安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

2022-2023学年度第二学期高三开学检测试卷
高三数学
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，，则( )
A. B.
C. 或 D.
2. 若复数为虚数单位为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3. 采购员要购买某种电器元件一包个他的采购方法是：从一包中随机抽查个，如果这个元件都是好的，他才买下这一包假定含有个次品的包数占，其余包中各含一个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为( )
A. B. C. D.
4. 设，，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则( )
A. B. C. D.
6. 已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点( )
A. B. C. D.
7. 若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 在三棱锥中，已知，，，是线段上的点，，若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知椭圆：的左、右两焦点分别是、，其中过左焦点的直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有( )
A. 的周长为
B. 若的中点为，所在直线斜率为，则
C. 若的最小值为，则椭圆的离心率
D. 若，则椭圆的离心率的取值范围是
10. 下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若正数，满足，则的最大值是
D. 若实数，，满足，则的最小值为
11. 已知函数，则以下正确的是( )
A. 是在上的增函数
B. 函数有且仅有一个零点
C. 函数的最大值为
D. 存在，使得函数为奇函数
12. 已知函数为正整数，的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 是函数的一个零点 B. 函数的图象关于直线对称
C. 方程在上有三个解 D. 函数在上单调递减
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知向量，，且，则______．
14. 已知双曲线的右焦点为，若的左支上存在点，使得直线是线段的垂直平分线，则______．
15. 过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线、，设直线、分别与轴交于点，，则线段长度为______．
16. 若函数上相异的点，满足如下条件：；函数关于点对称；函数在点处的切线与其相交于点；则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题0分为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
求抽取的名学生的平均成绩同一组数据用该组区间的中点值代替；
若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中选取人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这人都是高三学生的概率；
若比赛成绩为样本数据的标准差，则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数．
参考公式：，是第组的频率，参考数据：
18. 本小题分已知各项均不为零的数列满足，且，，设．
证明：为等比数列；
求的前项和．
19. 本小题分设锐角的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，在；这两个条件中任选一个作为条件，试探究符合条件的是否存在，若存在，求；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
在线段上求一点，使得平面平面，并证明；
求二面角的余弦值．
21. 本小题分已知圆：，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．
求点的轨迹的方程；
过点的直线交曲线于，两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
22. 本小题分已知函数．
讨论的单调性；
若有两个不相同的零点，，设的导函数为证明：．
答案和解析
1. 【解析】因为，，
所以或，又，
所以或．故选：．
2. 【解析】复数，
复数是纯虚数，所以；故选：．
3. 【解析】设事件表示“取到的是含有个次品的包”，事件表示“取到的是含有个次品的包”，
事件表示“采购员拒绝购买”，
则，．
易知，，
从而由全概率公式，可知 ．
因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为．故选A．
4. 【解析】设，，
在的范围内单调递增，，
，
由此可得，
设，，
在的范围内单调递减，，
由此可得，，
显然，
，
，
所以，综合可得．故选：．
5. 【解析】由题意，可得，
则，
根据等差数列的性质，可得，
．故选：．
6. 【解析】根据题意，点为直线上一动点，则设，
，是圆的切线，
，，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为，
即，
又圆的方程为：，
，得，
则该直线必过点 故选：．
7. 【解析】令，
则可化为，即，解得，
故，由的单调性易求得，即，
又因为，
令，则因为，由的单调性可得，
