5.3.1函数的单调性专项练习
一、单选题
1．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
2．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，令即可求得单调递增区间.
【详解】，
，
令，解得，
单调递增区间为：.
故选：D.
4．函数的单调递减区间为（ ）
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
【答案】B
【分析】对求导，令求出的范围，即可得出答案.
【详解】的定义域为,
,
令，解得：.
所以函数的单调递减区间为（2，3）.
故选：B.
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中间值法可以比较，构造函数，根据单调性，可以判断，进而可以求解.
【详解】根据题意，，则，
构造函数，所以恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，所以，故.
故选：A
6．已知函数在上可导， 的图象如图所示，其中为函数的导数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先结合图像由函数的增减判断出导数的正负，再解不等式即可.
【详解】由图象可知，在单增，在单减，即在上大于0，在上小于0，
又或，则解集为.
故选：A.
7．已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，并判断出为偶函数，利用导数求出其单调性，将所求的式子转化为，从而得到，解出的范围.
【详解】由，
，
设
所以，即为上的偶函数
当时，，
因为，所以
则在区间上单调递增
所以
即
即
等价于，
即
解得．
故选：A.
8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．
【详解】解：依题意令，则，
所以在上单调递减，
对于不等式，显然，则，即，
又，所以，
所以，即，
所以，
解得，即关于的不等式的解集为.
故选：B．
二、多选题
9．对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．在上单调递减，在上单调递增
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递减，在上单调递增
【答案】BC
【分析】利用导数求函数的单调区间.
【详解】，且，得，
当时，，所以函数的单调递减区间是和，
当时，，函数的单调递增区间是.
故选：BC
10．已知函，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．有2个零点
【答案】BCD
【分析】根据题设条件推导函数的对称关系可判断A,B，利用函数的导数确定单调性，结合对称性可判断C，结合零点的存在性定理可判断D.
【详解】
，即不成立，
所以的图象不关于点对称，A错误；
所以，B正确；
，
当时，当时，
所以在时单调递增， 时单调递减，
因为，所以，
而在时单调递增，所以，C正确；
所以，
且，
因为，所以，
所以在有且仅有一个零点，
又因为，所以关于对称，
所以在有且仅有一个零点，
从而有2个零点，D正确；
故选:BCD.
11．已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，结合导数，利用已知条件求得的单调性，从而确定正确答案.
【详解】构造函数，，
所以在上递增，
所以，
由，得，D选项错误.
由，得，C选项正确.
由，得，B选项正确.
由，得，A选项正确.
故选：ABC
12．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若有3个零点，则a的范围为
B．时，是的极值点
C．时.有唯一零点且
D．时，恒成立
【答案】AC
【分析】对于A,有3个零点转化成直线与的交点个数，对的单调性进行考察，进而可得a的范围.
对于B，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.
对于C，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.
对于D，时，取一个特殊值即可推翻.
【详解】令，则，记则
所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为
若有3个零点，则，故A对.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.
当时，，，故D错.
故选:AC
三、填空题
13．函数的减区间是____________.
【答案】##
【分析】求出，然后由可得答案.
【详解】由可得
所以由可得
所以函数的减区间是
故答案为：
14．函数的递减区间为___________.
【答案】
【分析】求导函数，结合定义域由可求得结果.
【详解】，由得，，
由得，所以函数的递减区间为.
故答案为：.
15．已知函数，关于的不等式，的解集是，则___________.
【答案】
【分析】由题知为偶函数，且在上单调递增，进而得，再分和讨论得的解集是时，，且，再求解即可.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
因为，
所以，当时，，函数为增函数，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
当时，，
令，则，
所以，函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即在时恒成立，
当时，，
令，则，
所以，函数在单调递增，
因为
所以存在，使得，且时，，
综上，的解集是时，，且，
所以，.
故答案为：
16．已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】构造函数,利用导函数判断出当x>0时, 单调递增，得到当x>2时，从而；当时，，从而.由为奇函数得到不等式的解集.
【详解】构造函数，则当时，，所以当x>0时单调递增.
因为f(2)=0，所以，所以当x>2时，从而.
当时，，从而.
又奇函数的图像关于原点中心对称，所以的解集为.
故答案为: .
17．在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】对求导注意定义域范围，讨论、判断的正负确定的单调性，结合已知区间的单调性求参数范围.
【详解】由题设且定义域为，
当时，即在定义域上递增，满足题设；
当时，上，递减，上，递增，
此时，要使在上单调递增，则，可得.
综上，a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
18．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数在区间上不单调，则t的取值范围．
【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）求导分析导函数的正负区间，进而确定的单调区间即可；
（2）求导得到函数的极值点，利用极值点在区间（t，t＋1）内可满足条件，再建立不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，由得x＝1或x＝3，
时，；时，或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）函数f(x)的极值点为x＝1,3.
因为函数f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，所以或解得或，即t的取值范围为
19．已知函数；
(1)求函数在点（1，）处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减.
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出，结合点斜式即可求出答案.
（2）根据导数在函数单调性中的应用，令即可求出答案.
（1）
因为的定义域为，，，则函数在点（1，）处的切线方程为：，所以.
（2）
令，所以或，所以在上单调递增，在上单调递减.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)单调性见解析
【分析】（1）先求解的值，再求解的值，利用导数的几何意义即可求解.
（2）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性.
（1）
解：当时，，，
∴，又，
∴曲线在处的切线方程为；
（2）
解：因为.
当时，在上为增函数；
当时，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，当时，，当时，有，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.
21．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性.
(2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求
【详解】（1）
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上：时在上单调递增.
时在上单调递增，在上单调递减
时在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在区间上有解，即求
当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时在上单调递增，在上单调递减
当时，所以函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以不成立，舍去
时在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以
综上的取值范围为：
22．已知函数，其中为常数．
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，且，试证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）可用导数的知识求其单调性，注意到对题目中条件的运用，即保证导函数有两个零点，再进行计算．
（2）注意到，则上述极限式变形为，再结合不等式求解．
【详解】（1）解：求导得
因．故方程即有两根．
令．解得或
又令．解得
故当时，是增函数；当，时，也是增函数；
但当，时，是减函数
（2）解：易知，，因此
所以，由已知条件得，因此，所以.5.3.1函数的单调性专项练习
一、单选题
1．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间为（ ）
A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞）
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上可导， 的图象如图所示，其中为函数的导数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．在上单调递减，在上单调递增
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递减，在上单调递增
10．已知函，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．有2个零点
11．已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若有3个零点，则a的范围为
B．时，是的极值点
C．时.有唯一零点且
D．时，恒成立
三、填空题
13．函数的减区间是____________.
14．函数的递减区间为___________.
15．已知函数，关于的不等式，的解集是，则___________.
16．已知奇函数的定义域为，当讨，，且，则不等式的解集为___________.
17．在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______.
四、解答题
18．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数在区间上不单调，则t的取值范围．
19．已知函数；
(1)求函数在点（1，）处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
21．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
22．已知函数，其中为常数．
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，且，试证：．
