高二下学期入学考试数学试卷
一、单选题（40 分）
*1、甲乙丙丁 4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有( )
A.6 种 B.12 种 C.36 种 D.48种
*2、已知 A(2,4)，B( 3,1)，直线 l : y kx与线段AB相交，则直线 l的斜率的取值范围为( ).
A. ,
1
1
3
[2, ) B. ( ,0] [2, ) C. , [1, ) D.[2, ) 3
*3 2、若向量a (1, , 0)，b (2, 1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则实数 等于( ).
3
A.0 B. 4 C.0 4或 D.0 4或
3 3 3
6
*4、 x3 2 2x 1 2 的展开式中的常数项为( ). x
A.80 B.160 C.240 D.320
*5、设点M (3,4)在圆O : x2 y2 r2 (r 0)外，若圆 O 上存在点 N，使得 OMN π ，则实
3
数 r 的取值范围是( )
5 5 3 A. 5 3
,
B. ,5 C. , D.
5
,5
2 2 2 2
*6、如图 ,点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点 , PA 平面 ABCD,Q 为线段 AP 的中
点, AB 3,BC 4,PA 2 ,则点 P 到平面 BQD的距离为( )
A.12 B. 5 C. 13 D.13
13 13 5 12
*7、设抛物线 y2 8x的焦点为 F，过 F的直线 l与抛物线交于点 A，B，与圆 x2 y2 4x 3 0
交于点 P，Q，其中点 A，P 在第一象限，则 2 | AP | |QB |的最小值为( )
A. 2 2 3 B. 2 2 5 C. 4 2 3 D. 4 2 5
*8、已知函数 f (x) x3 2x 2sin x，若对任意 x (0, )，不等式 f (ln x 1) f (ax) 0恒成
立，则实数 a的取值范围为( )
A. 1 , 1 1 1 2
B. ,1 C. 2 ,
e e e2
D. ,
e2
1
二、多选题（20 分）
*9、以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是( )
A.设 A，B为两个定点，k 为非零常数， || PA | | PB || k，则动点 P 的轨迹为双曲线
B.过定圆 O 1上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若OP (OA OB)，则动点 P
2
的轨迹为椭圆
C.过点 (0,1)作直线，使它与抛物线 y2 4x有且仅有一个公共点，这样的直线有 2条
2 2
D. x y若曲线C : 1为双曲线，则 k 1或 k 4
4 k k 1
*10 a、已知数列 an 满足 a1 1， a nn 1 n N* ，则下列结论中正确的有( )2 3an
A. 1 3 为等比数列 B. an 为递增数列
an
C. a a 1 D. 1n 的通项公式为 n n 1 的前 n项和T 2n 2n 3n 42 3 an
*11、如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD A1B1C1D1，其中，以顶点 A 为端点的
三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是( )
A. AC1 6 6 B.向量 B1C与 AA1 的夹角是 60°
C. AC1 DB D. BD1与 AC
6
所成角的余弦值为
3
12、函数 f(x)＝x(ex－1)－ln x－k在(0，＋∞)上有唯一零点 x0，则下列四个结论正确的
是( )
A.k＝1 B.k＞1 C. 1＜x 10＜ D. x x0e 2 0
e 1
三、填空题（20 分）
*13、已知数列 a 对任意 m， n N*都满足 a a a ，且 a 1，若命题“ n N*n m n m n 1 ，
a 2n an 12”为真，则实数 的最大值为___________.
*14、如图，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA PD 5，
平面 ABCD 平面 PAD,M 是 PC 的中点，O 是 AD 的中点，则直线 BM 与平面
PCO所成角的正弦值为_______________.
2
*15、“双减”政策落地，很多学校为响应国家政策实行了课后延时服务，旨在破解学校
放学后、家长下班前学生无人看管的社会性难题.某学校在周一到周五依次安排篮球、
美术、象棋、编程、美术延时课服务.某学生计划每周上两天不同的延时课，则该学生
的选取方案有_______种.(用数字作答)
2 2 2 2
*16 x y x y、已知椭圆C1 : 2 2 1 a1 b1 0 与双曲线C2 : 2 2 1 a2 0,b2 0 有相同的焦点a1 b1 a2 b2
F1，F2，点 P 是曲线C1与C2 的一个公共点，e1，e2分别是C1和C2 的离心率，若 PF1 PF2 ，
则 4e21 e
2
2的最小值为_____________.
