4.3等比数列专项练习
1．在等比数列中，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.
【详解】设等比数列的公比，则，而，，
于是得，即，解得，所以.
故选：A
2．已知等比数列的各项均为正数，目，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用的等比数列的下标和性质推得，再根据对数的运算结合等比数列下标和性质，即可求得答案.
【详解】由题意等比数列的各项均为正数，目，
则，故，
所以
，
故选：C
3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】设这三个数分别为，根据条件列方程组，求出，再得到这个等比数列的公比即可.
【详解】设这三个数分别为，则.
因为这三个数的和等于14，积等于64，所以.
联立方程组，可得或，
所以当时，这个等比数列的公比为；
当时，这个等比数列的公比为，
所以等比数列的公比是2或.
故选：A.
4．在等比数列中，，，则等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.
【详解】解：在等比数列中，，，
则，
所以.
故选：B
5．已知数列满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用累加法，得到，然后得到，进而得到
，最后根据二次函数和指数函数的性质，
得到时，的最小值.
【详解】，
，根据累加法，得到，得到，
检验，当时，满足，，
，明显地，
根据指数函数和二次函数的性质，当且仅当时，有最小值，此时，最小值为
故选：A
6．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先变形递推公式为，判断数列是等比数列，再利用累乘法求数列的通项公式，可得答案.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴，
当时，
，
∵n＝1时，，∴，
，
故选：D.
7．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由为各项均为正数的等比数列，且，,
设数列公比为 ,可得 ，且，则，
解得 ，
故 ,
故选：D.
二、多选题
8．下列关于数列的说法正确的有（ ），其中.
A．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列
B．若数列是等比数列，则数列一定是等差数列
C．若函数在单调递增，则数列一定是单调递增数列
D．若数列是单调递增数列，则函数在单调递增
【答案】AC
【分析】AB选项用定义即可判断，若函数单调递增，则对应数列一定单调递增，反之，则不成立.
【详解】A选项，数列是等差数列，，则.故A选项正确.
B选项，因为数列为等比数列，若，则无意义.故B选项错误.
C选项，若函数在单调递增，则数列一定是单调递增数列，故C选项正确.
D选项，若数列是单调递增数列，则函数在单调递增，且也成立.故D选项错误.
故选：AC
9．已知数列满足：，，若，且数列是单调递增数列，则（ ）．
A．数列是等差数列
B．数列的通项公式是
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】由已知可推得.构造数列，得是等比数列，求出，即可得出表达式，可判断B项，根据定义可判断A项；由已知可得，根据成立可得，又可得，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，则由可得，，
所以.
令，则，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，. 所以不是一个常数，所以数列不是等差数列，故A项错误；
对于B项，由A项分析已知，故B项正确；
对于C项，由A项分析已知，所以，所以当时，.因为数列是单调递增数列，所以在且上恒成立，所以，即恒成立，所以；又，，由可得，所以.综上所述，，故C项错误；
对于D项，由C项解析知，，故D项正确.
故选：BD.
10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列
C． D．中任意三项不能构成等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的前项和以及等比数列的定义，逐项判断即可.
【详解】因为，所以写．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．当时，，且，故B错误；
由当时，可得，故C正确；
因为，设，，，由，故矛盾，故D正确.
故选：ACD．
11．设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BC
【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项
【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，
，则．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得：，故D错误．
故选：BC
三、填空题
12．记数列的前项和为且，则__________．
【答案】##
【分析】由，利用与的关系即可解出.
【详解】解：当时，，
当时，由，
得，
两式相减得，
又，
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
13．已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．
【答案】31
【分析】由等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】由，且得：，
令，则，
解得或（舍），所以，
而数列为正项等比数列，所以，所以，
所以.
故答案为：31
14．由正数组成的等比数列中，若，则__________．
【答案】
【分析】由已知，根据条件，借助等比中项的性质可得：，然后利用对数的运算，将原式化为，然后将代入，即可完成求解.
【详解】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以
由等比中项性质可知：
所以
.
故答案为：.
15．已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．
【答案】18
【分析】先根据得到，从而，对进行整理，用含的式子表示，再用基本不等式进行求解最小值.
【详解】由得，所以，，故，解得：或，因为数列是各项均为正数，所以，故，
所以
．
当且仅当时取得最小值．
故答案为：18
四、解答题
16．已知数列满足．
数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用递推公式，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）结合错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
而，
所以有，也适合
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以有；
（2），
，
两式相减，得：
，代入中，得：
，
设，
因为，所以，
因此要想不等式对任意恒成立，
只需，即实数取值范围为.
17．已知等差数列的前项和为，，，求：
(1)；
(2)若、、成等比数列，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式与；
（2）由（1）可得、、的值，再根据等比中项的性质得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，所以，解得，所以，
则.
（2）解：由（1）可知，，，
又、、成等比数列，
所以，即，解得或（舍去）.
18．已知等差数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得等差数列的首项与公差的值，进而求得数列的通项公式；
（2）先求得等比数列的首项与公比的值，再利用分组求和法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列公差为d，则，
解得，所以
（2）设等比数列公比为q，
由可得，
两式相减可得：，则.
又，且是等比数列，所以，故
则
19．已知数列是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式：
(2)已知，求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合等比中项列式求出数列的公差，即可求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由得，解得，
又是和的等比中项，有，则，
整理得，而，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
所以
.
20．在数列{}中，
(1)求证：是等比数列：
(2)求数列{}的前n项和.
【答案】(1)证明过程见详解 (2)
【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证；
(2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意知：，所以，
即，又，
所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）可知：，所以，
所以
.4.3等比数列专项练习
一、单选题
1．在等比数列中，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．已知等比数列的各项均为正数，目，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．或
4．在等比数列中，，，则等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．已知数列满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
8．下列关于数列的说法正确的有（ ），其中.
A．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列
B．若数列是等比数列，则数列一定是等差数列
C．若函数在单调递增，则数列一定是单调递增数列
D．若数列是单调递增数列，则函数在单调递增
9．已知数列满足：，，若，且数列是单调递增数列，则（ ）．
A．数列是等差数列
B．数列的通项公式是
C．若，则
D．若，则
10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列
C． D．中任意三项不能构成等差数列
11．设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
三、填空题
12．记数列的前项和为且，则__________．
13．已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．
14．由正数组成的等比数列中，若，则__________．
15．已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．
四、解答题
16．已知数列满足．
数列满足，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数取值范围．
17．已知等差数列的前项和为，，，求：
(1)；
(2)若、、成等比数列，求.
18．已知等差数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且，求数列的前项和.
19．已知数列是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式：
(2)已知，求数列的前20项和．
20．在数列{}中，
(1)求证：是等比数列：
(2)求数列{}的前n项和
