6.3.1平面向量基本定理 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

6.3.1平面向量基本定理 同步练习
一、单选题
1．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
3．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，，若点满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在同一平面上，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点（O，P不在直线l上），且，则的值可能是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）
A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
11．在菱形中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．若，则
三、填空题
13．已知中，点D满足，若，则___________.
14．如图，在中，为的中点，，若，则______.
15．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
四、解答题
17．在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
18．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
19．如图在中，已知P为线段上一点，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，，，且与的夹角为，求的值．
20．已知平面直角坐标系中，点，点（其中a，b为常数，且），点O为坐标原点.如图所示，设点是线段的n等分点，其中，
(1)当时，求的值（用含a，b的式子表示）；
(2)当时，求的最小值.
（说明：可能用到的计算公式：.）
21．已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
22．如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积。
参考答案
1--8CCACD BCB
9．AB
10．AD
11．ABD
12．ABC
13．
14．
15．
16．
17．
（1），
；
（2）.
18．（1）由题可知：＝，
（2），
共线，
且有一公共点，
∴E，G，F三点共线．
19．（1）由于，所以是线段的中点，
所以，
所以.
（2）
由于，所以
.
,
所以
.
20．（1）由题意得，，
所以，
事实上，对任意正整数m，n，且m+n=2022，
有，
，
所以
所以当时，.
（2）当a=b=1，n=10时，
，同理
当i=6，7，8，9时，，
当i=7时，上式有最小值
当i=5时，
当i=1，2，3，4时，，
当i=3时，上式有最小值
综上，的最小值是.
21．（1）设的中点为，则；
（2）如图：点、是线段的三等分点，
，，，
则
；
（3）层次一：
设是的二等分点，则，，
设、、是线段的四等分点，则，
或设、、…、是线段的等分点，则（，2，…，），
层次二：
设、、…、是线段的等分点，，
层次三：
设、、…、是线段的等分点，则．
22．（1），，，
，，
，，
，，
，
又，
，解得．
（2）由（1）知，，
．
（3），，
，
又，
．