马鞍山市重点中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知空间向量＝（－1，2，－1），＝（，－1，）．若∥，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．3或－4 D．3或4
3．已知等差数列，其前项和是，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．设等比数列的首项为，公比为，则“，且”是“对于任意，都有”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知直线l交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为M（－1，1），则直线l的斜率为
（ ）
A．－2 B． C．2 D．
6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．（，2］ B．（，4］ C． ［－2，，2］ D．（，）
7．已知双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形
的中心，点在上，点在上，若，
则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A. 若，则 B. 若，则是中最大的项
C. 若，则 D. 若，则
10．下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为120°
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
D. 与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
11．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则
A． B． C． D．
12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A（，）（＞0），B（，）两点，点A，
B在抛物线准线上时，射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C．直线MB∥轴 D．的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为___________.
14．已知点A（－1，2，－1），平面经过原点，且垂直于向量（1，－1，3），则点A
到平面的距离为__________．
15．在等比数列中，若，，则 ．
16．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双
曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点M（－2，0）和点N（1，）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点D（2，1）且与圆C相切的直线方程．
18．已知等比数列的前项和，为常数．
（1）求的值与的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
19．如图，底面，底面，四边形是正方形，AP＝AD＝2DE＝2．
（1）证明：DE∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
20．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，实轴长.
（1）求C的方程；
（2）若直线过的右焦点与交于A（，），B（，）两点，，求直线的方程.
21．已知数列满足，．
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，求．
22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，点（，）在椭
圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜
率为，直线QB的斜率为，已知求证：直线PQ恒过x轴上一定点．马鞍山市重点中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】 【解答】根据题意，由∥，设，即（，－1，y）＝t（－1，2，－1）＝
（，，），解得，则有，由此得．故选B.
2．【答案】 【解答】由直线与直线平行，得，
解得3或，当时，两直线重合，不合题意，故选B.
3．【答案】C 【解答】由已知可得，，所以，又，
所以．故选C．
4．【答案】A 【解答】若，且，则，所以，
反之，若，则，所以，且或，且，
所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件．故选A．
【答案】D 【解答】运用点差法可得结论：，又，则，即．
故选D．
6．【答案】A 【解答】 方程是恒过定点P（0，－2），斜率为k的直线，曲线
＝， 即（x≥1），是圆心为C（1，1），半径在直线及右侧的半
圆，半圆弧端点A（1，0），B（1，2），在同一坐标系内作出直线与半圆C：
（x≥1），如图，
当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，
当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，
包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，所以直线
与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（，2］．故选A．
7．【答案】B 【解答 】因为的离心率为，所以，所以
，解得，所以双曲线的渐近线方程为
，故选B．
8．【答案】D 【解答】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则、，设点，，其中，，
，，
因为，则，解得，故. 故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【答案】ABD 【解答】由，得 ，所以，
则 ，A正确；
因为，所以，即，因为，，
所以 ，则 ，等差数列为递减数列，则是中最大的项，B正确；
若，则，即 ，因为，，则，故，无法判断
的正负，故，不能判断，C错误；
因为，所以，因为，，所以，则，
则，D正确，故选ABD．
10．【答案】BC 【解答】可变形为 ，
令 ，得 ，即直线过定点 ，
故A错；
直线的斜率为 ，故其倾斜较为 ，故B正确；
圆的圆心到直线的距离为 ，圆的半径为2，故圆
上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确；
设直线 与圆相切，则 ，解得 或，则
满足题意， 由此显可知与 圆相切，且在轴 轴上
的截距相等，故D错误，故选BC．
11．【答案】ACD 【解答】对于A，，所以A正确；对于B，EF⊥FG，
所以，所以B不正确；对于C，AB⊥EG，所以，所以C正确；对于D，
，所以D正确．故选ACD．
12．【答案】BCD 【解答】由题意可知,抛物线的焦点F的坐标为,准线方程为,
易知直线的斜率不为0,这直线的方程为,代入,得,
所以,则,
所以,所以A不正确,
因为三点共线，所以,所以,又,所以
所以直线轴,所以C正确，易知的坐标分别为,
所以,所以，所以B正确;
设直线的倾斜角为,则,
所以,当且仅当轴时取等号，所以D正确,故选BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】或 【解答】抛物线的准线为，则，解得
或，故抛物线的方程为或.
14．【答案】 【解答】由题意，（－1，2，－1），（1，－1，3，），故，
所以点到平面的距离为．
15．【答案】 【解答】解：．
∵在等比数列中，，∴原式．
16．【答案】（，2） 【解答】双曲线C与直线有交点，则，，解得
＞，双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上，设与轴交
于点，由对称性，所以，所以＝
，，所以，由
得2a＜c，所以，又中，，即，
所以，即，综上，．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．【解答】（1）设圆的标准方程为，
由已知得， 解得，
所以圆的标准方程为； ………………………………………………5分
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
此时直线的方程为即；…………………………………8分
当直线的斜率不存在时，直线为，显然与圆相切． ………………………………9分
所以所求直线的方程为或 ………………………………10分
18．【解答】（1）因为，所以， ……………………………………1分
当≥2时，， ………………………………2分
因为为等比数列，所以，解得． …………………………5分
所以． ……………………………………………………………………6分
（2）因为， ……………………………………7分
所以…,
…, ………………………………………………9分
两式相减得 …， ………………………………………10分
即， ………………………………………………11分
所以． …………………………………………………………12分
19．【解答】（1）因为底面，底面，则PA∥DE，平面，
平面，所以DE∥平面. …………………………………………………4分
（2）依题意，两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、
轴建立空间直角坐标系，如图， ………………………………………………………5分
则，，， …………6分
而平面DCE，即平面，
则平面的一个法向量为， ……………………………………………………8分
设直线与平面所成角为，则，
………………………………………………………………10分
则，，
所以直线与平面所成角的正切值为. …………………………………………12分
20．【解答】（1）根据题意，，，所以，
所以. ……………………………………………………………………………5分
（2）双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴，
设直线方程为，联立直线方程和椭圆方程：
， 消去x得，所以， …………………………7分
所以， ………………………………………………8分
所以，所以，
所以，
即， ………………………………………………………10分
解得.
所以直线的方程为：.
即或. …………………………………………………………12分
21．【解答】（1）因为，
∵，∴，
所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列． ……………………………………5分
（2）因为，所以， ………………………………6分
由，得， ………………………………………………………………7分
故， ……………………………………………………9分
所以
．……………………12分
22．【解答】（1）由题意得：，解得，
所以椭圆C的方程为 …………………………………………5分
（2）证明：依题意，点，，设，，
因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．……6分
所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C方程联立得，
消去，整理得，
所以，且，………………………………8分
因为点是椭圆上一点，即，
所以，
所以，即， ……………………………………………10分
因为
，
所以，此时，
故直线PQ：恒过x轴上一定点 …………………………12分
