第六章 平面向量及其应用 单元素养卷（含解析）

单元素养卷平面向量及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 在中，，，，为边上的高，为上靠近点的三等分点，且，其中，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知的三个内角、、所对边分别为、、，则“”是“为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是( )
A. B. C. D.
6. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，，，，若对任意的正实数，的最小值为，则此时( )
A. B. C. D.
8. 中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知是边长为的等边三角形，若向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知向量，，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则有最小值
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值为
D. 若，则的值为
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 在非等腰中，满足，则为钝角三角形；
B. 若，，，则符合条件的有两个；
C. 若，则为锐角三角形；
D. 若的面积，，则的最大值为．
12. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图为荣昌折扇，其平面图为图的扇形，其中，，动点在上含端点，连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则 ．
14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 ．
15. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为 ．
16. 在边长为的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 ；的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，
求与的夹角的余弦值．
18. 本小题分
在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．
求角
若，求周长的取值范围．
19. 本小题分
如图，在边长为的正中，为的中点，为中点，，令，，
试用、表示向量；
延长线段交于，求的值．
20. 本小题分
如图，在海岸边点的观测站发现南偏西方向上，距离点海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里时的速度从处沿南偏东方向逃窜．
刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
21. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的值
若，，当的周长最小时，求的值
若，，且的面积为，求的长度．
22. 本小题分
如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点．
求结果用表示；
若
求的取值范围；
设，记，求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于基础题．
利用向量数量积的坐标运算即可求解．
【解答】
解：因为，，
所以，
又因为，
所以．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量共线的概念及充要条件，平面向量坐标的运算，属于基础题．由向量的数乘及坐标加减法运算求得与的坐标，代入向量共线的坐标表示即可求解的值．
【解答】解：，，
则，
，
又与平行，
，
解得：．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题．
利用平面向量的线性运算求得，求出，，即可得解．
【解答】
解：在中，，所以，
所以
所以，．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式的简单运用，充分条件、必要条件的判断，属于中档题．
由已知结合正弦定理可得，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得为直角，结合充分条件及必要条件进行判断即可．
【解答】
解：因为，
由正弦定理可得， 即，
所以，
所以，
因为，所以，，
则，为直角三角形，
但为直角三角形时不一定是，
所以是为直角三角形的充分不必要条件．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算注意向量数量积的定义和运算法则，属于基础题．
设边长，利用正六边形的性质求相应的长度和夹角，再根据向量数量积的定义，从而得到答案．
【解答】
解：已知正六边形，设边长，
则，，
故；
由，，
可得，
由，，，
可得，，
综上所述，数量积中最大的是．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
通过所给条件依次求出，，再由余弦定理可求得．
【解答】
解：由题得，在中，，则，
在中，，
则在中，由余弦定理可得，
则．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的模以及三角恒等变换，计算时需要注意对取值进行讨论，得到取到最小值的条件，然后求解．属于较难题．
对任意的正实数，的最小值为，将表示为含有，，的算式，配方讨论得到，关系后，得到的值，即可求得
【解答】
解：
若，
则当时有最小值，
而，故不成立．
当时有最小值，
，另一解为负，舍去，
故答案选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及利用基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，属于较难题．
由正弦定理和条件得，由余弦定理及基本不等式得到，根据面积公式求出面积的最大值．
【解答】
解：，
，又，
则，，
由余弦定理及，
得，
，
又，得，当且仅当时取等号，
的面积．
当时，的面积有最大值，
故选D

