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6.3.1 平面向量基本定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
重点：平面向量基本定理及其应用.
难点：平面向量基本定理的理解及其应用.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注意点：
(1) e1，e2不共线向量，即e1与e2均不为零向量；
(2)只有不共线的两个向量才能作为基底，基底的选取不是唯一的，平面内不共线的向量都可以作为平面的一组基底.一旦选定基底，该平面内的任一向量，都可以用该基底唯一表示；
(3)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 对向量的基底认识
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中：①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.不正确的是________．
答案：②③
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
反思感悟：考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
答案：①②④
解析：对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
题型二 用基底表示向量
例2 如图所示，已知 ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
反思感悟：1.若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．
2.若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．
跟踪训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
解：＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
题型三 向量夹角问题
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
解：如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作 OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，
所以α＋β＝90°.
反思感悟：1.求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪训练3 若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．
如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
题型四 平面向量基本定理的应用
例4 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
解：＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b，
因为与共线，故可设＝t＝a＋b.
又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得所以＝a＋b.
反思感悟：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
跟踪训练4 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
解：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，
由于a，b为基底，所以解得所以＝a＋b.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面其它向量基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
答案：B
解析：易知与不共线，与不共线.
2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
答案：A
解析：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
3.给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案：B
4.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是( )
A.BD＝2CD B.BD＝CD C.BD＝3CD D.CD＝2BD
答案：B
解析：由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，∴BD＝CD.
5.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
答案：A
解析：＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).
6.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于( )
A. B. C.3 D.
答案：A
解析：由题意可得，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋＝＋，据此可知λ＝，μ＝，∴＝.
7.设{a，b}为基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.2 B.－2 C.10 D.－10
答案：A
解析：＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b，∵{a，b}为基底，∴解得λ＝，k＝2.
8.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( )
A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－e2} C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2}
答案：ABC
解析：选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.
9.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于( )
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b C.λa＋b D.a＋b
答案：D
解析：∵＝λ，∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为( )
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
答案：B
解析：∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心).
二、填空题
11.已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4.
12.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示)．
答案：a＋b
解析：设＝λ，则＝λ(＋)＝λ(＋)＝λ＋λ.因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1，所以λ＝，所以＝＋＝a＋b.
13.若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为________．
答案：60°
解析：作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°.
14.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案：
解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
15.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案：
解析：易知＝＋＝＋(－)＝－＋.所以λ1＋λ2＝.
三、解答题
16.如图， ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，，.
解：＝＋＝a＋b，＝－＝b－a，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝＝a＋b.＝－＝－a－b，＝＝b－a，
所以＝－＝a－b.
17.判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
解：(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
18.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OC为对角线作 OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ、μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ.
在Rt△COM中，||＝2，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4.
又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.
19.已知单位圆O上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)∵＝2，∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s，
∴r＝，∴s＝－，∴r＋s的值为0.
(2)∵四边形OABP为平行四边形，
∴＝＋，
又∵＝m＋，
∴＝＋(m＋1)，
依题意、是非零向量且不共线，
∴m＋1＝0，解得m＝－1.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.3.1 平面向量基本定理 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.3.1 平面向量基本定理
学习目标 把握航向 目的明确
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
重点：平面向量基本定理及其应用.
难点：平面向量基本定理的理解及其应用.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注意点：
(1) e1，e2不共线向量，即e1与e2均不为零向量；
(2)只有不共线的两个向量才能作为基底，基底的选取不是唯一的，平面内不共线的向量都可以作为平面的一组基底.一旦选定基底，该平面内的任一向量，都可以用该基底唯一表示；
(3)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 对向量的基底认识
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中：①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.不正确的是________．
反思感悟：考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
题型二 用基底表示向量
例2 如图所示，已知 ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
反思感悟：1.若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．
2.若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．
跟踪训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
题型三 向量夹角问题
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
反思感悟：1.求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
跟踪训练3 若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
题型四 平面向量基本定理的应用
例4 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
反思感悟：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
跟踪训练4 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面其它向量基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
3.给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
4.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是( )
A.BD＝2CD B.BD＝CD C.BD＝3CD D.CD＝2BD
5.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
6.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于( )
A. B. C.3 D.
7.设{a，b}为基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.2 B.－2 C.10 D.－10
8.(多选)若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( )
A.{e1－e2，e2－e1} B.{2e1－e2，e1－e2} C.{2e2－3e1，6e1－4e2} D.{e1＋e2，e1＋3e2}
9.若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于( )
A.a＋λb B.λa＋(1－λ)b C.λa＋b D.a＋b
10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为( )
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
二、填空题
11.已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
12.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示)．
13.若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为________．
14.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
15.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
三、解答题
16.如图， ABCD的对角线AC和BD交于点M，＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，，.
17.判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．
18.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．
19.已知单位圆O上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
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