函数的单调性与构造函数
与导数运算相关的构造
【1】．已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为___________．
【答案】．
【解析】，设，
则，是上的减函数，且，
不等式，即为，所以，
得，解得或，原不等式的解集为．
故答案为．
【2】．已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为___________．
【答案】
【解析】设，则，
因为对任意，，所以，
所以对任意， 是单调递增函数，
因为，所以，
由，可得，则的解集．故答案为．
【3】．已知定义域为的函数满足，，其中为的导函数，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】设，则，所以单调递增．
，即
，所以，所以．
故答案为.
【4】．设的定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，所以在上是增函数，
所以，即，故选B．
【5】．定义在的函数，对任意，恒有，，，则与的大小关系为
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】令，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
因为，所以，即，所以，故选A.
【6】．已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为．故选A．
【7】．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数，则，
因为，所以，所以在上是增函数，
，，
，所以，故选A.
【8】．已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，，则，
因为，，所以，所以在上为单调递减函数，当时，由可知，不满足；
当时，，所以可化为，
即，因为在上为单调递减函数，所以，
所以不等式的解集为．故选A.
【9】．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为且，所以是奇函数，
设，则时，，
所以在是减函数．又是奇函数，所以也是奇函数，
因此在是递减，从而在上是减函数，
不等式为，即，
所以．故选B．
【10】．（多选）定义在R上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】构造函数，则，
因为，所以，则在R上单调递增，
所以，，，，
即，，，，
则，，，，
即AC正确，BD错误；故选AC．
【11】．已知定义在R上的可导函数函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则的图象关于x=0轴对称，
所以的图象关于x=1对称，因为，所以，设函数，
则，因为，所以，即，所以为减函数，
因为，所以，即，又，所以，
所以，故选D.
【12】．（多选）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由知，令，
则，所以在上单调递减，
即，
当时，；当时，；
A：，有，，所以；
B：由上得成立，
整理有；
C：由，所以，整理得；
D：令且时，，，，
有，，所以无法确定的大小．
故选ABC
【13】．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________．
【答案】
【解析】因为，
所以为增函数，因为，
所以，即，
所以，即．故答案为.
【14】．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________．
【答案】
【解析】因为，所以为增函数．所以，即，即．
【15】．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】由题意，令，则，
因为时，，则，
故在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以，
所以，即是上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，
所以时，．故答案为．
【16】．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】当时，，且为偶函数，
在单调递减，，解得，故答案为．
【17】．定义在上的函数满足，且，则的解集为_________．
【答案】
【解析】令，则，
因为定义在上的可导函数满足，
所以在上恒成立，所以在上单调递增；
又，所以，因此，当时，，所以，
当时，，所以，故答案为．
【18】．的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为偶函数，则，所以，函数为偶函数．，
当时，，则，所以，函数在上为增函数，
，可得，由可得，即，
所以，，，解得或．
因此，不等式的解集为．故答案为．
由题目特点构造
【19】．若，，，其中为自然对数的底数，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，所以；
，由时，，即在单调递减，故，即，从而得，故．故选A.
【20】．已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，令，则，
而，所以时，即在上单调递增，
所以，即，故选A．
【21】．已知且，且，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为，，
所以，，，
结合函数的单调性易知，即，
因为，所以，，故选A．
【22】．（多选）下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】构造函数，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以当时，取得最大值．
A选项，，
由可得，故A正确；
B选项，，由，
可得，故B错误；
由可推导出，即，即，
则，即，所以，故C正确；
D选项，因为，
所以，所以，故D错误．故选AC．
【23】．已知，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，
时，，则在上递减，
时，，则在上递增，
由可得，化为
所以，则，同理，；，，
因为，所以，可得，
因为在上递减，所以，故选C．
【24】．已知，，若，则下列结论一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，则，
所以，令，则，
所以在上单调递增，所以，所以；
当时，则，所以，不合题意；
当时，则，
所以，所以，所以，
综上可得，故选D函数的单调性与构造函数
与导数运算相关的构造
【1】．已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为___________．
【2】．已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为___________．
【3】．已知定义域为的函数满足，，其中为的导函数，则不等式的解集为_________．
【4】．设的定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，，，则
A． B． C． D．
【5】．定义在的函数，对任意，恒有，，，则与的大小关系为
A． B． C． D．无法确定
【6】．已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
【7】．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
【8】．已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，e是自然对数的底数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【9】．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为
A． B．
C． D．
【10】．（多选）定义在R上的函数，其导函数满足，则下列不等关系正确的是
A． B．
C． D．
【11】．已知定义在R上的可导函数函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【12】．（多选）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
【13】．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________．
【14】．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________．
【15】．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为_________．
【16】．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为_________．
【17】．定义在上的函数满足，且，则的解集为_________．
【18】．的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为_________．
由题目特点构造
【19】．若，，，其中为自然对数的底数，则
A． B． C． D．
【20】．已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【21】．已知且，且，，则
A． B． C． D．
【22】．（多选）下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
【23】．已知，，，则
A． B． C． D．
【24】．已知，，若，则下列结论一定成立的是
A． B．
C． D．
