2022－2023 学年高一年级下学期开学考试
数学模拟试题
参考答案
1．C 【解答】因为集合 A＝{x|x2＝1，x∈R}＝{x|x＝±1，x∈R}，B＝{x|x≥a}，若 A B，则 a≤－1，所以
实数 a的取值范围是（－ ，－1］．故选 C．
2．A 【解答】根据题意，当 a＝2时，函数 f (x) x2 2x，其对称轴方程为 x＝1，则函数 f (x)在［1，
）上单调递增，故充分性成立；当函数 f（x）＝x2﹣ax在［1， ）上单调递增，则 a
2 ≤1，即
a≤2，则必要性不成立．故“a＝2”是“函数 f（x）＝x2﹣ax在[1，+∞）上单调递增”的充分不必要
条件，故选 A．
1
1 3
3．A 【解答】幂函数 y f (x) 1 的图象过点（3， 3 3），则 f (3) 3 3 33 ，所以 log f (x)
3 1 3
1
3
log 1 11 ，故选 A．
3 3 3
4．D 2 2【解答】不等式 ax 5x b 0的解集为{x | 2 x 3}，则方程 ax 5x b 0的两根为－2和
5
2 3 a 5
3，所以 a 2 ，解得
2
，不等式 ax 5x b 0为 30x 5x 5 0
2
，即6x x 1 0，
b b 30
2 3
a
1 1 1 1
解得： x 或 x ，即不等式的解集为{x | x 或 x }．故选 D．
2 3 2 3
5 S ．A 【解答】∵C B log2 1 ，其中 C为信道容量（单位：bps），B为信道带宽（单位：Hz），
N
S S
为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽 B＝3000，信噪比 ＝1000．
N N
∴C 3000log2 (1 1000)＝30000．故选 A．
a 1
a x 2, x 1 a
6 ．A 【解答】因为 f (x) a 是 R上的增函数，所以 4 0 ，解得 4≤a＜8，即实
(4 )x, x 1 2 2
a 2 4
a
2
数 a的取值范围是［4，8），故选 A．
1 9 1 9 9
7．【解答】由 log2 a log2 b 1，得 ab 2，所以 ≥ 2 2 3
1 9
，当且仅当 ，
2a b 2a b 4 2a b
a 1 b 6 1 9即 2 2， 时，等号成立．所以 ≥m 2m恒成立，等价于 3≥m 2m，解得－1≤m
3 2a b
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≤3，故选 C．
8．C 【解答】由于函数 y sin x （ ＞0）的图象的一个对称中心为（ ，0），所以 ＝
6 6
k
k k Z 6 6 ,0 （ ），所以 ≥ ，由于 ．所以当 k＝0， 时， 有最小
2 2
1 1
值 ．所以ω的取值范围为（ ， ）．故选 C．
3 3
9．BD 【解答】画出 f (x)的大致图象，如图所示：
由图象可知， f (x)在区间（ ，0）上不单调，在区间（1， ）单调递减，故 A错误，B正确，
当 x＝1或－1时， f (x)取得最大值 1，无最小值，故 C错误，D正确，故选 BD．
10．AC 【解答】选项 A，因为 log32＜1，log23＞1，所以 log32＜log23，即 A正确；
2 1 2
B
1 5 1 5 1 1 1 1
选项 ，若 ＞ 成立，则 ＞ ，即 ＞ ，显然与实际矛盾，即 B错误；
5 2 5 2 25 2
2 2
n 1 n 12 n
选项 C， (1 n) 1 n ＜0，所以 1+n＜ 1 ，即 (1 n) 2 ＜1 ，故 C正确；
2 4 2 2
选项 D，取 n＝2，则 2n＝n2，即 D错误．故选 AC．
11．ACD 【解答】函数 f (x) tan(2x )的最小正周期为 ，A正确；对于 B，由 2x k
4 2 4 2
（ k Z 3 k k 3 ），得 x （ k Z ），所以函数 f (x)的定义域为{x | x ,k Z}，所以
8 2 2 8
k k
B错误；对于 C，由 2x ，解得 x （ k Z ），即函数 f (x)图象的对称中心为
4 2 4 8
k k
,0 ，所以 C正确；对于 D，由 k 2x k （ k Z ），得 x
4 8 2 4 2 8 2
3 k k Z k k 3 （ ），所以函数 f (x)的单调递增区间为 , （ k Z ），D正确，
8 2 2 8 2 8
故选 ACD．
12．ABD 【解答】函数 f (x) | ln | 2 x ||的图象如下图所示：
由图可知：A，B，D正确，C不正确．故选 ABD．
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13．（－1，0］【解答】 x R， 2kx kx2 1＜0是真命题，即不等式 2kx kx2 1＜0在 R 上恒成立，
k 0
①当 k＝0时，不等式为－1＜0，恒成立；②当 k≠0时，则 ，解得－1＜k＜0，
4k
2 4k 0
综上，k的取值范围为（－1，0］．
5
14． 【解答】 f (x) 1 cos2 x cos x (cos x 1)2 5 1 2 x , 2 ，因为 ，所以 cos x 4 2 4
, ，
4 3 2 2