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算，考查分析与计算能力，属于基础题．
根据向量加法的三角形法则判断，根据数量积的定义判断，根据数量积的运算律判断、；
【解答】
解：因为，，
对于：，故A正确；
对于：，故B错误；
对于：，则，故C正确：
对于：，即，故D错误；
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直和向量平行的坐标运算，向量的数量积的坐标运算，考查利用基本不等式求解最值问题，属于中档题．
根据向量的坐标运算，求得，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：，，．
对：若，，则，
当且仅当，即，时取得等号，故选项A正确；
对：若，，则，
当且仅当，时取得等号，故选项B正确；
对：若，则，即，，，当且仅当时取得等号，
则，故选项C错误；
对：，则，又因为，
所以这样的，不存在，故选项D错误．
故选AB．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查解三角形和三角恒等变换，涉及三角函数的性质，属于中档题．
利用正弦函数的性质可判断，由正弦定理可判断，由特殊值法可判断，利用正、余弦定理，结合正切函数的性质可判断．
【解答】
解：对于、由题意，因为，
则或，
则舍或，
则，则为钝角三角形，故A正确
对于、由题意得，
又，则符合条件的有两个，故B正确
对于、取，，
则，但此时为直角三角形，故C错误；
对于、因为，
则，
故，
又为的内角，则，
则，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数与向量的综合．
建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断，；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断，．
【解答】
解：如图，作，分别以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得，且，，
若，则，
解得，负值舍去，故，A正确；
若，则，故B正确；
由于，故，故，故C错误；
由于，
故，
而，
故，故D正确，
故选ABD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查单位向量的基本概念以及两个向量减法运算后模的求法，属于基础题．
算出两个向量减法运算后模的平方的值，就能算出结果．
【解答】
解：由题意可知，．
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算、共线定理，平面向量基本定理的运用，属于中档题．
解法：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值．
解法：根据图形和向量的转化用去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值．
【解答】
解法：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：．
解法：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理和二倍角公式及其应用 ，属于中档题．
由正弦定理及二倍角公式可求得角的余弦值，进而求得角的正弦值以及外接圆半径，故可得解．
【解答】
解：在中，由正弦定理得，则，
，，
，
因为，
，
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，，
故外接圆的面积为．
故答案为．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．
设，表示出，，，利用数量积的定义与性质，分别表示出即可求出．
【解答】
解：如图，设，
是边长为等边三角形，，
，，，，
，
是边长为等边三角形，，
，
则，
，，
的最小值为．
故答案为：，．

17.【答案】解：由已知，得．
设与的夹角为．
则，
与的夹角的余弦值为．
【解析】本题考查向量的数量积，向量的模和向量的夹角，考查了计算能力，属于基础题．
根据向量的数量积进行求解即可；再利用向量的模的公式，根据，代入求解即可；
设与的夹角为，然后根据，将数值代入即可得到答案．
18.【答案】解：由，，有
由，可得，有；
由和正弦定理可知，
可得，
又由为锐角三角形，可得
由，有，可得，有
故周长的取值范围为

【解析】本题考查解三角形的综合运用，属于中档题．
19.【答案】解：
；
令，，
，
，
，解得：，
，，
．
【解析】本题考查了向量的加减与数乘混合运算和向量的数量积，属于中档题．
由向量加法和减法的三角形法则可得结果；
令，，由和，可得、的值，再由向量的数量积计算可得．
20.【答案】解：由题意可知，，．
在中，由余弦定理得．
由正弦定理得，解得，所以．
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的南偏西方向上．
如图，设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
在中，由正弦定理得
解得，则，所以是等腰三角形
，即．
故缉私艇至少需要小时追上走私船．

【解析】本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．
利用余弦定理求，利用正弦定理求即可
利用正弦定理判断出是等腰三角形，即可求出所需的最少时间．
21.【答案】解：由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以
由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为，所以的周长为，
当且仅当，即时取等号，
所以当的周长最小时，
由的面积为，得，
所以，
又，所以，，
由正弦定理，得，
由可得，，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以．
【解析】 本题重点考查正弦定理与余弦定理解三角形，基本不等式的应用，简单的三角变换，考查逻辑推理，转化与化归及运算能力，属稍难题．
利用正弦定理，两角和的正弦公式及辅助角公式化简求解即可．
利用余弦定理及基本不等式即可，注意取等号时的条件．
利用正余弦定理及三角形的面积公式等计算即可求解．
22.【答案】解：；
当时，
．
设，由条件知，，
．
，，
；
设，则，
，
由可得，，
即，整理得，
，
．
即．
而．
令，
当时，；
当时，，利用单调性定义可证明函数在和都是递减的，
设，且，则
则，故，所以在上单调递减，
由于是奇函数，则在和单调递减，
因此，或，
函数值域是．
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于困难题．
直接利用平面向量的数量积把用表示；
利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用表示，化简整理后由得范围求得的取值范围；
设，则，，由可得，，整理得，然后把转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域．