5.3.3函数的最大（小）值与导数
一、知识梳理
1．函数的最值与导数
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数最值的步骤
求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、题组突破
题组一 求函数（不含参）的最值
【1】函数的最大值为________________．
【2】函数在上的最小值是________________．
【3】函数在上的最小值为________________．
【4】已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为
A． B． C． D．
【5】（二次求导）求函数在区间上的最小值；
【6】已知函数在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最值．
题组二 函数最值相关的参数问题
【7】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【8】已知函数．若的最小值为，求a的值．
【9】已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【10】若函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【11】函数在上的最大值为2，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【12】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．
【13】已知函数．若函数的最大值是，求实数的值；
题组三 含参最值讨论
【14】已知函数．
(1)求的单调性；
(2)求函数在上的最小值．
【15】已知函数
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)求函数在区间上的最小值.
【16】已知函数，当时，求函数在上的最小值．
题组四 最值的简单应用---恒成立与存在性问题
【17】已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A．20 B．18 C．3 D．0
【18】已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【19】已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[，4] C． D．
【20】已知，若，使得成立，则实数的取值范围是________________．
【21】已知函数．若存在正数，使得成立，求实数的取值范围．
【22】已知函数（e为自然对数的底数，，）．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
【23】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，求证：.5.3.3函数的最大（小）值与导数
一、知识梳理
1．函数的最值与导数
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数最值的步骤
求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、题组突破
题组一 求函数（不含参）的最值
【1】函数的最大值为________________．
【答案】
【解析】，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，．
【2】函数在上的最小值是________________．
【答案】
【解析】，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而函数在上的最小值是．
【3】函数在上的最小值为________________．
【答案】
【解析】，
令，得或或．列表如下：
0 (0，1) 1 (1，2) 2
0 + 0 0 +
增 减 增 3
由表可知，函数的最小值为．
【4】已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，得或，当时，，当时，，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为．
【5】（二次求导）求函数在区间上的最小值；
【答案】0
【解析】因为，所以．
记．则，
所以为上的单调减函数．
又，，
所以存在唯一的实数，使得．
所以当时，；当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
因为，，所以，
【6】已知函数在处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为；最大值为
【详解】（1）因，故，
依题意，有，即，解得，
（2）由（1）知．
令，得．
在时，随x的变化．，的变化情况如下表所示：
x 2 3
正 0 负 0 正
11 单调递增 18 单调递减 单调递增
当时，有极大值，当时，有极小值．
因为．
因此在的最小值为．最大值为.
题组二 函数最值相关的参数问题
【7】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】当时，函数取得最大值-2，
所以，即，，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以.
故选：A.
【8】已知函数．若的最小值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(1)∵，∴ ,
∴当时，，,
∴,
∴所求切线方程为．
(2)由（1）知， ，．
当时，，在上单调递增，此时无最小值；
当时，令，得，
当时，；当时，,
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，则．
令，则，
∴当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，∴有一个根，∴，即．
【9】已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
故为极小值点，也是最小值点．
∵，，，
∴的最小值为，最大值为，
∴，解得，∴．故选：C
【10】若函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
当时，；当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取到极大值，又因为在上有最大值，且
所以，则
解得 故选：A
【11】函数在上的最大值为2，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，令得，令，得，则在上的最大值为．欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D．
【12】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于时，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的定义域为，，
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当时，在上无最大值；
当时，在处取得最大值，最大值为．
因此，．
令，则在上是增函数，，
于是，当时，；当时，，因此实数a的取值范围是．
【13】已知函数．若函数的最大值是，求实数的值；
【答案】1
【解析】：因为的定义域为，由题意
由．
当时，，，则函数在上单调递增，
故当时，，不合乎题意；
当时，由，可得．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减
则，故，解得．
题组三 含参最值讨论
【14】已知函数．
(1)求的单调性；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增.
【详解】（1）由题意得，因为恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
（2）由（1）得，①当时，在上单调递减，；
②当时，在单调递减，在单调递增，；
③当时，在上单调递增，.
【15】已知函数
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)1 (2)当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为.
（1）解：曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，函数的导数为，
（2）解：
①当时，在区间上此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，
在区间上，此时函数在区间上单调递减，
在区间上，此时函数在区间上单调递增，
则函数在区间上的最小值为.
④当，即时，
在区间上此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为
【16】已知函数，当时，求函数在上的最小值．
解析：由得，
令得，令得，
在上单调递增，在上单调递减．
①当，即时，函数在区间[1，2]上是减函数，
∴的最小值是．
②当，即时，函数在区间[1，2]上是增函数，
∴的最小值是．
③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．
又，∴当时，最小值是；
当时，最小值为．
综上，当时，；当时，．
题组四 最值的简单应用---恒成立与存在性问题
【17】已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A．20 B．18 C．3 D．0
【答案】A
【解析】，所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减．，，，，可知的最大值为20，故的最小值为20．故选A．
【18】已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对任意的存在，使成立，即有解，
由函数，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由函数有解，，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
【19】已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[，4] C． D．
【答案】B
【解析】解：的导函数为，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，
所以对于任意的，．
因为开口向下，对称轴为轴，
所以当时，，当时，，
则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得，，
可得，解得．
故选：B.
【20】已知，若，使得成立，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【解析】易知的最大值为，，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为．，使得成立，只需．故实数的取值范围是．
【21】已知函数．若存在正数，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】不等式即，即，
令，由题意可得，
易得，
令，则在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故实数的取值范围为．
【22】已知函数（e为自然对数的底数，，）．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】由，可得，
因为，所以，即对任意恒成立，
记，则，
因为，所以，即在上单调递增，
故，所以实数的取值范围为．
【23】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，记函数的最小值为，求证：.
【解析】：(1)的定义域为，
,
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