当 cos x 1 5 ，即 x 时， f (x)
2 3 max
．
4
|x 1| 2
x 1, x 1
15 |x 1|．（－1，2）【解答】 y 2 ，∴ y 2 在（ ，1）单调递减，在［1，+∞）上
21 x , x 1
k 1 1
单调递增，且该函数在（ k 1， k 2）内不单调，∴ ，解得－1＜k＜2，∴k的取值范围
k 2 1
是（－1，2）．
5 2x k k 16． 【解答】令 k ，得 x ， k Z ，即 f (x)的对称轴方程为 x ，
3 6 2 6 2 6 2
k Z 7 7 ，因为 f (x)的最小正周期为 ，且 0≤ x≤ ，所以 f (x)在 0, 上有两条对称轴 x 6 6 6
和 x 2 x x 2 x 2 4 4 5 ，所以 ，
3 1 2 6 3 2
x3 2 ，从而 x1 2x2 x3 ．3 3 3 3 3
2 10 8
17．【解答】解（1）∵ sin cos ．两边平方可得1 2sin cos ，
5 5
3
∴ sin cos ，
10
sin cos tan 3
∴ 2 2 2
2
，可得3tan 10 tan 3 0，
sin cos 1 tan 10
1
解得 tan ＝－3，或 tan ＝－ ，
3
3 ∵ , ，可得 tanα＜－1，可得 tanα＝－3，
2 4
∴ tan 1 3 1 10 ，
tan 3 3
cos 2cos( )
2 sin 2cos tan 2 3 2 1
（2） ．
sin( ) cos(2 ) sin cos tan 1 3 1 2
2 x 0
18．【解答】解：（1）由 ，得－2＜x＜2，
2 x 0
所以 f (x)的定义域为（－2，2），
又 f ( x) lg(2 x) lg(2 x) f (x)，
所以 f (x)为奇函数．
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（2）由 f (x) lg(2 x) lg(2 x)≤0，得 0＜ 2 x≤ 2 x，解得－2＜x≤0，
所以不等式的解集为（－2，0］．
2 x
3 f (x) lg(2 x) lg(2 x) lg lg 4 （ ） 1
2 x 2 x
4
当 x ［0，1］时， 1 ［1，3］，所以 f (x) ［0，lg3］，
2 x
所以 f (x)的值域为［0，lg3］．
2
19．【解答】解：（1）∵函数 f (x) m x 是 R上的奇函数，3 1
∴f（0）＝m－1＝0，解得 m＝1；
2 f (3x2 x 1) f (1 x 2x2（ ） ) 0．
理由如下：
由（1）得 f (x) 1 2 x
3x
，∵ y 3 1为 R上的增函数，
1
∴ y 2 x 为 R上的减函数，∴ f (x) 1
2
x 为 R上的增函数，3 1 3 1
∵3x2 x 1 (2x2 x 1) x2 2x 1 (x 1)2 1≥1＞0， f (x)是 R上的奇函数，
2 2 2
∴ f (3x x 1) f (1 x 2x ) f (3x x 1) f (2x2 x 1) 0．
20．【解答】（1）依题意， y x 80t (20 8x 50t)，
y 180k 360k整理得， 7x 20，x∈［0，10］．
x 4
（2）若对任意的 x∈［0，10］，公司都不产生亏损，则
180k－ 360k 7x 20≥0，x∈［0，10］恒成立，
x 4
k 1 7x
2 48x 80
∴ ≥ ，令 t＝x+2，t∈［2，12］，
180 x 2
k 1 7t
2 20t 12 1
∴ ≥ (7t 12 20)，
180 t 180 t
因为 f (t) 7t 12 20在［2，12］上递增，
t
∴ f (t)max f (12) 7 12
12
20 105，
12
k 1∴ ≥ 105 0.58，
108
即当工人的复工率达到 0.58时，公司不亏损．
T 5 ( 2 21．【解答】（1）由图象知 A＝2， ) ，∴ ，∴ 2，
2 12 12 2
5 5
由图象过点 ， 2 ，得 2sin 2，
12 6
第 4 页 共 5 页
5
即 2k ， k Z ，
6 2
又 0＜ ＜ ，则 2 ，
3
f (x) 2sin 2x 2 即 ；
3
2k 2x 2 （2）令 ≤ ≤ 2k ， k Z ，
2 3 2
7
解得 k ≤ x≤ k ， k Z ，
12 12
k 7 ,k 故函数的单调递增区间为 ， k Z ； 12 12
x , 2x 2 5 5 2 （3 ）因为 ，所以 , ，则 2sin 2x [ 2,1]， 12 2 3 6 3 3
所以 f (x)的取值范围为［－2，1］，
即 f (x)的最大值为 1，最小值为－2．
22．【解答】（1）函数 f (x)的定义域为 ( ,0) (0, )，
∵ f (x)是奇函数，且 f (1) 2，∴ f ( x) f (x)，且 f ( 1) 2，
又∵ f (1) 1 a b 2， f ( 1) 1 a b 2，
∴ a 1，b 0 1，经检验， a 1，b 0满足题意，故 f (x) x ．
x
1
当 x 0, 时， f x x 2, x 1时等号成立，
x
∴当 x 0,1 时， f x 单调递减；当 x 1, 时， f x 单调递增．
