4.2等差数列 综合练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.2等差数列 综合练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-04 20:31:12 | ||
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文档简介
4.2等差数列 综合练习
一、单选题
1．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题不正确的是（ ）
A．的最大值为12 B．数列是公差为的等差数列
C．是4的倍数 D．
2．是等差数列，且，则的值为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
3．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
4．等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
5．已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．1011 B．2022 C．3033 D．4044
6．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列共有5项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（ ）
A．数列中一定存在一项为0；
B．存在使得；
C．数列一定是等差数列；
D．集合中元素个数为15．
8．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．
二、多选题
9．已知公差为d的等差数列前n项和为，若存在正整数，对任意正整数m，恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．有最小值 C． D．
10．已知等差数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列，均为等差数列，且，，，则下列各数是数列中项的有（ ）
A．810 B．922 C．1147 D．1540
12．设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得
三、填空题
13．若数列满足，则__________．
14．若各项均为正数的数列中，，前项和为，对于任意的正整数满足，则数列的通项公式______.
15．数列满足：，，，若，则的最大值为______.
16．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.
四、解答题
17．在等差数列中，求：
(1)；
(2)求数列的通项公式．
18．流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天，该市新增患者人数最多.
(1)求第n天的新增患者人数（结果用n表示）；
(2)求前n天的新增患者的人数之和（结果用n表示）；
(3)若截止12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求n的值.
19．设为各项均不相等的数列，为它的前n项和，满足.
(1)若，且，，成等差数列，求的值；
(2)若的各项均不为零，问当且仅当为何值时，成等差数列？试说明理由.
20．已知数列，满足，；
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前2n项和．
21．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
22．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)。
参考答案
1--8DDAAB CDC
9．ABD 10．CD 11．ACD 12．ACD
13．
14．
15．675
16．397
17．（1）因为等差数列且,
所以
即,
所以
（2）因为等差数列且,
所以
解得
得
所以
18．（1）12月1~n日，每天新增患者人数构成等差数列.其首项为20，公差为50，第n天的新增患者人数为（且）.
（2）前n天的新增患者总人数为（且）.
（3）12月日，每日新增患者人数构成另一个等差数列.首项为，公差为，项数为，
∴第日新增患者总人数为
.
由题意得，整理得，
解得或49.
∵且，∴.
19．（1）令，有，所以且.
令，有，所以.
由，，成等差数列得，即，
解得，故的值为.
（2）时，，所以，
即，，所以， .
假设成等差数列，则，，成等差数列，即.
又，，
所以，由的各项均不为零，知，
则，解得或.
当时，，与中的各项均不相等矛盾，故舍去.
当时，，，即，.
所以时，，所以时，.
又时，满足上式，所以，.
所以时，（与无关的常数），
即成等差数列.
故当且仅当时，成等差数列.
20．(1)
∵，
∴，即，又，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴；
(2)
∵，
∴，
∴
.
21．（1）∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴，∴.
（2）由（1）知{an}的前n项和.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当时，bn＝|an|＝3n－8；
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当时，Tn＝－Sn＋2S2＝.
∵，∴，
即(3n－100)(n＋29)0，解得，∴n的最小值为34.
22．（1）由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
（2）设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为正整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
（3）同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
一、单选题
1．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题不正确的是（ ）
A．的最大值为12 B．数列是公差为的等差数列
C．是4的倍数 D．
2．是等差数列，且，则的值为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
3．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
4．等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
5．已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．1011 B．2022 C．3033 D．4044
6．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列共有5项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（ ）
A．数列中一定存在一项为0；
B．存在使得；
C．数列一定是等差数列；
D．集合中元素个数为15．
8．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．
二、多选题
9．已知公差为d的等差数列前n项和为，若存在正整数，对任意正整数m，恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．有最小值 C． D．
10．已知等差数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列，均为等差数列，且，，，则下列各数是数列中项的有（ ）
A．810 B．922 C．1147 D．1540
12．设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．和均为的最大值
C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得
三、填空题
13．若数列满足，则__________．
14．若各项均为正数的数列中，，前项和为，对于任意的正整数满足，则数列的通项公式______.
15．数列满足：，，，若，则的最大值为______.
16．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.
四、解答题
17．在等差数列中，求：
(1)；
(2)求数列的通项公式．
18．流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天，该市新增患者人数最多.
(1)求第n天的新增患者人数（结果用n表示）；
(2)求前n天的新增患者的人数之和（结果用n表示）；
(3)若截止12月30日，该市30天内新增患者总共有8670人，求n的值.
19．设为各项均不相等的数列，为它的前n项和，满足.
(1)若，且，，成等差数列，求的值；
(2)若的各项均不为零，问当且仅当为何值时，成等差数列？试说明理由.
20．已知数列，满足，；
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前2n项和．
21．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Tn为数列{bn}前n项的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值．
22．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)。
参考答案
1--8DDAAB CDC
9．ABD 10．CD 11．ACD 12．ACD
13．
14．
15．675
16．397
17．（1）因为等差数列且,
所以
即,
所以
（2）因为等差数列且,
所以
解得
得
所以
18．（1）12月1~n日，每天新增患者人数构成等差数列.其首项为20，公差为50，第n天的新增患者人数为（且）.
（2）前n天的新增患者总人数为（且）.
（3）12月日，每日新增患者人数构成另一个等差数列.首项为，公差为，项数为，
∴第日新增患者总人数为
.
由题意得，整理得，
解得或49.
∵且，∴.
19．（1）令，有，所以且.
令，有，所以.
由，，成等差数列得，即，
解得，故的值为.
（2）时，，所以，
即，，所以， .
假设成等差数列，则，，成等差数列，即.
又，，
所以，由的各项均不为零，知，
则，解得或.
当时，，与中的各项均不相等矛盾，故舍去.
当时，，，即，.
所以时，，所以时，.
又时，满足上式，所以，.
所以时，（与无关的常数），
即成等差数列.
故当且仅当时，成等差数列.
20．(1)
∵，
∴，即，又，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴；
(2)
∵，
∴，
∴
.
21．（1）∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴，∴.
（2）由（1）知{an}的前n项和.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当时，bn＝|an|＝3n－8；
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当时，Tn＝－Sn＋2S2＝.
∵，∴，
即(3n－100)(n＋29)0，解得，∴n的最小值为34.
22．（1）由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
（2）设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为正整数且，
那么为中的一项．
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
（3）同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.