是增函数，且，所以，
所以解得
因为当时，的值最小，
所以，可得，，由，得．
所以入住酒店的游客人数与月份之间的函数关系式为.
（2）
令，
化简得，
所以，，
即，，
所以可取的值有6，7，8，9，10，
即酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物．
10、一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【答案】(1)，(2)
【解析】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，∵，∴，∴，∵时，，∴，∴，∵，∴，∴.
（2）解：令，得，∴，，∴，，∴当时，P第一次到达最高点，∴点P第一次到达最高点大约要.
11、已知表示电流强度与安培时间的函数关系式﹒
(1)若电流强度与时间的函数关系图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
(2)为了使中任意一段秒的时间内电流强度能同时取得最大值A与最小值，那么正整数的最小值是多少？
(3)在(1)中其他条件不变的情况下，当秒时的电流强度应为多少？
【答案】(1)；(2)629；(3)安培.
【解析】(1)由图知，，，，
，由图可知是该函数图象的第一个最高点，
∴，
．
(2)问题等价于，即，
．正整数的最小值为．
(3)由(1)可得，将秒代入可得，安培．
