5.3导数在研究函数中的应用
5.3.2函数的极值、最值与导数
一、知识梳理
1．函数极值的概念
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件
必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是．
充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号．
3．函数极值的求法
一般地，求函数的极值的方法是：
解方程．当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
二、题组突破
题组一 求函数（不含参）极值
【1】函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．
【2】函数的极值点的个数是
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【3】求函数的极值.
题组二 极值与函数图像
【4】若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【5】（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【6】若函数的图像如图所示，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【7】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
【8】（多选）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值
B．时，取得最小值
C．
D．
【9】设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题组三 极值相关的参数
【10】函数在处取得极值，则实数的值为
A． B． C． D．
【11】设，若函数有大于的极值点，则
A． B． C． D．
【12】已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是________________．
【13】函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【14】已知函数在时取得极大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【15】已知是函数的极小值点，则_____．
【16】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
【17】若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是________________．
【18】函数若函数在内没有极值点，求实数的取值范围；
【19】已知在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【20】已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
题组四 含参极值讨论
【21】已知函数.判断函数的单调性并求出的极值；
【22】已知函数，求函数的极值.
【23】已知函数.求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.
【24】已知函数（且），求函数的极大值与极小值．5.3导数在研究函数中的应用
5.3.2函数的极值、最值与导数
一、知识梳理
1．函数极值的概念
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件
必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是．
充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号．
3．函数极值的求法
一般地，求函数的极值的方法是：
解方程．当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
二、题组突破
题组一 求函数（不含参）极值
【1】函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，单调递增；当或时，，单调递减；
所以当时，函数取得极小值，极小值为.故选：A.
【2】函数的极值点的个数是
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【答案】A
【解析】，由可得，该方程无解，因此函数无极值点．故选A．
【3】求函数的极值.
【答案】极大值，无极小值
【解析】因为，所以定义域为，
所以.
由，解得.
随着的变化，，的变化如下表所示
1
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
，无极小值.
题组二 极值与函数图像
【4】若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】从导函数图像可看出，导函数先负再正再负，于是原函数先减再增再减，排除AD，再对比，函数极小值点为正，故答案为C.
【5】（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】AD
【解析】A. 因为在上成立，所以是的单调递增区间，故正确；
B.因为 时，，时，，所以在上不单调，故错误；
C.因为时，，时，，函数在处无极值，故错误；
D.因为 时，，时，，所以函数在处取得极小值，故正确；
故选：AD
【6】若函数的图像如图所示，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由图可知，分别是函数的极小值点和极大值点，且，则，又，
则是的两个实数根，则，；
又函数的单增区间是，则的解集为，则，则A正确.
故选：A.
【7】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
【答案】D
【解析】由题意得：或，
当时，，当时，；
或，
当时，，
当时，，
在单调递减，在单调递增，
函数有极小值和极大值，
故选：D
【8】（多选）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值
B．时，取得最小值
C．
D．
【答案】ACD
【解析】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；
由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.
故选：ACD.
【9】设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，
所以当时，；时，；时，；
所以当时，，当时，，
当或 时，，当时，，
可得选项B符合题意，故选B．
题组三 极值相关的参数
【10】函数在处取得极值，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，函数在处取得极值，则，可得．故选B．
【11】设，若函数有大于的极值点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的导数为，函数有大于的极值点，即有大于的实根，所以函数与函数的图象在y轴右侧有交点，所以，故选C．
【12】已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为函数有两个极值，所以有两个不等的实数根，所以，
即，解得或．故实数的取值范围是．
【13】函数在处有极小值5，则（ ）
A． B． C．或 D．或3
【答案】A
【解析】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而．
故选：A.
【14】已知函数在时取得极大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得
，当时，，由，得，由，得.所以在取得极小值，不符合；当时，令，得或，为使在时取得极大值，则有，所以，所以选A.
【15】已知是函数的极小值点，则_____．
【答案】
【解析】因为函数，
所以，
因为是函数的极小值点，
所以，即，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极小值，符合题意；
所以，
故答案为：
【16】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得：函数的定义域为，
且，，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：
【17】若函数在区间内有极大值，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【解析】由可得，因为函数在区间内有极值，且，所以方程在在区间内有解，即方程在区间内有解，解得或(舍去)．构造函数和，由数形结合可得为函数的极大值点，故，即，则实数的取值范围是．
【18】函数若函数在内没有极值点，求实数的取值范围；
【解析】（1）由题意知，，
当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；
当时，因为，所以，解得或．
综上，实数的取值范围为
【19】已知在处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】，，．
①当时，单调递增．
所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
所以在x=1处取得极小值，不合题意．
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当时，，时，，
所以在(0，1)内单调递减，在内单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意．
③当时，，在(0，1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意．
④当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，合题意．
综上可知，实数的取值范围为．
【20】已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求的取值范围．
【答案】(1)减区间为，增区间为(2)
（1）当a＝4时，，其定义域为，可得．
当时，，f（x）单调递减；
当时，，f（x）单调递增．
所以f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为．
（2）由，，
可得．
设，则，
令，即，解得．
当时，；当时，．
所以h（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
显然，若g（x）在上存在极值，则满足
解得，
所以实数a的取值范围为（0，e）．
题组四 含参极值讨论
【21】已知函数.判断函数的单调性并求出的极值；
【解析】(1)由题意可求，
1.当时，在上为减函数，无极值；
2.当时，令，解得, 令，解得
于是在为增函数，在为减函数；
所以在处有极大值
【22】已知函数，求函数的极值.
【详解】，定义域为R，.
①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当时，令，得， .
当， ；当 ， ；
∴在上单调递减，在上单调递增，
在取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
【23】已知函数.求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.
【答案】.
【解析】.
（1）当时，，所以，在递减，无极值.
（2）当时，由得.
随的变化、的变化情况如下：
+ 0 -
极大值
故有极大值，无极小值；
，
由，∵，∴.
所以，当的极大值为正数时，实数的取值范围为.
【24】已知函数（且），求函数的极大值与极小值．
【解析】由题设知，．
令得或．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
则，．
当时，随的变化，与的变化如下：
0
– 0 + 0 –
极小值 极大值
则，．
故，．
