5.3导数在研究函数中的应用
5.3.1函数的单调性与导数
一、知识梳理
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0
2．函数图象与之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
3.利用导数判断函数的单调性
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：
①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．
求下列函数的单调区间：
二、题组突破
题组一 判断函数单调性
【1】函数的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【2】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，的定义域为，且，
令，则或（舍去），
所以当时，；当时，，
所以的单调减区间为，故选：D
【3】已知，则函数的单调递减区间为( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
令，得，因此，函数的单调递减区间为，故选：B。
【4】设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值； （2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】本题考点是导数的几何意义与函数的单调性的综合应用.
（1）因为，所以.
依题设，即解得；
（2）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
题组二 导数图像与函数单调性
【5】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【答案】D
【6】函数的图象如图，则导函数的图象可能是
【答案】D
【解析】由图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于，再小于，最后大于．故选D．
题组三 单调性相关的参数问题
【7】已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【答案】
【8】若函数存在单调递增区间，则的取值范围是__ _.
【答案】
【9】若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.
A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞）
【答案】C
【解析】函数的定义域为，函数的导数为，当时，，函数是单调增函数，不合题意；当时，函数在 上递减，在 递增，不是单调函数，则实数的取值范围是，故选C.
【10】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，由已知得在恒成立，故，因为，所以，故的取值范围是．
【11】函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上恒成立，
又，所以．故选D．
【12】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．故选C．
【13】已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
则，所以．
又，所以所求切线方程为，即．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题可得，
令，即，解得或．
当时，恒成立，不符合题意．
当时，函数的单调递减区间是，
若在区间上是减函数，则，解得．
当时，函数的单调递减区间是，
若在区间上是减函数，则，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
题组四 含参单调性讨论
【14】已知函数.讨论的单调性；
【答案】时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数；
【详解】的定义域为，且，
当时，成立，所以在上单调递增；
当时，
当时，成立，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数.
综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.
【15】已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】由已知得函数的定义域为R，
则
由于，从而当时，恒成立，故函数在R上单调递增，
当时，由，解得；由，解得，
从而函数在上单调递增，在上单调递减
综上：当时，函数在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【16】已知函数，其中求的单调区间；
【答案】递减区间是，递增区间是；
【详解】函数的定义域为，求导得函数，
因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
【17】已知函数．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，
所以，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为．
（2）易知函数的定义域为，
，
令，解得，，
①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是．
②当，即时，在区间和上，在区间上，
故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
题组五 与单调性相关的构造函数
【18】若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以当时，，当时，，则函数在上单调递减，因为，所以．故选B．
【19】设，，，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最大值，
因为，，，
，当时，函数单调递增，
可得，即．
故选：B．
【20】（多选）已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】，所以，，则设，，得，单调递增，所以，必有，，则，，所以，A和B正确；
故选：AB
【21】是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，构造函数，
，所以函数在上单调递增，
因为，所以
不等式等价于
即，所以，故选：C.
【22】已知函数，对于任意不同的，，有，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】对于任意，，有，
不妨设，则，即，
设，则，
又，所以单调递增，则恒成立，
因为，
所以，令，
要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，
又，所以，即，
故答案为：
【23】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于任意，，当时，恒有成立，
即成立，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴在恒成立，∴在恒成立，
∵当，，∴实数的取值范围为，故选C.
【24】若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设函数且,求函数求导可得,,
因为,所以符号不确定且,所以函数单调性不确定,函数在上单调递减,则,所以选项C是正确的,故选C.5.3导数在研究函数中的应用
5.3.1函数的单调性与导数
一、知识梳理
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0
2．函数图象与之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
3.利用导数判断函数的单调性
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：
①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．
求下列函数的单调区间：
二、题组突破
题组一 判断函数单调性
【1】函数的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【2】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【3】已知，则函数的单调递减区间为( )．
A． B． C． D．
【4】设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值； （2）求的单调区间.
题组二 导数图像与函数单调性
【5】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
【6】函数的图象如图，则导函数的图象可能是
题组三 单调性相关的参数问题
【7】已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【8】若函数存在单调递增区间，则的取值范围是_________.
【9】若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.
A．[0,+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．(0,+∞）
【10】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【11】函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【12】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【13】已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
题组四 含参单调性讨论
【14】已知函数.讨论的单调性；
【15】已知函数.讨论函数的单调性；
【16】已知函数，其中求的单调区间；
【17】已知函数．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间．
题组五 与单调性相关的构造函数
【18】若，则
A． B． C． D．
【19】设，，，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【20】（多选）已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【21】是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【22】已知函数，对于任意不同的，，有，则实数a的取值范围为______．
【23】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【24】若，则（ ）
A. B. C. D.