9
（2）①当0 c 1时， y logct是减函数，故当 t f x 取得最小值时，4
F x log 9 c f x , (c 0且 c 1)取得最大值 2， 4
9
而 t f x 在区间 2,4 的最小值为 f 2 9 1 ，
4 4 4
故 F x 1 1的最大值是 F 2 logc 2，所以， c .4 2
9
②当 c 1时， y logct是增函数，故当 t f x 取得最大值时，4
F x log c f x
9
(c 0且 c 1)取得最大值 2， 4
而 t f x 9 在区间 2,4 的最大值为 f 4 9 2，
4 4
故 F x 的最大值是 F x logc2 2，所以， c 2．
1
综上所述， c 或 ．
2 c 2
第 5 页 共 5 页马鞍山市2022－2023学年高一年级下学期开学考试
数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若A B，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，－1） B．（1，） C．（，－1］ D．［1，+∞）
2．设，则“a＝2”是“函数在［1，+∞）上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知幂函数的图象经过点（3，），则的值是（ ）
A． B．1 C． D．－1
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中C为信道容量（单位：bps），B为信道带宽（单位：Hz），为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽B＝3000，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量C最接近的值是（ ）
A．30000 B．22000 C．20000 D．18000
6．已知是R上的增函数，则实数a的取值范围（ ）
A．［4，8 ） B．（4，8） C．（1，8） D．（1，+∞）
7．已知且≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若存在实数，使得函数（＞0）的图象的一个对称中心为（，0），则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知＝min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间（，0）单调递增
B．在区间（1，）单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
10．下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．＜ B．＞
C．＜， D．＞，
11．已知函数，则下列命题中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为（）
C．图象的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
12．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间（1，2）上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“，都有不等式”是真命题，则实数k的取值范围是 ．
14．函数在区间上的最小值是 ．
15．函数在区间（，）内不单调，则k的取值范围是 ．
16．已知函数（0≤≤），若函数恰有3个零点，分别为，
，（＜＜），则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若≤0，求x的取值范围；
（3）当［0，1］时，求的值域．
19．已知函数是R上的奇函数．
（1）求m的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由．
20．新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供x（［0，10］）（万元）的专
项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x（万元）补
贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k（［0.5，1］）为工人的复工率．公
司生产t万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）对任意的［0，10］（万元），当复工率k达到多少时，公司才能不亏损？（精确到0.01）
21．函数（A＞0，0＜＜）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值．
22．已知函数是奇函数，且．
（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求
的值．
