山东省东营市2022-2023学年 九年级下学期数学开学考试测试卷(含解析)

山东省东营市2022-2023学年第二学期九年级数学开学考试测试卷（附答案）
一．选择题（共30分）
1．如所示四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝ C．y＝ D．y＝
3．如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C，D在圆O，AC是圆O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（　　）
A．26° B．52° C．64° D．74°
5．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（　　）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（　　）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
7．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．如图，从半径为9cm的圆形纸片中剪去一个扇形，使剪去的扇形的弧长为圆周长的，将留下的扇形纸片围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高为（　　）
A．6cm B．3cm C．8cm D．5cm
9．如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（　　）
A．（，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（，0）
10．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ AC，
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共28分）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是　 　．
12．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，1），C（﹣3，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，则点C的对应点C′的坐标为 　 　．
13．关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　．
14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则△AEB与△CED的面积比为　 　．
15．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝　 　．
16．如图△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为　 　．
17．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为 　 　cm．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2021的坐标为 　 　．
三．解答题（共62分）
19．（1）计算：|2﹣|+（+1）0+3tan30°+（﹣1）2021﹣（）﹣1
（2）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0
20．某班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别 频数（人数） 频率
小说 ① 0.5
戏剧 4 ②
散文 10 0.25
其他 6 ③
合计 ④ 1
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）该班有 　 　名学生，阅读小说类的有 　 　名学生；
（2）求出扇形统计图中“其他类”和“戏剧类”分别所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
21．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y＝﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式．
23．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
25．【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．
【特例分析】（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 　，∠ACQ＝　 　°．
【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；
【问题解决】（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
参考答案
一．选择题（共30分）
1．解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B、该函数是正比例函数，故本选项错误；
C、该函数是符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D、y是（x﹣1）反比例函数，故本选项错误；
故选：C．
3．解：从正面看易得底层是一个矩形，上层的左边是一个小矩形，左齐．
故选：D．
4．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ABD＝∠ACD＝64°．
故选：C．
5．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
即，
∴CO＝3.6，
故选：C．
6．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
故选：D．
7．解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），
即：x＝14，
故选：A．
8．解：∵从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴留下的扇形圆心角为：360°×＝240°，
∴留下的扇形的弧长＝＝12π，
根据底面圆的周长等于扇形弧长，
∴圆锥的底面半径r＝＝6cm，
所以圆锥的高＝＝3cm．
故选：B．
9．解：∵A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，
∴y1＝2，y2＝，
∵动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于点P′，当点P在点P′时，PA﹣PB＝AB达到最大值，
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，
∴当线段AP与线段BP之差达到最大时点P的坐标是（，0），
故选：D．
10．解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB FG＝S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE＝∠QBD＝∠E＝90°，
∴∠ADC+∠QDB＝90°，
∵∠QDB+∠DQB＝90°，
∴∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∵∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD FE＝AD2＝FQ AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC＝FQ×BC＝FQ×GF＝△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）＝△AFQ面积的2倍（AF为底，AD为高）＝正方形的面积，所以结论4是对的；
故选：D．
二．填空题（共28分）
11．解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）．
故答案为：（1，5）．
12．解：以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2，
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣3×，2×）或（3×，﹣2×），即（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1），
故答案为：（﹣1.5，1）或（1.5，﹣1），
13．解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，
解得：m≥﹣且m≠﹣1．
故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．
14．解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．
∴＝．
∵在Rt△ACB中∠B＝45°，
∴AB＝AC．
∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，
∴CD＝＝AC．
∴＝＝．
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案是：．
15．解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，
则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．
故答案为：．
16．解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴＝，＝，
∴＝，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴＝，
∴S△ANQ＝1，
∵＝（）2＝，
∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故答案为：18．
17．解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
∵BC＝4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC＝×6 π＝3π（cm），
∴AB＝＝5π（cm）．
故答案为：5π．
18．解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（ 2，2），A4的坐标为（ 8，0），A5的坐标为（ 8， 8），A6的坐标为（16， 16），A7的坐标为（64，0），
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，
与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，
∵2021÷6＝336…5，
∴点A2021的方位与点A5的方位相同，在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22019，纵坐标为，
故答案为：（﹣22019，）．
三．解答题（共62分）
19．解：（1）|2﹣|+（+1）0+3tan30°+（﹣1）2021﹣（）﹣1
＝2﹣+1+3×+（﹣1）﹣2
＝2﹣+1++（﹣1）﹣2
＝0；
（2）m﹣÷＝m﹣ ＝m﹣＝＝，
∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴原式＝＝1．
20．解：（1）10÷0.25＝40（名），
40×50%＝20（名），
故答案为：40，20；
（2）扇形统计图中“其他”类所占的百分比为：6÷40×100%＝15%，
“戏剧”类所占的百分比4÷40×100%＝10%；
（3）树状图如下图所示，
由上可得，一共有12种可能性，其中选取的是乙和丙的有两种可能性，
故选取的2人恰好是乙和丙的概率为＝．
21．解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．
22．解：（1）∵直线y＝﹣x过点A（m，1），
∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设直线BC的解析式为y＝﹣x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积＝OC 2＝，
∴OC＝，
∴b＝，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+．
23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A+∠ABD＝90°．
又∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：连接AE．如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝∠BED，
∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝，
∵BD＝12，
∴AB＝20．
∵E为的中点，
∴AE＝BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE＝45°．
∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝10．
24．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得，
解之，得．
所以，抛物线的表达式为；
（2）由，得C（0，4）．
将点B（4，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，得，解之，得．
所以，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4．
由M（m，0），得，Q（m，﹣m+4）．
∴，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°．
∴∠PQN＝∠BQM＝45°．
∴＝．
∵，
∴当m＝2时，PN有最大值，最大值为．
25．解：（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵PF∥AC，
∴∠BPF＝∠BFP＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，
∴AF＝CP，
由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，
∴∠QPC＝45°﹣∠APF，
又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，
∴∠PAF＝∠QPC，
∴△APF≌△PQC，
∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠ACQ＝90°，
故答案为：△PQC，90；
（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则＝，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CP，
又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，
∴∠FAP＝∠CPQ，
由旋转可得，PA＝PQ，
∴△AFP≌△PCQ，
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴△ABC∽△FBP，
∴＝，
∴＝＝＝＝；
（3）如图，当P在CB的延长线上时，
∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠APC＝∠QPC，
又∵AP＝QP，PC＝PC，
∴△APC≌△QPC，
∴CQ＝AC，
又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，
∴QC＝AC＝BC＝2；
如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，
由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，
又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，
∴∠CAP＝∠APA，
∴AC＝PC，
∴△ACQ≌△PCQ，
∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，
∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．
综上所述，线段CQ的长为2或8．