第三章 圆锥曲线的方程 章末检测（2）（含解析）

圆锥曲线的方程章末检测（2）
一、单选题
1. 若椭圆上一点P到焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 如图，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 设双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
4. 过双曲线C：的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且为坐标原点，则该双曲线的离心率是( )
A. 2 B. C. D.
5. 定义：椭圆中长度为整数的焦点弦过焦点的弦为“好弦”．则椭圆中所有“好弦”的长度之和为( )
A. 162 B. 166 C. 312 D. 364
6. 设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A. B. C. D.
7. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，P是两曲线的一个交点，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则取得最小值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 椭圆与椭圆，下列结论错误的有( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
10. 已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点P是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D. 若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
11. 若直线与双曲线相交所得的弦长为，则k的值可能为( )
A. B. C. D.
12. 已知抛物线C：，过焦点F的直线交抛物线C于两点，直线分别于直线m：相交于两点则下列说法正确的是
A. 焦点F的坐标为 B.
C. 的最小值为4 D. 与的面积之比为定值
三、填空题
13. 若双曲线的一条渐近线方程为，则__________.
14. 已知方程，当这个方程表示椭圆时，k的取值的集合为__________；当这个方程表示双曲线时，k的取值的集合为__________.
15. 椭圆C：，，是左、右焦点，点，点P为椭圆上一动点，则的最大值为__________，最小值为__________.
16. 把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为__________
四、解答题
17. 根据下列条件，求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点；
如果双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的标椎方程；
顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
18. 已知F是抛物线C的焦点，坐标为，点P是抛物线C的动点，点P在y轴上的射影是M，点
求抛物线C的方程；
求的最小值.
已知：椭圆，求：
以为中点的弦所在直线的方程；
斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
20. 已知某荒漠上、两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以、为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为
试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；
问农艺园的最大面积能达到多少？
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合．
求双曲线和抛物线的标准方程；
过点F作互相垂直的直线，，设与抛物线的交点为A，B，与抛物线的交点为D，E，求的最小值．
22. 已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线
求曲线E的方程；
点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是，，若，求：
①m的值；
②面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
解：椭圆的方程为，
该椭圆的焦点在y轴上，，可得
根据椭圆的定义，得
椭圆上一点P到焦点的距离，
点P到另一个焦点的距离
故选：B

2.【答案】B
解：是面积为的正三角形，
，
解得
，
代入椭圆方程可得：，与联立解得：
故选

3.【答案】A
解：双曲线的离心率是3，
可得，则，得出，
则其渐近线的方程为，即
故选

4.【答案】D
解：由题意得右焦点，设一渐近线OA的方程为，
则，，
，
，
，
，，
故选

5.【答案】B
解：由已知可得，，
所以，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，
所以当时，最短的弦长为，
当弦与x轴重合时，弦长最长为，
则弦长的取值范围为，
故弦长为整数的弦有4到10的所有整数，
则“好弦”的长度和为
故选

6.【答案】D
解：抛物线的焦点坐标为，
则直线l的方程为，
双曲线C的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
，，
，，
双曲线C的方程为，
故选：

7.【答案】A
解：由于椭圆和双曲线的共同焦点为，，可得，
可知：点P是两曲线的一个交点，
不妨设，
根据椭圆和双曲线的定义可得，
解得，
在中，由余弦定理可得，
故选

8.【答案】D
解：抛物线的焦点；
①若直线l斜率不存在，由直线l经过可知直线l的方程为，
在中令，得，
此时，
；
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为代入到抛物线方程，得，
显然，否则直线l和抛物线不可能有两个交点；
设，，
则；
由抛物线的定义可得，，
所以
，
当且仅当，时取等号．
此时
故选：

9.【答案】ABC
解：椭圆：的长轴长，短轴长，焦距，离心率，
椭圆：的长轴长，短轴长，
焦距，离心率，
椭圆和椭圆有相等的焦距．
故选：

10.【答案】BCD
解：对于A：由椭圆，得，
椭圆的右焦点即双曲线的右顶点为，
在双曲线中，，，故A不正确;
对于B：双曲线的，，
双曲线的渐近线为，B正确;
对于C：由上述得椭圆的左顶点是，双曲线的左焦点是，C正确;
对于D：椭圆的左、右焦点分别为、，恰为双曲线的左、右顶点，
为定值，D正确.
故选

11.【答案】AC
解：设直线l与C的交点为，，
联立消去y可得，，
，，
，
解得或
故选

12.【答案】BCD
解：由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A错误；
显然直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为，
联立，消去x得到，
，，，故B正确；
由抛物线性质知，
则，
当且仅当时，取得最小值为4 ，故C正确；
显然，
定值，故D正确.
故选

13.【答案】7
解：在平面直角坐标系xOy中，
双曲线的一条渐近线方程为，即渐近线方程为：，
，解得
故答案为

14.【答案】
解：由，且，
解得，此时为椭圆，
由，
解得，此时为双曲线．
故答案为；

15.【答案】
解：椭圆 C：，
，，，
，
如图所示，点Q在椭圆内部，
点P为椭圆上的点，
则，
，
，
又，
，
即
故答案为；

16.【答案】
解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，
由半椭圆方程为可得，
圆弧方程为：的圆心为，半径为2，
且恰为椭圆的左焦点，，
设“曲圆”与y轴的两个交点为，，
当直线PQ经过B时，，即有；
当直线PQ经过C时，，即有
①当时，Q、P分别在圆弧：、
半椭圆上，
为腰为2的等腰三角形，则，
的周长；
②当时，P、Q分别在圆弧：、
半椭圆上，
为腰为2的等腰三角形，且，
的周长；
③当时，P、Q在半椭圆上，
的周长
综上可得，的周长取值范围为
故答案为：

17.【答案】解设椭圆方程为，
，
又过点
由可得：，，椭圆方程为：
因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，
将点代入得，
即，
所以双曲线的方程为：
由题可知双曲线方程为：，
所以，
左顶点为，设抛物线方程为，
所以，
所以抛物线方程为
18.【答案】解：因为抛物线C的焦点坐标为，
所以
所以抛物线C的方程为：
抛物线焦点，准线，
如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得，
，而，
，当且仅当A，P，F三点共线时，取“=”号，此时，P位于线段AF上，
的最小值为

19.【答案】解：设弦的端点，，可得：，，
相减可得：，
因为为弦的中点，
所以，，
带入上式可得：
以为中点的弦所在直线的方程为：，
化简得：
设直线方程为：，弦的端点，，中点
联立，化为：，
由，解得：
，即，
又，，

20.【答案】解：以所在直线为x轴，的中垂线为y轴
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设平行四边形的另两个顶点为，，
则由已知得
由椭圆定义知点P在以，为焦点，以4为长轴长的椭圆上，
此时，，则
点的轨迹方程为，
同理Q点轨迹方程同上．
，
所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为
21.【答案】解：由题意可得，即，
所以双曲线方程为，
将点代入双曲线方程，可得，
所以双曲线的标准方程为，
，所以，即，
所以抛物线的方程为
由题意知，，与坐标轴不平行，
设直线的方程为，
，整理可得，
恒成立，，
因为直线，互相垂直，可设直线的方程为，
同理可得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为
22.【答案】解：圆M：的圆心为，半径为，
点在圆M内，，
所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，
由，，得，
所以曲线E的方程为
①，设，，
联立方程组，
得，
由，解得，
，，
由知
，
且，代入化简得，
解得，
②，，
当且仅当时取等号
综上，面积的最大值为