4.2等差数列专项练习
一、单选题
1．设等差数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．是等差数列，且，则的值为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
5．若数列满足，且对于都有，则（ ）
A． B． C． D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（ ）
A．4956 B．4959 C．4962 D．4965
7．已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
9．已知等差数列则（ ）
A．该数列的通项公式为
B．是该数列的第13项
C．该数列的前5项和最大
D．设该数列为，则
10．已知等差数列的前项和，其公差，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
11．已知等差数列满足，前3项和，则（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的公差为
C．数列的前项和为
D．数列的前20项和为
12．已知数列满足，其中，Sn为数列{}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B．数列{}的通项公式为：
C．数列{}为递减数列 D．若对于任意的都有，则
三、填空题
13．设是等差数列的前项和，若，则_____．
14．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．
15．在等差数列中，已知，则该数列前项和__________．
16．已知数列满足，，则___________.
四、解答题
17．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
18．在等差数列中，已知 且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
19．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
20．已知数列的前项和为，，.
(1)证明：是等差数列；
(2)求.4.2等差数列专项练习
一、单选题
1．设等差数列的前n项和为，则( )
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】设数列首项为，公差为，由，等差数列通项公式，及等差数列前项和公式可得答案.
【详解】设数列首项为，公差为，则
，则由有：
，即
又，则.故选：B
2．是等差数列，且，则的值为( )
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质计算．
【详解】解：因为是等差数列，设公差为，则，
，
所以，，也成等差数列，
所以．故选：D．
3．已知等差数列的前项和为，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，解得：，
.故选：B.
4．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是( )
A．4039 B．4038 C．4037 D．4036
【答案】B
【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】因为，所以等差数列是递减数列，
因为，
所以，且，，
所以使数列的前项和成立的最大自然数是4038．故选：B
5．若数列满足，且对于都有，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案.
【详解】因为对于都有，
，令，
所以，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
所以，
所以，
所以，，……，
，
将这项累加，则，
所以，
则，
所以.
故选：D.
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则( )
A．4956 B．4959 C．4962 D．4965
【答案】D
【分析】先利用累加法求出，得到当时，；当时，；当时，；当时，，直接求和可得答案.
【详解】由，且，根据累加法可得：
时，
，
所以，又也适合上式，
所以.
所以.
当时，；当时，；当时，；当时，.
因此.故选：D.
7．已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围.
【详解】当时，，
当时满足上式，
所以，
所以，
所以
所以，
由可得，
即恒成立，
因为对勾函数在单调递增，
所以当时有最小值为64，
所以，故选:A.
二、多选题
8．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A．数列是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】BCD
【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答.
【详解】数列的前项和，当时，，
而满足上式，所以，B正确；
数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确；
当时，，C正确；
当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，
因此当或4时，取得最大值，D正确.故选：BCD
9．已知等差数列则( )
A．该数列的通项公式为
B．是该数列的第13项
C．该数列的前5项和最大
D．设该数列为，则
【答案】AD
【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.
【详解】依题意，所以，故A正确；
由，得，故B不正确；
由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C不正确；
，
，故D正确.故选：AD
10．已知等差数列的前项和，其公差，，则下列结论正确的是( )
A． B．的最小值为
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的单调性可出，可判断AB选项；利用等差数列的单调性可判断C选项；利用等差数列的求和公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由于，则，所以，，
所以，，A对；
对于B选项，因为，则数列为单调递增数列，
当时，；当时，.
所以，数列的最小值为，B对；
对于C选项，由B选项可知，，C错；
对于D选项，，D对.故选：ABD.
11．已知等差数列满足，前3项和，则( )
A．数列的通项公式为
B．数列的公差为
C．数列的前项和为
D．数列的前20项和为
【答案】BCD
【分析】通过基本量计算得和d，可判断ABC；用裂项相消法求和可判断D.
【详解】设等差数列的公差为
由题知，，解得，则，，故A错，BC正确；
记的前n项和为，因为，
所以
所以，故D正确.故选：BCD
12．已知数列满足，其中，Sn为数列{}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是( )
A． B．数列{}的通项公式为：
C．数列{}为递减数列 D．若对于任意的都有，则
【答案】ACD
【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n项和，由条件求的范围.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
因为，，所以，
所以，所以数列为递减数列，故C正确；
，
所以
，
因为对于任意的都有，所以，其中，
又，所以，故D正确.故选：ACD.
三、填空题
13．设是等差数列的前项和，若，则_____．
【答案】
【分析】根据等差数列的前项和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，
所以.故答案为：.
14．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．
【答案】40
【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前项，相当于已知，求解.
【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列，设公差为，则所以，则，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为
故答案为：
15．在等差数列中，已知，则该数列前项和__________．
【答案】
【分析】由等差数列的性质和前项和公式进行计算即可.
【详解】∵数列为等差数列，∴由等差数列的性质，，
∴该数列的前项和.故答案为：.
16．已知数列满足，，则___________.
【答案】##0.5
【分析】等式两侧取倒数可得数列为公差为2的等差数列，即可根据求得.
【详解】由得，∴数列是公差为2的等差数列，则.故答案为：.
四、解答题
17．已知在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
(2)由(1)可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
(2) 由(1)可得，
所以.
【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
18．在等差数列中，已知 且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)由等差数列基本量的计算即可求解；
(2)由裂项相消求和法即可求解.
【详解】(1)解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得,
,；
(2)解：，
.
19．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1) (2)12
【分析】(1)设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
(2)在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.
【详解】(1)设数列的公差为，因为，
所以.
解得. 所以.
(2)，
所以.
令，得，
解得：(舍去).
因为，所以的最小值是12.
20．已知数列的前项和为，，.
(1)证明：是等差数列； (2)求.
【答案】(1)证明见解析 (2)250
【分析】(1)令、、、、代入求出，，
，，判断可得答案；
(2)由(1)判断出数列的偶数项是公差为首项为的等差数列，奇数项是公差为首项为的等差数列，分别求，，再求和可得答案.
【详解】(1)知数列的前项和为，，
令代入得，又，
解得，
所以，
，
，
，
，
以上各式相加得，
所以，
两式相减得
，所以，
从而，，
所以，
则数列是公差为首项为的等差数列；
(2)因为，所以，，
，数列是公差为首项为的等差数列，
由(1)数列是公差为首项为的等差数列，
即数列的偶数项是公差为首项为的等差数列，奇数项是公差为首项为的等差数列，
因为中共有50个奇数项50个偶数项，
所以，
，
因此.
