2022-2023学年人教版七年级数学下册 5.1 相交线（培优测试）（含解析）

第五章 相交线与平行线
5.1相交线
一、单选题
1.如图，下列说法不正确的是 ( )
A.直线m，n相交于点P B.直线m不经过点O
C.图中共有10条射线 D.图中共有5条线段
2.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 ( )
A. B.
C. D.
3.的对顶角是的邻补角是，若，则的度数是 ( )
A. B. C. D.或
4.下列说法错误的是 ( )
A.两条直线相交，只有一个交点
B.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
C.同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D.直线外一点到直线的距离就是这点到直线的垂线段
5.如图，直角三角形中，，，垂足是点，则下列说法正确的是 ( )
A.线段的长表示点到的距离 B.线段的长表示点到的距离
C.线段的长表示点到的距离 D.线段的长表示点到的距离
6.如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角.其中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图，按各角的位置，有下列叙述：①是同旁内角；②是同旁内角；③是内错角；④是内错角 . 其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.③④① D.①②④
8.在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少40°，则的度数为 ( ).
A.20° B.55° C.20°或125° D.20°或55°
9.如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是 ( )
A.线段的长是点P到直线a的距离
B.三条线段中，最短
C.线段的长是点A到直线的距离
D.线段的长是点C到直线的距离
10.图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是( )
A.3，4 B.4，7 C.4，4 D.4，5
二、填空题
11.如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对.
12.平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则__________，
____________.
13.与的两边互相垂直，且，则的度数为_________.
14.如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°.
三、解答题
15.直线相交于点于点，作射线，且在的内部.
(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系.
16.如图，点在直线上，与互补，.
(1)若，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数(用含的代数式表示的度数).
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
【参考答案及解析】
1.D
【分析】根据直线、射线、线段，相交线的相关定义解答即可.
【详解】解：A、直线m，n相交于点P，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、直线m不经过点O，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、图中共有10条射线，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、图中共有6条线段，原说法不正确，故此选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查的是直线，射线，线段的含义，相交线的含义，理解几何最基本的概念是解本题的关键.
2.B
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可.
【详解】解：根据对顶角定义可知，只有B符合定义，其他都不符合，
故选：B.
【点睛】此题考查了对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
3.C
【分析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解.
【详解】解：∵邻补角是，
∴，
∵的对顶角是，
∴，
故选：C.
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解决本题的根据是熟记对顶角、邻补角的定义.
4.D
【分析】根据相交直线的定义，垂线段的性质，垂线的性质，垂线段的定义解答即可.
【详解】解：A.两条直线相交，只有一个交点，原说法正确，故本选项不符合题意；
B.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法正确，故本选项不符合题意；
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法正确，故本选项不符合题意；
D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这个点到这条直线的距离，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了垂线的定义，点到直线的距离的定义，垂线段最短等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键.
5.C
【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可.
【详解】解：A.线段的长度表示点A到的距离，说法错误，不符合题意；
B.线段的长度表示点C到的距离，说法错误，不符合题意；
C.线段的长度表示点B到的距离，说法正确，符合题意；
D.线段的长度表示点B到的距离，说法错误，不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断.
6.A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可.
【详解】解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确；
②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确；
③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：与是内错角，错误.
故正确的有2个，是，
故选：A.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提.
7.A
【分析】根据同旁内角，内错角的定义，逐项判断即可求解.
【详解】解：①是同旁内角，正确；
②是同旁内角，正确；
③是内错角，正确；
④不是内错角 ，故原说法错误.
所以正确的是①②③.
故选：A
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁、被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，并在截线同旁的两个角称为同旁内角是解题的关键.
8.C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是x度，利用方程即可解决问题.
【详解】解：设是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
，
解得，，
故，
②两个角互补时，如图2：
，
所以，
故的度数为：或
故选：C.
【点睛】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题.关键是得到与数量关系.
9.C
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可.
【详解】解：A.根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度.因为，垂足是B，故此选项正确，不符合题意；
B.根据垂线段最短，，垂足是B，可知此选项正确，不符合题意；
C.线段的长是点A到直线的距离，故选项正确，符合题意；
D.线段的长是点C到直线的距离.故此选项正确，不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10.B
【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得.
【详解】，
，
，，
，
，
，
，，
，
则图中互余的角的对数为4对；
，
，
点C是直线AB上一点，
，
，，
又，，
，，
则图中互补的角的对数为7对，
故选：B.
【点睛】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键.
11.156
【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可.
【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，
则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对，
则总数是对.
故答案为：.
【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键.
12. 1. .
【分析】条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出， 的解.
【详解】解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，
当2条直线相交时，交点数只有一个；
当3条直线相交时，交点数为两条时的数量第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是；
同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是，即
，
，
，
本题的答案为：1，.
【点睛】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.
13.130°或50°
【详解】【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答.
【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°
故β=130°，
在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；
综上可知：∠β=50°或130°，
故正确答案为：
【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.
14.150
【详解】首先根据直角定义可得∠COE=90°，
根据角的和差关系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，
根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=150°.
故答案为：150
15.(1)①；②平分，理由见解析
(2)或
【分析】(1)①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解；
②由平分，得出，根据得出，即可得结论；
(2)分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解.
【详解】(1)解：①∵于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分.
(2)当点在直线的同侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
当点和点在直线的异侧时，如图，
记，则，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，.
综上可知，或.
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键.
16.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，由，即可算出的度数，再根据代入计算即可得出答案；
(2)设，根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，根据垂线的性质，可得，即可算出的度数，由，代入计算即可算出的值；
(3)根据同角的补角相等可得，即可算出关于的表达式，根据平角的性质可得关于的表达式，由，即可得出，代入计算即可得出，再根据代入计算即可得出答案.
【详解】(1)解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
(2)解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键.