双曲线小题------限时练习
一、单选题
1．双曲线，离心率为，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
5．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的右焦点为，以原点为圆心，焦距为直径长的圆与双曲线在轴上方的交点分别为，，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知过坐标原点O的直线交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（ ）
A．3 B． C．6 D．
8．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A．38 B．22 C．10 D．8
二、多选题
9．已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的右焦点为
C．与圆没有交点 D．直线的方程为
11．已知点A，B分别是双曲线的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA、PB的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1
C．为定值 D．存在点P，使得
12．已知双曲线的左右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于、两点，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________
14．已知双曲线与圆（为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为______.
15．已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率是__________.
16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则________.双曲线小题------限时练习
一、单选题
1．双曲线，离心率为，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
5．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的右焦点为，以原点为圆心，焦距为直径长的圆与双曲线在轴上方的交点分别为，，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知过坐标原点O的直线交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（ ）
A．3 B． C．6 D．
8．双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）
A．38 B．22 C．10 D．8
二、多选题
9．已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的右焦点为
C．与圆没有交点 D．直线的方程为
11．已知点A，B分别是双曲线的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA、PB的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1
C．为定值 D．存在点P，使得
12．已知双曲线的左右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于、两点，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________
14．已知双曲线与圆（为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为______.
15．已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率是__________.
16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则________.
参考答案：
1．B
【详解】由题可知，，得，
则渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1，
可得，可解得，所以，由得.
所以双曲线方程为.
故选:B.
2．D
【分析】由抛物线可得双曲线的右焦点为，根据题意列式求解，即可得双曲线离心率.
【详解】由抛物线可得焦点，则双曲线的右焦点为，即，
若轴，可设，则，
由题意可得：，解得，
∴双曲线的离心率为.
故选：D.
3．B
【分析】先将曲线方程化为标准方程，再求渐近线方程.
【详解】，
若，，，
若，，
故渐近线方程为，
故选：B.
4．B
【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点A，B的坐标，然后列式求出a，b的关系即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为或，
显然直线与直线交点在第一象限，则有，即，
由解得，即点，
由解得，即点，而，
即，整理得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
5．A
【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.
【详解】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，
故．
故选：A
6．B
【分析】根据双曲线的对称性结合双曲线的定义，利用点在在圆上，结合勾股定理可求得，即可得，从而可确定双曲线的渐近线方程.
【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接
由双曲线与圆的对称性可得，由由双曲线的定义可得，
所以，由点在圆上，所以，即，
则，故，则，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
7．B
【分析】作出图形，利用双曲线的对称性可知：为平行四边形，再利用双曲线的定义得出的长，在焦点三角形中利用余弦定理求出角，从而得出，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】设双曲线的左焦点为，根据题意作出图形，如图所示：
由双曲线的对称性可知：为平行四边形，所以，
由双曲线的定义可知：，则，
，在中，因为，
由余弦定理可知：，
所以，则，
所以，
故选：.
8．C
【分析】根据双曲线方程的渐近线求出，根据的关系可求出，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】由一条渐近线方程为得，.
由双曲线定义可知，，
要使的值最小，则应尽可能大，应尽可能小，
故点M应为双曲线右支上一点，故，即.
故，
当且仅当即时等号成立，
此时，故可以取到等号取得最小值为10.
故选：C.
9．AD
【分析】根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得.
【详解】若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为，
则，解得，双曲线C方程为；
若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为，
则，解得，双曲线C方程为.
故选：AD.
10．CD
【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解.
【详解】对于AB，由双曲线可得，
所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；
对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，
所以与圆没有交点，故正确；
对于D，设，则，，
两式相减，得，
因为的中点为，所以等式可得，
易得直线的斜率存在，故可得，
则直线为即，
联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，
此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，
故直线l的方程为，故正确.
故选：CD
11．ABC
【分析】A选项，求出，得到离心率；B选项，求出焦点坐标和渐近线方程，得到焦点到渐近线的距离；C选项，设，表达出，结合求出；D选项，设，，由渐近线方程得到，结合得到.
【详解】A选项，由题意得：，，故，
故离心率为，A正确；
B选项，双曲线C的焦点为，渐近线的方程为，
故焦点到渐近线的距离为，B正确；
C选项，由题意得：，设，则，，
故，，C正确；
D选项，设，，，，
因为渐近线的方程为，故，即，
使得，D错误；
故选：ABC
12．BC
【分析】分和与轴不垂直两种情况，结合几何关系以及双曲线的定义、性质可求解.
【详解】当轴时，将代入得解得，
所以，且，
因为为等腰直角三角形，所以
所以，所以，则有，
即，解得（舍）或，
当与轴不垂直时，由于对称性，不妨设倾斜角为锐角，
且在轴上方，则可得，
所以由为等腰直角三角形可得，
根据双曲线的定义可得所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
在直角三角形中，，
即，整理得，解得，
故选:BC.
13．
【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可
【详解】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
14．
【分析】将双曲线方程和圆的方程联立可求得，由曲线对称性和正方形特征知，由此构造齐次方程求得离心率.
【详解】由得：，，
两曲线交点恰为一个正方形四个顶点，，即，
整理可得：，，
解得：，又，，则.
故答案为：.
15．
【分析】根据双曲线的定义求出，，再在中利用余弦定理得到，即可得解.
【详解】解：因为，，故，，
在中，利用余弦定理得到，
化简整理得到，即，
所以离心率.
故答案为： .
16．4
【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，不妨设
则根据椭圆、双曲线定义得：，
可得：，，
设，，
在中利用余弦定理得，，
可得
整理得，即，也就是
故答案为：4