四、解答题（70 分）
*17、（10 分）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 2an Sn 1 .
(1)求 an与 Sn；
(2)记b 2n 1n ，求数列 bn 的前 n项和Ta n .n
2
*18、（12 分）已知曲线C : y x ，D 为直线 y 1 上的动点，过 D作 C 的两条切线，切
2 2
点分别为 A，B.
（1）证明：直线 AB 过定点；
5
（2）若以 E 0, 为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.
2
19 3、（12分）已知抛物线 C：y2＝3x的焦点为 F，斜率为 的直线 l与 C的交点为 A，B，
2
与 x轴的交点为 P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线 l的方程；
(2)若A→P＝3P→B，求|AB|.
3
*20、（12分）如图，三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2，B1C＝ 6，AB⊥B1C.
(1)求证：平面 ABB1A1⊥平面 ABC；
(2)在棱 BB1上是否存在点 P，使直线 CP与平面 ACC A 41 1所成角的正弦值为 ，若不存在，5
请说明理由；若存在，求 BP的长．
2 2
*21 12 x y、（ 分）已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P在椭圆a b
C PF E x2 (y 1)2 49上，以 1为直径的圆 ： 过焦点 F2.
4 16
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若椭圆 C的右顶点为 A，与 x轴不垂直的直线 l交椭圆 C于 M，N两点(M，N与 A
点不重合)，且满足 AM⊥AN，点 Q为 MN的中点，求直线 MN与 AQ的斜率之积的取
值范围．
22、（12 分）已知函数 f(x)＝x2＋πcos x.
(1)求函数 f(x)的最小值；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－a在(0，＋∞)上有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2，求证：x1＋x2＜π.
4高二下学期入学考试数学答案
一、单选题 BADD BACD 二、多选题 9、ABC 10、ACD 11、AC 12、AD
三、填空题
8 85 9
*13、7 *14、 *15、9 *16、
85 2
四、解答题
*17、解析：(1)由 2an Sn 1,得 Sn 2an 1，当 n 1时， a1 S1 2a1 1,得 a1 1；
当 n 2时， an Sn Sn 1 2an 1 2an 1 1 ，得 an 2an 1，
所以数列 an 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 a 2n 1n .所以 S
n
n 2an 1 2 1.
b 2n 1 T 1 3 5 L 2n 1 1 1 1(2)由(1)可得 n n 1 ，则 n 2 n 1 1 1 3 5 2 L (2n 1) ，2 1 2 2 2 2 2 2n 1
1T 1 1 3 1 1 5 L (2n 1) 1 ，
2 n 2 22 23 2n
1T 1 2 1 1 1 1 1两式相减得 n 2 3 L n 1 (2n 1) ，2 2 2 2 2 2n
T 2 4 1 1 1 L 1 1所以 n
(2n 1)
2 22 23 2n 1 2n 1
1 1
n
2 4 2 2 (2n 1) 1 2n 3
1 n 1 6 n 1 .1 2 2
2
*18、解析：（1）证明：依题意，可设 AB : y kx b D ， t,
1
， A x1, y1 ， B x2 , y2 x1 x2 .
2
x2
y ,
联立 2 消去 y 得 x2 2kx 2b 0 . 4k 2 8b 0， x1 x2 2k， x1x2 2b .
y kx b,
x21 1
又直线 DA 与抛物线相切，则 x1 2 2 ，以 x
2
1 2tx1 1 0，同理 x
2
2 2tx2 1 0 .x1 t
所以 2k x1 x 2t 2b x
1 1 1
2 ， 1 x2 1，所以 k t，b ，则直线 AB : y tx ，必过定点 0, .2 2 2
1
（2）由（1）得直线 AB 的方程为 y tx .
