必修第二册 第六章 平面向量专题四解三角形
----- 正弦定理
一、知识梳理：
2.正弦定理及其变形
正弦定理：
（其中为外接圆的半径）
变形：
（1） （可实现边到角的转化）
（2） （可实现边到角的转化）
（3）
3.三角形常用面积公式
(1)
(2)
(3)（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
(4)S＝，其中P＝(a＋b＋c)．
4.三角形中常用结论
(1)
(2)
(3)
二、典例剖析
1.．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.
2．在中，，，，求边以及的面积．
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求B；
(2)若，求b．
4．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
三、跟踪训练：
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，，则B等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
7．若中，已知，，，则c=________．
8．在中，若，则_____．
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的面积为_________．
10．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．
11．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则最大角的余弦值是_________.
13．已知点O是的外接圆的圆心，，则外接圆O的面积为___________.必修第二册 第六章 平面向量专题四 解三角形
----- 正弦定理
一、知识梳理：
2.正弦定理及其变形
正弦定理：
（其中为外接圆的半径）
变形：
（1） （可实现边到角的转化）
（2） （可实现边到角的转化）
（3）
3.三角形常用面积公式
(1)
(2)
(3)（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
(4)S＝，其中P＝(a＋b＋c)．
4.三角形中常用结论
(1)
(2)
(3)
二、典例剖析
1．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.
【答案】B=30°，，，.
【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定、的大小，应用正弦定理求即可.
【详解】由且，即，可知：.
∴，
由正弦定理，
∴，.
2．在中，，，，求边以及的面积．
【答案】；．
【分析】本题可通过正弦定理以及三角形面积公式得出结果.
【详解】，即，，
，，
故，.
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求B；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.
（1）
由余弦定理，得，
又，
∴．
（2）
由正弦定理，得，
∵，
∴或．
当时，，
∴；
当时，，
∴．
综上，或．
4．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
三、跟踪训练：
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由，得.
故选：B.
2．记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理可求出结果.
【详解】由正弦定理，得.
故选：B
3．在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.
故选：C.
4．已知中，，则B等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】解：中，因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以或.
故选：A.
5．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，结合余弦定理及正弦定理即可求解.
【详解】因为，，三角形的面积，
所以,即，解得，
由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得,解得.
故选：B.
6．在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
7．若中，已知，，，则c=________．
【答案】2或
【分析】由三角形面积公式可得角，再由余弦定理即可得结果.
【详解】因为，，，
即，由于，所以或，
当时，，即；
当时，，即，
即的值为2或，
故答案为：2或.
8．在中，若，则_____．
【答案】##
【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得，即
故答案为:
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的面积为_________．
【答案】或
【分析】利用正弦定理算出角的大小，再通过三角形面积公式进行求解
【详解】解：由得，
因为，，所以，所以或，
当时，；
当时，，
故答案为：或
10．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______．
【答案】8
【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB.
【详解】因为，，所以，，
又因为，所以，
又因为，在中由正弦定理得.
故答案为：8.
11．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.
【答案】等腰三角形
【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果.
【详解】因为，所以由正弦定理可得，
又在中,
所以，
所以即，
由，故，则此三角形的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则最大角的余弦值是_________.
【答案】##
【分析】由正弦定理以及三角形的性质，可得，并可判断最大角为，再由余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，，
所以，即角最大，
设，其中，
所以.
故答案为：.
13．已知点O是的外接圆的圆心，，则外接圆O的面积为___________.
【答案】
【分析】利用给定条件结合余弦定理求出边BC，再利用正弦定理求出圆O半径即可得解.
【详解】在中，因，则由余弦定理得：
，
令的外接圆半径为，由正弦定理得：，解得，则，
所以外接圆O的面积为.
故答案为：
