河北省沧州市新华区2022-2023学年 九年级下学期数学假期开学考试测试卷（含解析）

河北省沧州市新华区
2022-2023学年第二学期九年级数学假期开学考试测试卷（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（　　）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝﹣4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（　　）
A．60元 B．70元 C．80元 D．90元
5．某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（　　）
A．10m B．15m C．16m D．18m
6．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y＝﹣4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（　　）
A．60元 B．70元 C．80元 D．90元
7．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（　　）
A．2m B．2m C．m D．m
8．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（　　）
A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）
C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）
9．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　）
A．54° B．36° C．32° D．27°
10．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（　　）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（共21分）
11．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是　 　．
12．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为　 　．
13．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 　 　．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　 　m．
15．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为　 　．
16．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是　 　．
17．一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为 　 　．
三、解答题（共49分）
18．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线y＝上的概率．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
21．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则此抛物线的表达式可设为y＝ax2+bx+0.9．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求绳子甩到最高处时的最大高度；
（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，求出t的取值范围．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
2．解：根据题意得：＝，
解得：a＝1，
经检验，a＝1是原分式方程的解，
∴a＝1．
故选：A．
3．解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，
∴有30次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3，
∴盒子中黑球和白球个数之比为1：3，
故盒子中大约有白球：4÷＝12（个）．
故选：A．
4．解：设销售该商品每月所获总利润为w，
则w＝（x﹣50）（﹣4x+440）
＝﹣4x2+640x﹣22000
＝﹣4（x﹣80）2+3600，
∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，
故选：C．
5．解：观察图象可知：
当推出秋千3s后，秋千的高度为15m．
故选：B．
6．解：设销售该商品每月所获总利润为w，
则w＝（x﹣50）（﹣4x+440）
＝﹣4x2+640x﹣22000
＝﹣4（x﹣80）2+3600，
∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，
故选：C．
7．解：建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y＝ax2，
把点（2，﹣2）代入，得
﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣3时，﹣x2＝﹣3．
解得：x＝±
∴水面下降1m，水面宽度为2m．
故选：A．
8．解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，
∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x （0＜x＜6）．
故选：A．
9．解：∵AB为⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO＝36°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠ADC＝∠OAD，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，
∴∠ADC＝∠AOB＝27°；
故选：D．
10．解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故选：C．
二、填空题（共21分）
11．解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；
故其概率为：．
12．解：设原来红球个数为x个；
则有＝，解得x＝20．
经检验x＝20为原方程的解，
所以原来红球个数为20个．
故答案为20．
13．解：如图，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝x2＝2，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2+2）×2＝4．
故答案为：4．
14．解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案是：24．
15．解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
16．解：设这个扇形的半径是rcm．
根据扇形面积公式，得＝3π，
解，得r＝±3（负值舍去）．
故答案为3．
17．解：设扇形的圆心角为n°，
根据题意得π＝，
解得n＝7.5，
所以扇形的圆心角为7.5°．
故答案为：7.5°．
三、解答题（共49分）
18．解：（1）根据题意画出树状图如下：
（2）当x＝﹣1时，y＝＝﹣2；当x＝1时，y＝＝2；当x＝2时，y＝＝1．
∴一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线y＝上有2种情况：（1，2），（2，1），
∴点（x，y）落在双曲线y＝上的概率为：．
19．解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，
根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
21．解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），
把E（1，1.4），B（6，0.9）代入y＝ax2+bx+0.9得，
，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9；
（2）由（1）知，y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝3时，y最大，最大值为1.8，
答：绳子甩到最高处时的最大高度为1.8米；
（3）当y＝1.4时，﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.4，
解得x1＝1，x2＝5，
由函数的图象可知，t的取值范围为1＜t＜5．