2
1
y tx
1
,
2
由 可得 x22 2tx 1 0 .于是 x1 x2 2t， y1 y2 t x1 x2 1 2t
2 1 .
y x
2
设 M 为线段 AB 的中点，则M t, t
2 1 .
2
由于 EM AB，而 EM t,t2 2 ， AB与向量 (1, t)平行，所以 t t2 2 t 0，解得 t 0或 t 1 .
2
当 t 0 时， | EM | 2，所求圆的方程为 x2 y
5
4；
2
2
当 t 1时， | EM | 5 2 ，所求圆的方程为 x2 y 2 .
2
19 3、解 设直线 l的方程为 y＝ x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
2
3
，0
(1)由题设得 F 4 ，故|AF|＋|BF|＝x 31＋x2＋ .又|AF|＋|BF|＝4，所以 x
5
1＋x2＝ .
2 2
y 3＝ x＋t，
2 9x2 12(t 1)x 4t2 0 12（t－1）由 可得 ＋ － ＋ ＝ ，其中Δ＝144(1－2t)>0，则 x1＋x2＝－ .
y2＝3x 9
12（t－1） 5 t 7从而－ ＝ ，得 ＝－ (满足Δ>0)．所以 l 3 7的方程为 y＝ x－ .
9 2 8 2 8
(2) →由AP＝3 P→B可得 y1＝－3y2.
y 3＝ x＋t，
由 2 可得 y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，
y2＝3x
所以 y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
1
，－1
代入 C 1的方程得 x1＝3，x2＝ .所以 A(3，3) B 3 4 13， ，故|AB|＝ .
3 3
*20、(1)证明 取 AB的中点 D，连接 CD，B1D.因为三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2，
所以 AB⊥CD，CD＝ 3，BD＝1.又因为 AB⊥B1C，
且 CD∩B1C＝C，CD，B1C 平面 B1CD，所以 AB⊥平面 B1CD.
又因为 B1D 平面 B1CD，所以 AB⊥B1D.
在 Rt△B1BD中，BD＝1，B1B＝2，所以 B1D＝ 3.
在△B1CD中，CD＝ 3，B1D＝ 3，B1C＝ 6，
所以 CD2＋B1D2＝B1C2，所以 CD⊥B1D，
又因为 AB⊥B1D，AB∩CD＝D，AB，CD 平面 ABC，所以 B1D⊥平面 ABC.
又因为 B1D 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1⊥平面 ABC.
2
(2)解 假设在棱 BB1上存在点 P满足条件．以 DC，DA，DB1所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
则 A(0,1,0)，B(0，－1,0)，C( 3，0,0)，B1(0,0， 3)，
—B→ →因此 B1＝(0,1， 3)，AC＝( 3，－1,0) —A→A —B→， 1＝ B1＝(0,1 →， 3)，CB＝(－ 3，－1,0)．
因为点 P → —→在棱 BB1上，设BP＝λBB1＝λ(0,1， 3)，其中 0≤λ≤1.
→
则CP →＝CB＋B→P＝C→B —→＋λBB1＝(－ 3，－1＋λ， 3λ)．
设平面 ACC1A1的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→C＝0， 3x－y＝0，
由 得 取 x＝1，则 y＝ 3，z＝－1，
n·—A→A1＝0， y＋ 3z＝0，
所以平面 ACC1A1的一个法向量为 n＝(1，3，－1)．
因为直线 CP与平面 ACC1A
4
1所成角的正弦值为 ，
5
→ |n·C
→P| |－2 3| 4
所以|cos〈n，CP〉|＝ ＝ ＝ ，
|n||C→P| 5× 3＋ λ－1 2＋3λ2 5
16λ2 8λ 1 0 λ 1 |B→P| 1|—B→B | 1 BP 1化简得 － ＋ ＝ ，解得 ＝ ，所以 ＝ 1 ＝ ，故 的长为 .
