5.1变化率与导数
一、知识梳理
1．平均变化率
设函数，我们把式子称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的斜率．
注意：是一个整体符号，而不是与相乘．
2．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．
注意：不可以是0．
3．导数的几何意义
函数在处的导数，就是曲线在处的切线的斜率，即．
4．导函数
对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作，即．
注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．
二、题组突破
题组一 求平均变化率
求函数从到的平均变化率的三个步骤：
（1）求出或者设出自变量的改变量：；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；
（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．
【1】已知函数，那么下列说法错误的是
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在到之间的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
【答案】C
【解析】由导数的定义可知C错误．故选C．
【2】在曲线的图象上取一点及附近一点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C
【3】函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】，
.
由题意，知，所以.故选：A.
【4】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】，，
因为物体在这段时间内的平均速度为，
所以，解得，故选：A
题组二 求函数在某点处的导数
（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．
②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．
【5】若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据导数的定义可知，
所以．故选A．
【6】已知函数在处可导，为常数，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选B．
【7】已知是可导函数，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
【8】若，则________________．
【答案】
【解析】因为，所以．
题组三 导数几何意义
（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．
（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
【9】如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．
【答案】
【详解】由已知，所以．故答案为：．
【10】已知的图象如图所示，则与的大小关系是
A． B．
C． D．与大小不能确定
【答案】A
【解析】由的图象可知，，根据导数的几何意义有．故选A．
【11】函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，且；故选：A
【12】已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以.
的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以.故选:B
【13】已知的图象在点处的切线方程为，则________________．
【答案】
【解析】由导数的几何意义可知，又，所以．
【14】已知曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，即．故选A．
【15】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
【答案】或
【解析】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设，
因为，
当时，，
所以，则点P的坐标为或．
故答案为：或.
【16】已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
A． B．或
C．或 D．以上均不对
【答案】C
【解析】由题可得，点在曲线上，所以切线的斜率，故切线方程为，即，设，由题意可得，解得或，故选C．
【17】已知函数图像上两点、.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
(1)解：，
因为割线AB的斜率不大于，
所以，解得，
又，
所以的范围为；
(2)解：，
又，
所以点A处的切线方程为，
即.
【18】求过点，且与曲线相切的直线方程．
【解析】点不在曲线上，设切点坐标为．因为，
所以切线斜率为．
又，所以或．
当时，切线斜率为，
则过点的切线方程为，即；
当时，切线斜率为，
则过点的切线方程为，即．
故所求切线方程为或．5.1变化率与导数
一、知识梳理
1．平均变化率
设函数，我们把式子称为函数从到的平均变化率．习惯上用表示，即．函数的变化量是，于是，平均变化率可以表示为．其几何意义是函数图象上的两点所在直线的斜率．
注意：是一个整体符号，而不是与相乘．
2．导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．
注意：不可以是0．
3．导数的几何意义
函数在处的导数，就是曲线在处的切线的斜率，即．
4．导函数
对于函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，便是一个关于的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作，即．
注意：函数在处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之间的关系是：函数在处的导数就是导函数在处的函数值．
二、题组突破
题组一 求平均变化率
求函数从到的平均变化率的三个步骤：
（1）求出或者设出自变量的改变量：；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：；
（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即．
【1】已知函数，那么下列说法错误的是
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在到之间的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
【2】在曲线的图象上取一点及附近一点，则
A． B． C． D．
【3】函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【4】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
题组二 求函数在某点处的导数
（1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限．
（2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点：
①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在．
②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式．
【5】若，则
A． B． C． D．
【6】已知函数在处可导，为常数，则
A． B． C． D．
【7】已知是可导函数，且，则
A． B． C． D．
【8】若，则________________．
题组三 导数几何意义
（1）如果所给点就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数在点处的导数，即得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程．
（2）如果所给点P不是切点，应先设出切点，再求切线方程．要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．
【9】如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．
【10】已知的图象如图所示，则与的大小关系是
A． B．
C． D．与大小不能确定
【11】函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【12】已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【13】已知的图象在点处的切线方程为，则________________．
【14】已知曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B． C． D．
【15】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
【16】已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为
A． B．或
C．或 D．以上均不对
【17】已知函数图像上两点、.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．
【18】求过点，且与曲线相切的直线方程．
