6.1平面向量的概念 同步练习（含解析）

第一节 平面向量的概念 同步练习
一、单选题（共12题）
1．有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（ ）
A．＝ B． C．＞ D．＜
3．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
4．下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行向量也叫共线向量
B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合
C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量
D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同
7．，为非零向量，且，则（ ）
A．，同向 B．，反向
C． D．，无论什么关系均可
8．下列命题中正确的个数是（ ）
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线
10．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
11．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=|| B．与共线
C．与共线 D．与共线
二、填空题（共2题）
13．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
14．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
三、解答题（共3题）
15．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
16．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
17．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．
参考答案：
1．B
【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.
【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；
对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.
综上，错误的是②③⑤，共3个.
故选：B.
2．B
【分析】根据向量的大小和方向来判断，另外再根据向量除了相等，是不能比较大小的来判断.
【详解】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，
又向量不是实数，是不能比较大小的.
故选：B.
3．C
【分析】由图形一一列出可得答案.
【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
4．B
【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．
5．D
【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.
【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②∥，则与为共线向量，故不正确；
③，向量的模长是非负数，故正确；
④｜｜=1，故正确；
⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
故选：D.
6．D
【解析】根据共线向量的定义判断AB；由的模长为，得出是一个与同向的单位向量；举例排除D.
【详解】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；
两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；
的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确；
从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；
故选：D
【点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题.
7．A
【解析】分别讨论与不共线,与同向,与反向且的情况,进而得到结果
【详解】当两个非零向量与不共线时,的方向与,的方向都不相同,且；当向量与同向时,的方向与,的方向都相同,且；
当向量与反向且时,的方向与的方向相同（与的方向相反）,且,
故选:A
【点睛】本题考查向量的加法,考查向量的模
8．B
【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可．
【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；
零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；
零向量的模等于0，故④错.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的基本概念的应用问题，属于基础题．
9．D
【分析】根据零向量、单位向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】解：对于A：模为的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；
对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；
对于C：平行向量即共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；
故选：D
10．B
【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
11．A
【分析】由零向量、相等向量、共线向量及向量的概念判断各项的正误.
【详解】①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
12．C
【分析】结合平面图形的几何性质逐项分析即可求出结果.
【详解】因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；
故选：C.
13．矩形
【分析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状.
【详解】由已知，，
则且共线反向，且共线反向，
则四边形ABCD为平行四边形，
又，对角线相等，
所以四边形ABCD为矩形.
故答案为：矩形.
14． 、、、、、、、; 、、
【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
15．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
16．(1)
(2)
(3)
【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）与长度相同，方向相同的向量有：；
（2）与长度相同，方向相反的向量有：；
（3）与方向相同或相反的向量有：.
17．m=3，n=23.
【分析】根据平面向量的几何意义和相等向量、共线向量的概念即可得出结果.
【详解】与方向相同的向量仅有，
又，故；
与向量的模相等的向量有两类：
(1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是
以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)；
(2)正六边形的六条边上的向量，有(个)
故.