4 4 2 2
*21、解 (1)在圆 E的方程中，令 y＝0，得 x2＝3，解得 x＝± 3，
0 1，
所以 F1，F2的坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．因为 E 4 ，
1 3
1
，
又因为|OE|＝ |F2P|，OE∥F2P，所以点 P的坐标为 2 ，
2
2
所以 2a 7 1 x＝|PF1|＋|PF2|＝2× ＋ ＝4，得 a＝2，b＝1，即椭圆 C的方程为 ＋y2＝1.
4 2 4
(2)右顶点为 A(2,0)，由题意可知直线 AM的斜率存在且不为 0，
设直线 AM的方程为 y＝k(x－2)，由 MN与 x轴不垂直，故 k≠±1.
y＝k x－2 ，
由 x2 2 2y2 1 得(1＋4k )x －16k
2x＋16k2－4＝0，
＋ ＝ ，
4
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点 A(2,0)，
16k2－4 8k2－2 －4k
则由根与系数的关系可得 2x1＝ ，得 x1＝ ，y1＝k(x2 2 1－2)＝ ，1＋4k 1＋4k 1＋4k2
3
1
因为 AM⊥AN，所以直线 AN的方程为 y＝－ (x－2)，
k
30k2 6k k2－1
1 8－2k2 ，
用－ 替换 k可得，x2＝ ，y
4k
2＝ ，所以点 Q坐标为 1＋4k2 4＋k2 1＋4k2 4＋k2 ，
k 4＋k2 4＋k2
6k k2－1
2
所以直线 AQ的斜率 k ＝ 1＋4k 4＋k
2 3k 1－k2
1 ＝ ，
30k2 2 2k4＋k2＋2
－2
1＋4k2 4＋k2
4k 4k
＋
y2－y1 4＋k2MN k 1＋4k
2 5k
直线 的斜率 2＝ ＝ ＝ ，
x2－x1 8－2k2 8k2－2 4 1－k2
－
4＋k2 1＋4k2
k k 15k
2 15
所以 1 2＝ ＝ 2 2 ，因为 k
2>0且 k2≠1，
8 2k4＋k2＋2 2k ＋ ＋18 k2
15
所以 2k2 2 1>2 2k2 2＋ ＋ × ＋1 5 3＝ ，所以 0< < ，
k2 k2 2k2 2＋ ＋18 8k2
0 3 0 3， ，
即 k1k2∈ 8 . 所以直线 MN与 AQ的斜率之积的取值范围是 8 .
22、(1)解 易知函数 f(x)为偶函数，故只需求当 x∈[0，＋∞)时，函数 f(x)的最小值即可.
0 π，
f′(x)＝2x－πsin x，当 x∈ 2 时，
π
设 h(x)＝2x－πsin x，则 h′(x)＝2－πcos x，显然 h′(x)单调递增，而 h′(0)＜0，h′ 2 ＞0，
0 π，
由零点存在性定理可知，存在唯一的 x0∈ 2 ，使得 h′(x0)＝0.
x π0，
当 x∈(0，x0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当 x∈ 2 时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
π 0 π，
而 h(0)＝0，h 2 ＝0，故当 x∈ 2 时，h(x)＜0，即 f′(x)＜0，f(x)单调递减.
π π
，＋∞ π2
又当 x∈ 2 时，2x＞π≥πsin x，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以 f(x)min＝f 2 ＝ .
4
0 π π π， ，＋∞ 0，
(2)证明 由题可知 x1∈ 2 ，x2∈ 2 .令函数 F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈ 2 ，
π
则 F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x＞0，即 F(x)单调递增，所以 F(x)＜F 2 ＝0，
0 π 0 π， ，
即当 x∈ 2 时，f(x)＜f(π－x)，而 x1∈ 2 ，所以 f(x1)＜f(π－x1).
π
，＋∞
又 f(x1)＝f(x2)，即 f(x2)＜f(π－x1)，此时 x2，π－x1∈ 2 .
π
，＋∞
由(1)可知，f(x)在 2 上单调递增，所以 x2＜π－x1，即 x1＋x2＜π.
4
