第三章 圆锥曲线的方程 章末检测（1）（含解析）

圆锥曲线的方程章末检测（1）
一、单选题
1. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 2
3. 椭圆被直线截得的弦长为
A. B. C. D.
4. 已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于两点，若，则线段AB的中点Q的横坐标为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为( )
A. B. C. D.
6. 设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知直线，若椭圆上的点到直线l的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆C的离心率范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
10. 曲线与必有( )
A. 相同的顶点 B. 相同的焦距 C. 相同的焦点 D. 相同的离心率
11. 设椭圆，双曲线其中的离心率分别为，，下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
12. 已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是( )
A. B. E的离心率等于
C. 双曲线渐近线的方程为 D. 的内切圆圆心在直线上
三、填空题
13. 已知M为椭圆上一点，，为椭圆C的焦点，则的周长为__________.
14. 若直线与双曲线只有一个公共点，则k的值是__________.
15. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________.
16. 已知，是椭圆的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则的最小值为__________.
四、解答题
17. 求适合下列条件的曲线的标准方程
，，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；
，，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；
焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
18. 已知椭圆的离心率为
当椭圆焦点在x轴上时，求实数n的值；
当椭圆焦点在y轴上时，求实数n的值.
19. 已知点M在椭圆上，MH垂直于x轴，垂足为H，且，求P点的轨迹方程.
20. 已知双曲线方程是
若离心率，求双曲线的渐近线方程；
求双曲线焦点到渐近线的距离
21. 已知椭圆C：的离心率为，且经过点
求椭圆C的方程.
过点的直线交椭圆C于A、B两点，求为原点面积的最大值.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足
求动点P的轨迹E的方程；
过点N且不平行于x轴的直线l与轨迹E交于A，B两点，记直线MA，MB的斜率分别为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】D
解：双曲线，
可得渐近线方程，
在双曲线中，，，
可得渐近线方程为
故选：

2.【答案】B
解：双曲线与椭圆有相同的顶点，
又双曲线过点，
代入求得，则，
该双曲线的离心率
故选

3.【答案】A
解：设交点为，，
将直线代入，
可得，
即，
，，
，，
椭圆被直线截得的弦长为：
故选

4.【答案】B
解：由题意，抛物线的焦点为，
如图所示：线段AB的中点为Q，准线为l，分别作，，，M、N、P为垂足，
若，
由抛物线的性质可得，
所以，
设，
则，解得，
故选

5.【答案】A
解：的周长为，
且的周长为，
，
，
离心率为，
，解得，
，
椭圆C的方程为
故答案选：

6.【答案】D
解：抛物线C：的焦点为，
过点且斜率为的直线为：，
联立该直线与抛物线C：，消去x可得：，
解得，，不妨设，，
所以，
则
故选

7.【答案】B
解：双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，
可得：，解得，，，
所以双曲线的渐近线方程为：
故选

8.【答案】A
解：设为椭圆C上任意一点，
则点到直线l的距离，其中为锐角，且，
，
当，即，，，
则，解得，
当，即时，
，，
则，等式恒成立，
综上所述，，
，
故选：


9.【答案】AC
【解析】解：①直线与x轴的交点为，
则，抛物线的标准方程为，
②直线与x轴的交点为，
则，抛物线的标准方程为
故选：
10.【答案】BC
解：当，则，
表示焦点在x轴上的双曲线，
而表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为，
两曲线有相同焦点，故也有相同的焦距；
当时，，且，
表示焦点在x轴上的椭圆，，
与已知椭圆有相同焦点，故也有相同的焦距．
故选

11.【答案】ABD
解：由题意得：，
所以 ，B正确；
，由于，则等号不成立，于是，A正确，C错误；
因为，
所以，D正确．
故选

12.【答案】ACD
解：如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以
中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确;
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B不正确;
C选项中，由，即，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确;
D选项中，设内切圆圆心为I，内切圆与，，分别切于点D，M，N，所以D正确，
且，，故选：

13.【答案】10
解：由题得
，
由题得的周长为
故答案为：

14.【答案】或1或或
解：由，消去y，得
当，即时，显然符合题意;
当时，则由，
解得，故或
故答案为或1或或

15.【答案】
解：抛物线的焦点为，
则直线AB的方程为，
联立得，
所以，
从而 ，
故答案为：

16.【答案】
解：解法一：椭圆，
，，，，
可得AB的方程为，
设，，
则
，
由的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．
可得原点到直线AB的距离取得最小，且为，
即有的最小值为
解法二：
解：由椭圆，得，，则，
，，，，
设，则 ，
即，，
，，
，，
当时，有最小值为，
故答案为

17.【答案】解：由题意，设椭圆的标准方程为，
根据题意知，，
，，
故椭圆的标准方程为：，即
解：由题意，设双曲线的标准方程为，
，，
，，
所以双曲线的标准方程是
由题意，设抛物线的标准方程为，
焦点到准线的距离是2，
，即，
抛物线的标准方程为或
18.【答案】解：椭圆化为
当椭圆焦点在x轴上时，则，，则，
则，解得： .
当椭圆焦点在y轴上时，则，，则，
则，解得：
19.【答案】解：设P点的坐标为，M点的坐标为，则，
，即，
可知①，
因为点M在椭圆上，
所以有②，
把①代入②得，
所以P点的轨迹是焦点在x轴上，标准方程为的椭圆.
20.【答案】解：离心率，则，
即，
则双曲线的渐近线方程为
由得，即，
因为，
所以，
取双曲线一个焦点为，
取一渐近线为，即
所以焦点到渐近线的距离为：
21.【答案】解：由 ，
得 ，①
由椭圆C经过点，得②，
联立①②，解得 ，
所以椭圆C的方程是
易知直线AB的斜率存在，设其方程为
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得
令，得
设，，
则，
所以
，
因为
，
设，
则
当且仅当，即时等号成立，
此时面积取得最大值
22.【答案】解：设，
则，
由，可得：
化简得：，即动点P的轨迹E方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为，，，
由得，
，
，
的值为