而开口向下，对称轴为，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，，
所以的最小值为，即的最小值为．故选：．
8. 【解析】如图，
在中，由，，
得，
则，
，，
在中，，，，
可得．
，即，
又，，平面，得，
而，，平面．
设外接圆的半径为，则，即．
三棱锥的外接球的球心到底面外心的距离等于，
球的半径为．故选：．
9. 【解析】对，直线过左焦点，的周长为，故A对；
对，设，，则，点，．
由，得，
，，故B错；
对，当轴时，最小，令，由，解得，，
整理得，即，解得或舍，故C错；
对，，
，
，，
即，即，，
椭圆的离心率的取值范围是，对．故选：．
10. 【解析】对选项，，可为负数，选项错误；
对选项，，，
当且仅当，即，时，取得等号，选项正确；
对选项，正数，满足，
，
当且仅当时，取得等号，
的最大值是，选项正确；
对选项，设，
则，，，
，
，设，
则，
，又，
，即，
设，
则，，且，
，
的最小值为，选项正确．故选：．
11. 【解析】对：时，
则有：，
当时，可得：，故，
则，即，
在上单调递增；
当时，可得：，故，
则，即，
在上单调递减；
则在上单调递增，在上单调递减．
故在上单调递增，在上单调递减，A错误；
对：当时，，即是函数的零点；
当时，，故，
，
故在内无零点；
当时，，故，
，
故在内无零点；
综上所述：函数有且仅有一个零点，B正确；
对：由可得：，即函数的最大值为，C正确；
对：若函数为奇函数，则，即，
，
，则或舍去，
故存在，使得函数为奇函数，D正确．故选：．
12. 【解析】因为，，所以，解得，
又为正整数，所以，所以，
所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，
又，所以，，所以，
对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，当时，，
因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确．
对于，令，因为，所以，
显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；
故选：．
13. 【解析】，，
，，
又，
，解得．故答案为：．
14. 【解析】设直线交于点，连接，
由题意可知，
由双曲线的定义可得，
、分别为、的中点，则，
因为，则，
由勾股定理可得，即，
，
故，
．故答案为：．
15.
【解析】如图，设直线切曲线左边于点，且交轴于点，
直线切曲线右边于点，且交轴于点，
，时，；时，，
设，，其中，，
又，，
，，
又直线方程为：，令得，
又直线方程为：，令得，
，又，
．故答案为：．
16.
【解析】因为，
所以，，为的三个不同的解，
所以
，
所以，即．
因为，
又因为关于点对称，
所以为的对称轴，
所以．
，
在处的切线为，
因为函数在点处的切线与其相交于点，
所以在切线上，
即，
展开化简
，
因为，所以，
即，
从而可得．
综上，，，．
所以．故答案为：．
17.解：根据题意可得，
所以抽取的名学生的平均成绩；
由于第五组总共要抽取人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这人都是高三学生的概率为；
根据题意可得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为人．
18.证明：，
，
上述等式两边同除以得，
即，
，即，
又，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
由知，即，
，，
是常数列，，
，
令，
则 ，
，
式减式得：，
化简整理得．
19.解：，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
选：，
锐角中，，，，
由正弦定理得：，即，解得：，
因为为锐角三角形，所以，
因为在上单调递增，且，
所以，此时，
此时与为锐角三角形矛盾，这样的三角形不存在；
选：，
锐角中，，，，
则，
故，
满足，，均为锐角，满足题意，，
由正弦定理得：，即，解得：，
故符合条件的是否存在，．
20.解：当点为靠近点的三等分点时，平面平面，证明如下：
取线段的中点，连接，，，
则，且，
又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
设，其中，
则，
因为，则，解得，故点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
因为平面平面，则，
解得，故当点为靠近点的三等分点时，平面平面．
解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
因为．
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．
21.解：线段的垂直平分线与直线相交于点，
，，
点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
，，又，则，
轨迹的方程是；
当直线斜率不为时，
设：，联立轨迹的方程是，
可得，设，，
直线与双曲线有两个交点，，
假设存在点使，
则，
，
，即，
，即，轴上存在点，使得，
当直线斜率为时，点使得，
综上，轴上存在点，使得．
22.解：的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，
要想有两个不相同的零点，，则，
解得：，，故，
要证，即证，
即证：，
因为在上单调递增，
所以只需证，不妨设，，
两式相减得：，
变形为，
下面证明在上成立，
只需证，即，
令，即证，
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，，
故，即，所以，，证毕．
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