函数的单调性问题
题型一、已知单调性求参数
【1】.若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【2】.若在内单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【3】.已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【4】.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【5】.若函数(其中a为参数)在R上单调递增，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【6】．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_________．
【7】．已知函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为_________．
【8】．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_________．
【9】．函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是_________．
【10】．已知函数(e为自然对数的底数)是上的增函数，则实数的取值范围是_________．
【11】．已知函数，若，则_________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是_________．
【12】．若函数在区间单调递增，则的取值范围是_________；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_________．
【13】.函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________．
【14】．已知函数．
（1）当时，求函数在点(e，f(e))处的切线方程
（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【15】．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【16】．已知函数．
（1）若的单调递减区间为，求实数a的值；
（2）若在区间内单调递减，求实数a的取值范围．
题型二、含参单调性讨论
【17】．已知函数.讨论函数的单调性；
【18】．已知函数.讨论函数的单调性；
【19】．已知函数.讨论的单调性；
【20】．已知函数.讨论的单调性；
【21】．已知函数，.讨论函数的单调性；
【22】．已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
【23】．设函数，讨论的单调性.
【24】．已知函数．讨论的单调性；
【25】．【2021年新高考2卷】已知函数．讨论的单调性；
【26】．已知函数.讨论的单调性.函数的单调性问题
题型一、已知单调性求参数
【1】.若函数在区间单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即，则在上恒成立，令，
因为在上恒成立，
所以在上单调递减，则，所以．故选C．
【2】.若在内单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由在单调递减，
所以，所以，所以．故选A．
【3】.已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得．因此，实数的取值范围是．故选A．
【4】.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【解析】
在区间上恒成立，则在区间上恒成立
即
故选：A
【5】.若函数(其中a为参数)在R上单调递增，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在R上单调递增，
等价于在R上恒成立．
设，则在上恒成立，
所以解得．故选C．
【6】．若函数在区间内存在单调减区间，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】，因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．若即时，则即，故．若即时，则即，无解．
若，则即，，故．
【7】．已知函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】，
由题意可知或在区间上恒成立．
当在区间上恒成立时，，
当时，，因此有；
当在区间上恒成立时，，
当时，，因此有，
综上所述：实数的取值范围是．故答案为．
【8】．已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题得，因为函数在上有增区间，
所以存在使得成立，即成立，因为时，，
所以．故答案为.
【9】．函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，．
令，，可得，列表如下：
极小
所以，函数在处取得极小值，
由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，
则，由题意可得，解得．因此，实数的取值范围是．
【10】．已知函数(e为自然对数的底数)是上的增函数，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】是上的增函数，在上恒成立，即，令，当时，恒成立，符合题意；
当时，如图，不符合题意；当时，令，则，
令，解得，则当，，单调递减，
当，，单调递增，，解得，综上，的取值范围是．
【11】．已知函数，若，则_________；若函数在单调递增，则实数的取值范围是_________．
【答案】2
【解析】，（1）依题意，．
（2）依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，构造函数，
，所以在区间上，递增；在区间上，递减．所以在区间上的极大值也即是最大值为．
所以．所以实数的取值范围是．故答案为；
【12】．若函数在区间单调递增，则的取值范围是_________；若函数在区间内不单调，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】①由，得，由函数在区间单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，．
的取值范围是；
②函数在区间内不单调，在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由，解得，．
而在区间上单调递减，在，上单调递增．的取值范围是．
故答案为 ；．
【13】.函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】将函数在上单调递减，
转化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得.故答案为.
【14】．已知函数．
（1）当时，求函数在点(e，f(e))处的切线方程
（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，定义域为，
，所以函数在点(e，f(e))处的切线的斜率为，
又，所以函数在点(e，f(e))处的切线方程为，即．
（2）因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，因为在上为单调递减函数，
所以当时，取得最大值0，所以．
【15】．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）若时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
①若时，，此时函数在上单调递增；
②若时，令，可得，，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2），
若函数在区间上是增函数，
又当时，恒成立，
令，，则，
令，有，可得函数的增区间为，减区间为，
所以，有，
故实数的取值范围为．
【16】．已知函数．
（1）若的单调递减区间为，求实数a的值；
（2）若在区间内单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】由题意得．
（1）因为的单调递减区间为，
所以和1是方程的两个根，所以，所以．
当时，，由得，所以的单调递减区间为，符合题意，所以．
（2）因为在区间内单调递减，所以在内恒成立．
又二次函数的图象开口向上，方程的一根为，
所以，所以．所以实数a的取值范围是．
题型二、含参单调性讨论
【17】．已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】由知定义域为，且
时，在上，故在上单调递增；
②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减.
【18】．已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，
①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
②当，即时，由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【19】．已知函数.讨论的单调性；
【解析】
函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
【20】．已知函数.讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
【21】．已知函数，.讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，
所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令得，令得，
所以在上单调递减：在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
【22】．已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
【解析】由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
【23】．设函数，讨论的单调性。
【解析】
①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
②当时，令则，：
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
当，即时，，单调递增；
当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
【24】．已知函数．讨论的单调性；
【解析】设．
当时，则，在R上单调递增，
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
【25】．【2021年新高考2卷】已知函数．讨论的单调性；
【解析】，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
【26】．已知函数.讨论的单调性.
【解析】函数的定义域为，，
时， 时，，此时函数单调递增，
时，，此时函数单调递减；
时，，，此时函数在单调递增；
时，时，，此时函数单调递增区间为；
时，，此时函数单调递减．
时，时，，此时函数单调递增区间为；
时，，此时函数单调递减．
综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减.
